I. Показать, что в системе м° (или ее натуральном варианте) доказуема формула вида

О □ А -> □ О А.

II. Доказать в системе м (или ее натуральном варианте) следующие формулы:

358. ~ О (□ р А □ ~ р)

359. □ (OP V О ~/>)

360. □ (р д) ■*-* ~ О (р A ~q) ■

III. Показать, что системы м° и Af' дополняют друг друга до Ма в сле- дующем смысле: присоединив к системе м в качестве аксиом формул вида

А -» □ О А

□ А -*• □ □ А

дает систему, равнообъемную системе М^г.

Указание. Следует использовать законы контрапозиции и закон (ус­ловного) силлогизма.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение " 3

§ 1. Марксистская философия о мышлении —

§ 2. Мышление и язык 4

§ 3. Определение формальной логики 5

§ 4. Логика и психология 9

§ 5. Из истории логики 10

§ 6. Практическое значение формальной логики 16

§ 7. Структура формальной логики 19

Часть первая

ОБЩАЯ ЛОГИКА ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И МЕТОДЫ МЫШЛЕНИЯ

Глава 1. Понятие 20

§ 8. Об определении и структуре понятия —

§ 9. Основные методы образования понятий 26

§ 10. Соотношение между содержанием и объемом понятия . —

§ 11. Виды понятий 32

§ 12. Формально-логические отношения между понятиями по

содержанию и по объему . 36

§ 13. Обобщение и ограничение понятий ЗЭ

Глава II. Суждение 42

§ 14. Сущность суждения и его строение —

§ 15. Суждение и предложение 46

§ 16. Суждение и вопрос 48

§ 17. Деление суждений по качеству и количеству .... 54 § 18. Объединенная классификация суждений по качеству и

количеству 57

§ 19. Распределенность терминов в категорических суждениях 58

§ 20. Отношения между суждениями 61

§ 21. Деление суждений по модальности 63

§ 22. Сложные суждения 69

Глава III. Основные формально-логические законы 73

§ 23. Общие замечания —

§ 24. Закон тождества 76

§ 25. Закон противоречия 79

§ 26. Закон исключенного третьего 81

§ 27. Закон достаточного основания 84

Г лава IV. Умозаключение 87

§ 28. Определение умозаключения —

§ 29. Непосредственные умозаключения 89

§ 30. Простой категорический силлогизм 98

§ 31. Сокращенные, сложные и сложносокращенные катего- рические силлогизмы 111

§ 32. Условные, разделительные и условно-разделительные

силлогизмы , , 114

§ 33. Индуктивные умозаключения 120

§ 34. Аналогия . .... . . .127

Глаза V. Логические методы научного мышления 138

§ 35. Методы классификации объектов исследования .... —

§ 36. Определение 147

§ 37. Доказательство 156

§ 38. Доказательство (продолжение: паралогизмы, софизмы

и парадоксы) 168

§ 39. Аксиоматический метод 174

§ 40. Индуктивные методы установления причинной связи

явлений 179

§ 41. Гипотеза 183

§ 42. Вероятностные методы в логике 192

Часть вторая

СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Глава I. Табличное построение логики высказываний 200

§ 1. Высказывания и формы высказываний —

§ 2. Язык логики высказываний 203

§ 3. Семантика логических знаков 208

§ 4. Таблицы формул логики высказываний ...... 214

§ 5. Равносильные формулы 219

§ 6. Правило равносильной замены 224

§ 7. Полные системы логических знаков 227

§ 8. Закон двойственности 234

§ 9. Тождественно-истинные и тождественно-ложные фор- мулы 236

Глава II. Нормальные формы формул логики высказываний 241

§ 10. Нормальная форма —

§ 11. Проблема разрешения 242

§ 12. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная

конъюнктивная нормальная форма 246

§ 13. Логическое следование и логические следствия ... 251 § 14. Сокращенная конъюнктивная нормальная форма . . . 254 § 15. Дизъюнктивные нормальные формы 260

Г лава III. Естественный вывод в логике высказываний 267

§ 16. Понятия логического вывода —

§ 17. Производные правила 284

§ 18. Чисто прямое доказательство 287

§ 19. Слабое косвенное доказательство 291

§ 20. Квазисильное косвенное доказательство 295

§ 21. Сильное (классическое) косвенное доказательство . . 297 § 22. Полнота классического нечисления высказываний . . 302 § 23. Аксиоматическое представление логики высказываний 3G8

Глава IV. Формализованная силлогистика 322

Глава V. Естественный вывод в логике предикатов 330

Г лава VI. Модальная логика , . 345

1 Говорят, что формула А сильнее формулы В, а формула В слабее фор­мулы А, если тождественно-истинна формула А->-В, но не формула В->А.

2 В традиционной логике оно известно под названием «простая конструкт тивная дилемма».

■ Modus tollens (лат.) — отрицающий способ.

3 См, сноску на с, 253,

4 См, сноску на с, 253,

s Доказательство этой теоремы приводится в «Началах» Евклида.

5 Вводимое ниже допущение называется допущением косвенного дока-еательства.

6^u На этом шаге к доказательству присоединяется частный случай тео­ремы, установленной в предыдущем примере,

7 См.: Слупецкий Е., Борковский Л, Элементы математической! логики и теория множеств. М., 1965. - ~~

8 Здесь и в дальнейшем р. д. ф, — ранее доказанная формула,

9" Формулы С' не существует, если С не начинается¹ знаком отрицания, т. е. если С нельзя представить в виде ~ В.

10¹⁸ Исчисление минимальной логики было впервые построено и исследо­вано советским '-ученым акад. А. Н. Колмогоровым (См.: К о л м о г о-ов А. Н. О принципе tertium поп datur. — Матем. сборник, т. 32, вып. 4. , 1925).

11 Ш а н и н Н. А. Логические проблемы арифметики — Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, XLII, 1954.

12 Обстоятельное рассмотрение затронутого вопроса читатель найдет в статьях Маркова А. А. «Конструктивное направление (в математике и ло­гике)» и «Математическая логика*. — См.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964.

13 См. с. 285.

14^п Напоминаем, что отношение одноименности доказательств было опре­делено на с. 283.

15 См. выше, с. 285.

16⁸¹ См. выше, с. 287.

17^м Т. е. формул, отличных от формулы F.

18^и См. выше, с. 292.

19^и См. выше, с. 287.

20²⁸ См. выше, с. 293.

21 См. выше, с. 288.

22⁸¹ См. выше, с. 294.

23 См. выше, с. 295.

24⁵³ См. выше, с. 288.

25 См. выше, с. 294.

26 См. выше, с. 290.

27 См. выше, с. 300, Т40.

28⁸⁷ В то же время различные пропозициональные буквы можно замещать как различными, так и одинаковыми формулами. .. ^

29Л е н и н В. И. Поли. собр. соч., т. 30, с. 91.

30⁸⁸ См. выше, с. 300.

31 При этом, естественно, предполагается, что при замещении термины принимают надлежащую грамматическую форму, обеспечивающую согласова­ние со словами, входящими в формы высказываний (1) — (4).

32 Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения совре-. менной формальной логики. М., 1959.

33⁴⁸ Здесь в ниже в квадратных скобках заключены названия «слабых» модусов.

34 Эта задача, если отвлечься от' некоторых несущественных в данном случае исторических деталей, эквивалентна основной задаче, которую поста­вил и решил Аристотель.

35 Подстановка в силлогистическую формулу состоит в замене всех вхож­дений силлогистической переменной вхождениями другой (или той же самой) силлогистической переменной. Подстановку можно производить и одновре­менно вместо нескольких различных силлогистических переменных.

36Напоминаем, что г и zi — это различные переменные.

37¹⁰ (3') означает, что существует число большее любого числа (в том числе и самого себя).

38^м Т. е. или вообще не входит, или входит связано,

39^и См. выше, с. 278,

40 Совпадающую в данном случае с единственным допущением доказа­тельства.

41 Для краткости речи мы в дальнейшем вместо «модальная формула» обычно пишем «формула»,

42 См.: Серебрянников О, Ф. Эвристические принципы н логические

43нечисления, М., 1970.