§ 22. Сложные суждения

Помимо простых логика изучает также сложные суждения. Сложные суждения образуются путем соединения между собой простых суждений при помощи логических союзов. Существует значительное количество различных логических союзов; мы здесь рассмотрим главные из них. Таковыми в современной логике являются следующие: конъюнкция, исключающая и не-исключающая дизъюнкции, импликация и эквивалентность. В естественном языке перечисленные логические союзы выра­жаются при помощитрамматических союзов «и», «либо..., либо», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда».

Не следует полностью отождествлять логические и грамма­тические союзы. В логическом контексте союзы «и», «или», «если..., то» и др. приобретают специфический логический смысл.

Каждый из перечисленных союзов бинарен, т. е. соединяет ^! между собой два суждения. Например: «Эрмитаж расположен на Дворцовой площади, и каждый желающий может его посе­тить»; «Осенью часто идет дождь или дует ветер»; «Либо дан­ное число делится на два, либо оно является нечетным»;- «Если поднести магнит к рассыпанным на листе бумаги железным опилкам, то они расположатся вдоль силовых линий магнит­ного поля»; «Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он равноуголен».

Заметим, что логические союзы могут соединять не только простые суждения, но также простые со сложными и сложные между собой, образуя порой весьма протяженные конструкции. Например: «Если треугольник прямоугольный, то он не остро­угольный и не тупоугольный»; «Либо студент Петров должен сдать все экзамены вовремя, либо он должен взять академиче­ский отпуск, и если ему удастся получить академический от­пуск, то он сможет продолжить обучение в будущем году» и т. п. В состав подобного рода конструкций входит по несколь­ку логических союзов, но легко видеть, что каждый из них соединяет друг с другом только два каких-нибудь суждения. В таких конструкциях различают связь между главными и.под­чиненными логическими союзами. Так, в первом из приведен­ных выше примеров союз «если..., то» является главным, а союз «и» — подчиненным, а во втором союз «и» — главным, а все остальные — подчиненными.

В современной логике сложные суждения классифицируют­ся в зависимости от того, каким у них является главный логи­ческий союз. Так, суждения вида «Л и 5», где Л и В — любые суждения, называются соединительными, или конъюнктивными; суждения вида «Л или В» и «Либо Л, либо В» — разделитель­ными или дизъюнктивными; суждения вида «Если Л, то В» — условными, или импликативными; суждения вида «Л тогда и только тогда, когда В» — суждениями эквивалентности.

Рассмотрим все эти разновидности сложных суждений по отдельности.

1. Соединительные (конъюнктивные) суждения. Соединитель­ным, или конъюнктивным, суждением называется суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логи­ческого союза «и».

Логический союз «и» имеет следующие свойства. Пусть нам дано некоторое суждение «Л и В». Допустим также, что А и В — семантически независимые друг от друга суждения, т. е. истинность или ложность Л не влечет ни истинности, ни ложно­сти В, равно как истинность или ложность В не влечет ни ис­тинности, ни ложности Л. Тогда суждение «Л и В» является функцией истинности суждений А к В. Это значит, что истин­ность или ложность суждения «Л и В» полностью определяется истинностью или ложностью составляющих его суждений Л и

В. Очевидно, что для двух семантически независимых друг or друга суждений возможны только следующие четыре комбина-' ции: оба истинны; А истинно, но В ложно; А ложно, но В ис­тинно; оба ложны. Истинность или ложность конъюнктивного суждения «А и В» заранее известна для каждой из комбинаций суждений А и В. Имеет место следующая" зависимость: соеди­нительное суждение истинно тогда, когда истинны оба состав­ляющих его суждения, и ложно во всех остальных случаях. Эту зависимость можно графически изобразить в виде следую­щей таблицы:

А	в	А и В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
ложно	истинно	ложно
ложно	ложно	ложно

Из сказанного становится ясным основное различие между логическим и грамматическим союзами «и». Грамматическим союзом «и», соединяют обычно суждения, имеющие между собой что-либо общее по смыслу. Логический же союз «и» может соединять любые суждения. Единственное требование для того, чтобы конъюнктивное суждение было истинным, заключает­ся в том, чтобы были истинными оба составляющих его суж­дения.

2. Разделительные (дизъюнктивные) суждения. Современная логика рассматривает два типа разделительных суждений: ис-ключающе-разделитёльные и неисключающе-разделительные.

а) Исключающе-разделительные суждения. Исключающе-раз-делительным называется суждение, полученное из любых двух других суждений при помощи логического союза «либо..., либо». Исключающе-разделительное суждение называют иногда аль­тернативным. Суть союза «либо..., либо» состоит в том, что он соединяет несовместимые друг с другом суждения. Этим опре­деляются его семантические свойства.

Суждение «Либо А, либо В», подобно суждению «Л и В» является функцией истинности суждений А а В. Но, разумеется, это другая функция истинности: хотя истинность или ложность суждения «Либо А, либо В» полностью определяется истинно­стью или ложностью составляющих его суждений, определяется она, однако, по-другому, не так, как для суждения «Л и В». Здесь имеет место следующая зависимость: исключающе-разде­лительное суждение истинно, когда одно из его составляющих истинно, а другое ложно, и ложно, когда оба составляющих истинны и когда оба они ложны. Эту зависимость изобразим в виде такой таблицы:

А	в	Либо А, либо В
истинно	истинно	ложно
истинно	ложно	истинно
ложно	истинно	истинно
ложно	ложно	ложно

Здесь также нужно подчеркнуть разницу между граммати­ческим и логическим союзами «либо..., либо». Если имеем дело с логическим «либо..., либо», то опять-таки связь по смыслу между суждениями А и В необязательна. Для истинности ис-ключающе-разделительного суждения достаточно того, чтобы оба они не были одновременно истинными или одновременно ложными.

б) Неисключающе-разделительные суждения. Неисключаю-ще-р аз делительным называется суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или». Союзу «или» современные логики не придают исключающего смысла. Суждения, соединяемые «или», вполне совместимы. В отличие от исключающе-разделительного суждения, неисключающе-раз-делительное истинно и тогда, когда истинны оба его составляю­щие. Здесь имеет место такая зависимость: неисключающе-раз-делительное суждение ложно тогда, когда ложны оба состав­ляющих его суждения, и истинно во всех остальных случаях. Эту зависимость изобразим в виде таблицы:

А	в	А или В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	истинно
ложно	нстиино	истинно
ложно	ложно	ложно

В этом случае тоже справедливо то, что сказано выше от­носительно двух предыдущих логических союзов: А и В могут быть любыми суждениями, не обязательно связанными по смыслу.

3. Условные (импликативные) суждения. Условным назы­вается суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «если..., то». В условном суж­дении «Если А, то В» составляющая А называется основанием, или антецедентом, а составляющая В — следствием, или крн-секвентом.

Логический союз «если..., то» в особенности не следует пу­тать с- соответствующим грамматическим союзом. Обычно в естественном языке союз «если..., то» выражает причинную за­висимость или другую какую-либо содержательную связь сле­дования между А а В. Логический союз «если..., то», как и все вышеописанные логические союзы, может соединять любые суждения и не требует содержательной связи между ними. Условное суждение «Если А, то В» является функцией истин­ности составляющих А а В, и его истинность или ложность за­висит не от их смысла, а лишь от их истинности или ложности. Существует следующая семантическая зависимость: условное суждение ложно тогда, когда его основание истинно, а следст­вие ложно, и истинно во всех остальных случаях. Этой зави­симости соответствует таблица:

А	в	Если А, то В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
ложно	истинно	истинно
ложно	ложно	истинно

Таким образом, получается, что импликативное суждение истинно, если истинны антецедент и консеквент, независимо от их содержания. Будет, например, истинным с логической точки зрения такое суждение: «Если дважды два равно четы^ рем, то снег бел», хотя с содержательных позиций оно просто бессмысленно. Истинными с точки зрения логики оказываются также все условные суждения с ложным антецедентом, на­пример такие: «Если дважды два равно пяти, то снег бел» и «Если дважды два равно пяти, то снег черен», что также бес­смысленно с содержательных позиций. Ложно с логической точки зрения условное суждение только в одном случае: когда антецедент истинный, а конСеквент ложный. Так суждение «Если дважды два равно четырем, то снег черен» является лож­ным. Это соответствует содержательному представлению о том, что условное суждение не может быть истинным, если при ис­тинном основании обнаруживается, что у него ложное след­ствие.

4. Суждения эквивалентности. Суждением эквивалентности называется такое суждение, которое получено из любых двух других суждений при помощи логического союза «тогда и толь­ко тогда, когда...». Семантическая характеристика суждения эк-валентности определяется следующей зависимостью: суждение

эквивалентности истинно, когда оба составляющих его сужде­ния истинны и когда оба они ложны, и ложно в прочих слу­чаях. Этой зависимости соответствует следующая таблица истинности:

А	В	А тогда и только тогда, когда В
истинно	истинно	истинно
истинно	ложно	ложно
ложно	истинно	ложно _
ложно	ложно	истинно