Часть вторая символическая логика

Вторая часть настоящего учебника представляет собой эле-ментарное введение в символическую логику.

Символическая логика возникла в результате применения к проблемам формальной логики строгих методов, сходных с теми, которые используются в математике. С помощью специального языка формул достигается адекватное описание логической структуры доказательства и осуществляется построение строгих логических теорий.

Искусственный логический язык не содержит омонимических выражений, в нем применяются наиболее экономные и хорошо обозримые способы записи. Являясь инструментом, с помощью которого осуществляется анализ и синтез логических структур, выявляются и фиксируются различные средства получения вы­водного знания и способы построения доказательных рассужде­ний, он строится с таким расчетом, чтобы его синтаксические связи однозначно соответствовали логическим связям, а правила преобразования предложений (формул)—логическим преобра­зованиям. В результате манипуляции с символами искусствен­ного логического языка получают значение логических опера­ций с мыслями.

Символическую логику называют также математической ло­гикой. Но не нужно думать, что в ней исследуются логические вопросы, имеющие значение для одной только математики. Не следует также думать, что методы современной символической логики являются математическими в собственном смысле слова.

Независимо от математики в самой формальной логике, на­чиная с момента ее возникновения, разрабатывался и постепенно совершенствовался формальный аппарат. Аристотелю принад­лежит открытие формального рассмотрения логики, существен­ным моментом которого является введение в нее переменных (задолго до того, как последние стали применяться в математи­ке). И дело, конечно, не в использовании буквенных обозначе­ний. Стоики, например, в качестве переменных для суждений употребляли порядковые числительные. Важная сторона анализа логической структуры мысли, связанная с введением перемен­ных, состоит в том, что этим обеспечивается возможность абстрактного рассмотрения и формулирования логических зако­нов и правил вывода в общем виде. Другое выдающееся дости­жение Аристотеля — аксиоматическое построение теории силло­гистического вывода — также на десятилетия опередило исполь­зование аксиоматического метода в «Началах» Евклида.

Формальная техника силлогистики Аристотеля и логические представления стоиков получили дальнейшее развитие и усовер­шенствование в средневековой логике, крупнейшими представи­телями которой были Петр Абеляр (1079—1142), Петр Испан­ский (1215(?)—1277), Иоанн Дуне Скот (1266—1308), Рай-мунд Луллий (1235—1315), Уильям Оккам (1300—1349), Жан Буридан (1300—1358).

Основоположником символической логики по праву считают Г. В. Лейбница (1646—1716). Логические идеи этого выдающе­гося немецкого философа, математика и. общественного деятеля не получили должного признания ни у его современников, ни у большинства логиков в XVIII и XIX веках. Главный недостаток всей предшествующей логики заключается, по мнению Лейбни­ца, в отсутствии строгого и точного логического языка, проду­манной системы формализации. Он выдвигает широкий проект формализации всего научного знания на основе универсального искусственного языка, благодаря которому содержательные рас­суждения можно было бы заменять формальными преобразова­ниями выражений этого языка. Несмотря на то, что мечта Лейбница о полной формализации научного знания, как показало последующее развитие логики и математики, не может быть осуществлена, его понимание значения искусственного язы­ка в качестве инструмента научного познания и требование ши­рокого использования его для моделирования различных видов интеллектуальной деятельности близки по своему духу научной практике сегодняшнего дня.

Лейбниц первым в истории науки стал строить логические исчисления. Он значительно расширил круг проблем античной и средневековой логики, формализовал расширенную силлогистику и дал ей арифметическую интерпретацию, занимался логикой отношений, установил аналогию между логикой и алгеброй, ис­следовал связь между категорическими и условными суждения­ми, пытался сформулировать основные принципы логики и осу­ществить аксиоматическое построение логической системы. Кроме Лейбница из предшественников современной символиче­ской логики должны быть названы Г. П. Плукэ (1716—1790), И. Г. Ламберт (1728—1777), Ж. Д. Жергонн (1771—1859), У. Гамильтон (1788—1856), А. де Морган (1806—1871). К их числу нужно также отнести крупнейшего логика первой полови­ны XIX в. чешского ученого Б. Больцано (1781—1848).

Для Больцано логика — это преимущественно теория науки. Исследуя ее, он употреблял частично формализованный язык, состоящий из обычного разговорного языка, расширенного раз­личными логическими константами, переменными и технически­ми терминами, которым в большинстве случаев дается точное определение. Только нормализовав языковые выражения, сведя их к каноническим формам, полагал он, можно добиться чисто формальной трактовки логики. Значительнейшим научным достижением Больцано была его теория логического вывода, детально развитая и отвечающая высоким критериям научной строгости.

Однако начало систематическому развитию символической логики было положено работами английского математика Д. Буля "(1815—1864). Идеи, содержавшиеся в его книгах «Ма­тематический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли» (1854), стали исходным пунктом дальнейшего раз­вития логики. Изложенная в них формальная система «ис­числения логических равенств», являясь далеко идущим обоб­щением аристотелевской силлогистики, вооружала развитой техникой решения ряда общих задач логики классов. Так, на­пример, им был развит общий метод для получения следствий из любого числа посылок с любым числом терминов: Свою формальную систему Буль называл «алгеброй логики». Он ис­следовал ее связь с обычной алгеброй и интерпретировал не только как логику классов (терминов), но и как логику суждений (предложений) и как логику вероятностей (исчисление вероят­ностей). Буль подчеркивал значение для точной науки искус­ственного языка, содержащего набор символических средств и способов оперирования с ними, который подобно живому раз­говорному языку являлся бы инструментом рассуждения, но от­личался бы большей точностью. По его мнению, закономерно­сти оперирования с логическими символами должны отражать законы человеческого мышления.

Созданная Д. Булем «алгебра логики» получила дальней­шее развитие в трудах У. С. Джевонса (1835—1882), Э. Шреде­ра (1841—1902), Д. Венна (1834—1923) и других логиков конца XIX века. Ее формальная техника подверглась переработке и систематизации, а логические идеи — обобщению и углублению. Существенную роль в совершенствовании ряда теоретических и технических аспектов алгебры логики сыграли работы казанско­го математика и астронома П. С. Порецкого (1846—1907).

Большое значение для формирования современных представ­лений о предмете и методах символической логики имели рабо­ты выдающегося немецкого ученого Г. Фреге (1848—1925). Опубликованная в 1879 г. его книга «Исчисление понятий» со­держала изложенную аксиоматическим методом при помощи специального искусственного языка строгую логическую теорию. В этой работе Фреге впервые дает непротиворечивую трактовку

логических переменных, логических и внелогических констант, логических функций и кванторов, логических аксиом и правил, вывода, понятия доказательства и доказуемого предложения. Свое исчисление понятий он применяет к анализу оснований математики, стремясь дать логическую интерпретацию основным понятиям теории множеств и арифметики. Развитая им общая теория смысла и значения языковых выражений оказала боль­шое влияние на исследования в области логической семантики. Выдающиеся достижения Фреге в области логики позволяют считать его основоположником современной логики.

Большую роль в распространении и дальнейшем развитии идей Фреге сыграл трехтомный труд английских ученых Б. Рас­села (1872—1970) и А. Н. Уайтхеда (1861—1947) «Principia mathematical (1910—1913). Крупнейшие результаты, определив­шие современное состояние этой науки, были получены в 30-х го­дах XX в. К. Гёделем (Австрия), А. Тарским (Польша), Г. Ген-ценом (Германия) и А. Чёрчем (США). Значительный вклад в развитие современной логики внесли советские ученые А. Н. Кол­могоров, П. С. Новиков, А. И. Мальцев, А. А. Марков, Н.А.Ша­нин и другие.

В настоящее время символическая логика — это интенсивно развивающаяся наука, которая включает ряд самостоятельных теорий и независимых направлений исследования. В последние годы символическая логика получила разнообразные примене­ния во многих областях науки и техники: в математике и кибер­нетике, биологии и лингвистике, педагогике и праве, философии и социологии.