§ 17. Производные правила

Сформулированные выше основные правила системы N не исчерпывают всех способов логических рассуждений, осущест­вимых средствами логики высказываний. Но, как мы убедимся окончательно в дальнейшем, все остальные логические правила в этой области логически можно свести к этим основным. Для этого нам понадобится точное понятие производного пра­вила. Но прежде мы введем следующее понятие равнообъ-емности логических систем. Две логические системы назы­ваются равнообъемными, если любая формула, доказуемая в одной из них, доказуема и в другой, и обратно. Таким образом, равнообъемные системы определяют один и тот же класс теорем (доказуемых формул). Равнообъемные системы иначе называют эквивалентными или эквиполентными.

Определение производного правила. Правило называется производным в логической системе, если добавление к ней данного правила дает равнообъемную ей систему.

Другими словами, применение производных правил не увели­чивает класса формул, доказуемых в соответствующей логиче­ской системе. Нетрудно понять, что обоснование производных правил должно состоять в предъявлении эффективного метода, пользуясь которым любое доказательство некоторой формулы, содержащее применение производных правил, можно преобра­зовать в доказательство той же формулы, построенное с по­мощью лишь основных правил.

Таким образом, при построении доказательств теоретически можно обойтись без производных правил. Но отказ от их при­менения рано или поздно приведет к тому, что поиск доказа­тельств станет не осуществимым с практически приемлемой затратой времени, сил и средств, когда нам придется иметь дело с труднообозримыми логическими конструкциями. Эти трудности, однако, можно преодолеть, если пользоваться произ­водными правилами, так как в них аккумулируется прошлый логический опыт. Вследствие этого в ходе поиска доказательств производные правила позволяют в сокращенной форме прово­дить анализ исходных данных на большую (по сравнению с основными правилами) глубину и существенно упрощают син­тез искомых доказательств.

Производными могут быть как правила следования, так и правила построения доказательства.

Нетрудно видеть, что правило [II. 1] построения прямого доказательства, хотя и принимается в системе N в качестве основного, фактически производно относительно правила [II.2] построения косвенного доказательства. В самом деле, любое прямое доказательство можно тривиально перестроить в косвен­ное доказательство той же формулы. С этой, целью достаточно в прямое доказательство вписать отрицание его конечной фор­мулы. Таким образом, правило [II. 1] можно было бы вычерк­нуть из списка основных правил, но это не является желатель­ным, если мы заинтересованы в получении формальных моделей, отображающих структуру обычных логических рассуждений. В дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу.

Для того чтобы установить', что правило следования, пред­ставленное фигурой

At,. А₂^ • *, А«

(♦]

С ^V производно, достаточно найти доказательство формулы вида

Л,... (А_Л-»С) ...}, М

т. е. кратной, импликации, антецедентами которой служат по­сылки, а консеквентом служит заключение фигуры (»)".

В самом деле,, если в каком-либо доказательстве (некоторой формулы), применяется производное правило (•), то в данном, доказательстве, скажем, k-я строка содержит формулу С, псуьу» ченную по правилу («) из написанных в предшествующих стро­ках (не обязательно в таком порядке) формул Аь Аз, ..., А»,

Нетрудно видеть, что если мы построим доказательство фор­мулы (**), то, стерев в предшествующем доказательстве стоя» •щую В' k-ft строке формулу С и вставив («втиснув») а образо­вавшийся пробел следующую колонку формул.

к. А,-*(А₂->(А₃-> ... (А_Л-»-СУ...Ж k+l. А₂-»(А₃->... (A_ft-»C)...)

k + n-1. А„->С* k + п. С,

мы получим новое доказательство той же формулы. Понята©, что в этом новом доказательстве формула в (/г-)-1)-й строке* следует но правилу МП из формулы («*) в к-й строке и фор* мулы Ац, написанной где-то выше; в свою очередь формула в (й-г-2)-й строке следует по правилу МП из формулы в |(/г-|-1)-й строке и формулы А₂, стоящей также где-то вьппн к-й строки и так до (A-f- п)-й строки, где появляется формула С "(стертая в прежнем доказательстве).

В дальнейшем, правило следования (*) мы называем про* изводным относительно формулы (•*■), если уста­новлено, что данная формула есть логическая теорема.

Покажем, что формула следующего вида, называемая зако­ном условного силлогизма, является теоремой (в систе­ме JV).

TI. (А-* В)-* ((В— С)-* (А— С)). Доказательство.

195. А->В]

196. В-*С > допущ.;

197. A J

198. В МП (1, 3); С МП (2, 4).

' Строго говоря, выше было приведено не доказательство, а схема доказательства, по которой можно построить любое до­казательство формулы вида Т1, заменяя надлежащим образом метапеременные А, В, С конкретными формулами. В дальней* шем, мы также вместо «схема доказательства» пишем «до­казательство», когда возможные недоразумения исключаются контекстом. Заметим, что в схемах доказательств (как и в схемах формул) фигурируют прямые «полужирные» буквы латинского алфавита.

Относительно Т1 производно правило (условного) сил­логизма

А-*В В-*С

Сил. —.

А-+С

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться, что про­изводно следующее обобщение правила МП—«обобщенный модус поненс»:

_wrT. А,, А₂, ... А„; А,-*(А₂-* .. .(А„-*С)...)

МП .

С

Данным правилом мы будем широко пользоваться в даль* нейшем.

Очевидно, что в обосновании производных правил можно использовать ранее установленные производные правила. Так, с помощью правила МП' можно легко получить следующее обобщенное правило силлогизма:

„ , А,->(А₂->(А„->В)...) В->С

Сил. .

А,->(А₂-* ...(А„->С)...)