Часть II. Зх —a-*—VxA

336. Зх —А допущ.

337. ~А-»~ VxA р. д. ф., Р19 -VxA УС (1,2)

Р23. — ЗхА-г-* Vx — А

Теоремы Р22, Р23 называют законами де Моргана для кванторов. Второй из них доказуем в минимальном исчислении предикатов. Первый же проходит только в классическом исчис­лении предикатов.

Р24. VxA -<г-> —Зх —А. Р25. ЗхА-<г-> —Vx —А.

Теоремы Р24, Р25 доказуемы только в классическом исчис­лении предикатов. На основании этих теорем в классической логике один из кванторов V, 3 можно выразить через другой и знак —.

Формулируемые ниже дальнейшие законы пронесения кван­торов доказуемы только в классическом исчислении преди­катов.

Р26. 3x(A->B)«-*(VxA->3xB)

Р27. Зх (А -> В) •<-»• (А -> ЗхВ), где х не входит свободно в А.

Р28. gx (A -*■ В) -«->-(VxA -> В), где x не входит свободно в В< Р29. Vx (А V В) ■*-» (А V VxB), где х не входит свободно в А.

Для исчисления предикатов известны доказательства семан­тической корректности и полноты, но рассмотрение этих вопро­сов выходит за пределы нашего курса. Заметим, что непротиво­речивость исчисления предикатов может быть доказана неза­висимо от его семантической корректности.

Хотя исчисление предикатов представляет собой семанти­чески полную логическую теорию, оно не является разрешимой теорией. Для исчисления предикатов не существует эффектив­ного метода (алгоритма), позволяющего ответить на вопрос, до­казуема или нет произвольная формула данного исчисления. Од­нако существуют обширные разрешимые фрагменты рассмат­риваемой логической теории, в частности, исчисление одномест­ных предикатов разрешимо.

Глава VI

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

В модальной логике изучаются структура и законы построе­ния рассуждений, в состав которых входят высказывания, со­держащие такие логические константы, которые в русском языке обычно выражаются наречиями «необходимо», «возмож­но», различными формами глагола «мочь» и другими равно­сильными им средствами. Эти логические константы называют модальностями, или модальными операторами. К числу основных модальностей обычно относят оператор необходимости, который часто обозначается знаком □ (читается: «необходимо, что ...») и оператор возможно­сти, который обозначается знаком О (читается: «возможно, что...»).

Логическое значение (истинность, соответ. ложность) слож­ного высказывания, образованного с помощью модального опе­ратора, не определяется однозначно логическим значением того высказывания, к которому применяется данный модальный опе­ратор. Поясним сказанное примером. Пусть в некотором стручке гороха мы обнаружили 10 горошин. Тогда высказывание: В дан­ном стручке 10 горошин истинно, но высказывание: Необходи­мо, что в данном стручке 10 горошин, очевидно, ложно. Между тем высказывания: Данный стручок гороха содержит белок и Необходимо, что данный стручок гороха содержит белок оба истинны.

Образно говоря, модальные операторы как бы «чувстви­тельны» к смыслу, выраженному в соответствующих высказы­ваниях. Этим модальные операторы отличаются от пропозицио­нальных связок ~, Л, V, —* классического исчисления выска­зываний.

Элементы модальной логики были известны уже в антич­ности и в средние века (мы находим их у Аристотеля, стоиков, схоластов). Античным логикам и схоластам были известны не­которые основные законы модальной логики. В частности, они знали, что;

338. ГЛА->А («Если необходимо, что А, то А»);

339. А-><>А («Если А, то возможно, что А»);

340. □ А•«-»• — О— А («Необходимо, что А, тогда и только тогда, когда невозможно, что не-А»).

341. О А — □ — А («Возможно, что А, тогда, и только тогда, когда не необходимо, что не-А»).

Исследования в области теории модальностей с использова­нием аппарата символической логики были начаты американ­ским логиком К. И. Льюисом (1918).

Импликации, обратные к (1), (2), т. е. А->ПА и О А-»-А не могут иметь места в модальной логике, так как в этом случае оказались бы доказуемыми эквивалентности А <-*■ □ А, А ■*-*■<} А, которые содержательно ложны, а формально при­водят к тому, что введение модальных операторов становится излишним. Эквивалентности (3) и (4) свидетельствуют, что операторы □ и О независимы. Данные соотношения позво­ляют выражать один из знаков □, <0 через другой и отри­цание.

Чтобы в самых общих чертах получить представление о круге проблем модальной логики, удобно начать с анализа семантики слов «необходимо», «возможно» в обычной речи. Отметим важные для нашей цели смыслы, в которых употреб­ляются эти слова.

1а. «Необходимо» употребляется для характеристики объек­тивной значимости содержания высказывания. В этом случае наличие слова «необходимо», относимого ко всему высказыва­нию, указывает на то, что в нем формулируется закон некото­рой области действительности, некоторая объективно необхо­димая зависимость явлений, событий, процессов и т. п.

«Возможно» в этом случае употребляется для указания на то, что в высказывании выражается объективно возможное, не исключаемое законами некоторой области действительности, положение вещей.

16. «Необходимо» понимается как «доказуемо», а «возмож­но» — как «неопровержимо» (в смысле недоказуемости отри­цания). В этом случае «необходимо, что А» (соотв. «возможно, что А») означает, что А выводимо или доказуемо (соотв. не-А не выводимо, или не доказуемо) в некоторой научной теории.

II. Имеет место и такое употребление слов «необходимо» и «возможно», когда первое означает «должно» («обязательно»), а второе «допустимо» (в нормативном смысле). В этом случае слово «необходимо» (соотв., «возможно») указывает на некото- рое, например, моральное или юридическое, долженствование (соотв. некоторую, например, моральную или юридическую, до- пустимость). Интересно, что слово «должно» (соотв. «допусти- мо») в свою очередь употребляется в смысле «необходимо» (соотв. «возможно»), когда последняя пара не имеет, вообще говоря, нормативного смысла.

III. Слова «необходимо» и «возможно» употребляются также и для выражения временной всеобщности ( т. е. в смысле «все- гда») и временного существования (т. е. в смысле «иногда») соответственно; часто с этим связывается отнесенность содер- жания высказывания к будущему.

Этому различию в современной логике более или менее со­ответствуют сложившиеся или складывающиеся группы теорий модальностей. Изучение модальных операторов, связанное со словоупотреблением, которое отмечено в пп. 1а, 16, имеет местов наиболее большом и дифференцированном разделе модальной логики, который называют логикой алетических модаль­ностей.

Пункту II отвечает раздел, называемый деонтической логикой, а п. III — логика временных модальностей.

Отмеченные аспекты модальностей содержательно различны, и как показывают исследования в области временных и норма­тивных модальностей не сводимы формально друг к другу. Сформулированные выше модальные законы относятся к логике собственных модальностей, но не все из них имеют аналоги в других теориях модальностей, так обстоит, например, дело с (2), если в (2) О интерпретировать как «допустимо» (в этическом смысле).

Ниже мы кратко опишем одно достаточно хорошо изученное семейство модальных исчислений, которые относятся к логике алетических модальностей. Эти системы, обозначаемые в даль­нейшем М, М°, М¹, М², строятся как расширение классического исчисления высказываний с помощью введения модального опе­ратора □ и соответствующих аксиом, неявно определяющих этот оператор. Другие модальные операторы, в частности опе­ратор О . могут быть введены с помощью соответствующих определений сокращения. Способ, который используется для построения упомянутых систем модальной* логики, принадлежит К. Геделю.

Добавив к перечню исходных знаков (алфавиту) языка ло­гики высказываний модальный оператор □, мы следующим образом введем понятие модальной формулы.

Определение модальной формулы.

1. Всякая пропозициональная буква есть модальная фор­мула.

2а) Если А, В суть модальные формулы, то каждое из сле­дующих выражений:

-А (АЛВ) (А V В) (А-В)

есть модальная формула.

б) Если А есть модальная формула, то ПА также есть мо­дальная формула.

3. Выражение считается модальной формулой тогда и толь­ко тогда, когда оно^ может быть построено в соответствии с пп. 1—2.⁴¹

Система М, входящая в качестве части в остальные системы М°, М¹, М², получается присоединением к аксиомным схемам системы Н, описанной в § 23, следующих двух аксиомных схем

All. ПА-* А,

А12. □ (А В) -*■ (□ А □ В). Правилами вывода в системе М служат

В А

А А->В

МП

вп

□ А

Второе правило называется введением необходимости.

Система М в некотором естественном смысле равнообъем-на системе модальной логики, известной в литературе под названием системы Райта — Фейса.

Добавляя к описанию системы М аксиомную схему

АО. А->- □~П~А,

мы получаем систему М°, которая называется брауэровской системой.

Если же к М присоединить аксиомную схему

AI. ПА-►□□А,

то получится система М¹, равнообъемная льюисовской системе S4.

Наконец, система М², равнообъемная льюисовской системе S.5, получается и М добавлением аксиомной схемы

АИ. ~ПА->-П~ПА.

Для каждой из этих систем доказательство формулы F опре­делятся как последовательность формул G], G₂, G„, удо­влетворяющая условиям:

1) для любого »'(»"= 1,2, п) G_t или является аксиомой или получена из предшествующих формул данной последова- тельности по одному из правил МП, ВП;

2) G„ есть F.

Формула называется доказуемой формулой, или ло­гической теоремой (в соответствующей системе), если (в данной системе) можно построить доказательство этой формулы.

В каждой из описанных систем модальный оператор ф вво­дится с помощью следующего определения:

О А = ~ □ ~ А.

Используя это определение, аксиому АО системы Af° можно записать в виде

a-►□oa.

' Соотношения, в которых находятся описанные системы, можно изобразить графически:

м

Рис. 17

Система, обозначение которой стоит у основания стрелки, содержится в системе, обозначение которой расположено у острия той же стрелки (обратное соотношение не имеет места),. Таким образом, самой сильной из этих систем является М¹

^г—■ любая теорема остальных систем доказуема в М^г; самой же слабой является система М.

Кроме того, известно, что системы М° и М¹ дополняют друг друга до системы М²; иначе говоря, добавление к си­стеме М аксиомных схем АО, А1 дает систему, равнообъемную системе М².

Для описанных систем модальной логики мы построим их натуральные варианты, т. е. исчисления естественного вывода, равнообъемные М, М°, М¹, АР соответственно. Для этого нам потребуется ввести ряд понятий.

Вхождение оператора □ в формулу А назовем особен­ным, если в А оно не находится в области действия другого вхождения оператора необходимости.

Пример.

342. п(р-+я);

343. ~((d(~pv<7)ар)-*□</);

344. ^{~ □ ~ □ р-*- □ ~ □ — р.}

В формуле (1) единственное вхождение □ особенное; в фор­муле (2) оба вхождения □ также являются особенными, а в формуле (3) лишь первое и третье вхождение □ особенные.

Далее, вхождение оператора необходимости называется по­ложительным [отрицательным], если оно находится в области действия 2n[2n-f 1] (п — 0,1, ...) знаков отрицания; при этом наличие данного вхождения в антецеденте импликациисчитается за нахождение его в области действия знака отрицав ния.⁴² Выше в примере так обстоит дело с этим свойством* В формуле (1) единственное вхождение □ положительное; в формуле (2) первое вхождение □ положительное, а второе — отрицательное; наконец, в формуле (3) первое и третье вхож­дения □ являются положительными, а второе и четвертое — от­рицательными.

Вхождение пропозициональной буквы в формулу называет­ся модализованным (соотв. положительно мода л и-зеванным)- если оно находится в области действия вхожде­ния оператора □ (соотв. особенного положительного вхождения оператора □). Заметим, что всякое положительно модализован-ное вхождение пропозициональной буквы является в то же время и модализованным. Обратное, вообще говоря, неверно.

Так, выше в (1) и (3) все вхождения пропозициональных букв положительно модализованы, а следовательно и модализо-ваны. Во (2), все вхождения q и первое вхождение р модали­зованы; второе вхождение р не модализовано и только первые вхождения р и q положительно модализованы.

Натуральные варианты систем Af, Af', Af² получаются до­бавлением к правилам логического следования описанной в § 16 системы N правил введения и удаления оператора □

А □ А

В □ ; У □ .

□ А А

Натуральные варианты систем Af, Af', Af² различаются огра­ничениями, наложенными на применение правила В П.

1) Ограничение на правило ВП в системе Af. При построении доказательств правило ВП применяется, если среди формул, предшествующих посылке А рассматриваемо- го применения ВП, найдутся формулы ПВ[, ПВ₂, ПВ„ (л = 0,1, ...) такие, что ранее доказана кратная импликация

В,^(В₂^ ... (В„-А)...).

2) Ограничение на правило ВП в системе Af¹ (соотв. Af²). При построении доказательств ВП применяется, если в формулах, написанных ранее в Качестве допущений (в том числе и в качестве допущения косвенного доказательства), все вхождения пропозициональных букв положительно модали- зованы (соотв., модализованы).

Натуральный вариант системы Af° получается из натураль­ного варианта системы Af добавлением к правилам следования правила

А

_Ro

□ ~ □ ~ А

Это мотивируется тем, что в классической логике высказываний А -> В эквивалентно **» А V В.

В натуральных вариантах описанных систем модальной ло­гики оператор О вводится по определению, как выше.

Мы опускаем доказательство равнообъемности систем М, М°, М¹, М² их натуральным вариантам ⁴³ и приступаем к рас­смотрению основных законов модальной логики. До тех пор, пока не оговорено противное, в доказательствах мы пользуемся логическими средствами натурального варианта системы М.

Ml. ПА->А

Доказательство.

345. ПА допущ.

346. А У □ (1)

М 2. □(А^В)^(ПА-»ПВ)

допущ.

Доказательство. 1. П(А

2. □ А

347. А У □ (2)

348. А^В У □ (1)

349. В МП (3, 4) □ В ВП (5)

Обращаем внимание на то, что в данном доказательстве правило ВП применено с соблюдением наложенных на него в натуральном варианте системы М ограничений, так как: (1) ра­нее посылки В рассматриваемого применения правила ВП на­писаны формулы ПА, П(А->-В) и (2) подпоследовательность формул, написанных в строках 3, 4, 5, дает доказательство формулы

А^((А^В)^В).

Заметим, что установленные выше теоремы служат аксио­мами в системе М.

МЗ. П(АЛВ)«->(ПАЛ ПВ) М4. (П А V П В) П (А V В) М5. П (А •«-»• В) (П А <->• П В)

Импликация, обратная к М4, недоказуема ни в одной из рассматриваемых систем модальной логики.

Мб. ~ А->-~ П а М7. А-> О А

Доказательство.

350. А —> -~ ~ А

351. -~ -~ А —> ~ □ -~ А

352. А->~ □ ~А

А->ОА

р. д. ф., Т14, 3 р. д. ф., Мб сил (1, 2) Df (3).

Последняя строка в этом доказательстве получается как результат применения определения оператора О . Вообще го­воря, ее можно было бы и не писать.

М8. ~ О А-> ~ А. Из теорем Ml и М7 по правилу силлогизма следует М9

М9. ПА->ОА. По этому же правилу из М8 и Мб получаем М10.

М10. ~<>А->~ПА.

МП. ОА-*-*~П~А.

М12. □ А^-*~0~А.

М13. ~ПА-*->0~А.

М14. ~ О А □ ~А.

М15. П(А->В)->(0 А-*ОВ).

М16. О (А ЛВ)->(0 А Л О В).

М17. О (A VB)*^«> А V О В).

М18. <>(А^В)«->(П А-><>В).

Из специфических теорем натурального варианта системы ЛГ мы рассмотрим

М19. □А-э-ППА. Доказательство.

1. ПА допущ. □ □А ВП(1).

Эта теорема служит аксиомой системы Af¹. Из теорем Ml, М19 следует

М20. □ А -*->□□ А.

С помощью этой теоремы мы можем избавляться от итера­ции операторов необходимости, т. е. сводить цепочки следующих друг за другом знаков □ к одному такому знаку □.

М21. ОА-^ООА

Эта теорема в свою очередь позволяет избавляться от ите­рации операторов возможности.

М22. (□ А V □ В) *-»•□(□ А V □ В). М23. (□ А Л □ В) «*-»□(□ А Л □ В). М24. □(А-*В)->П(П А-»-ПВ).

Рассмотрим теперь некоторые теоремы натурального ва­рианта системы М²:

М25. ~ □ А □ ~ □ А

Доказательство.

1. — □ А допущ. □ -.□А В □ (1)

М25 является аксиомой системы М².

М26. О А -> □ О А М27. ~ПА+->П~ПА.

Частным случаем М2 является М28. О А □ О А.

Теоремы М 26 и М 27 можно использовать также для редук­ции итерированных модальностей. Из теорем М7 и М 27 по правилу силлогизма следует

М29. A->-rj<>A

В системе М° данная формула является аксиомой. Таким образом, в натуральном варианте М² производно правило R⁰.

МЗО. О □ А ->■ □ О А.

Доказательство.

353. □ А->-А р. д. ф., Ml

354. □(□ А^А) В □ (1)

355. □(□ А^А)^«> □ А^ОА) р.д.ф.,М15

356. О □ А-*- О А МП (2, 3)

357. ОА->-ПОА р. д. ф., М2 О □ А->- □ О А Сил (4, 5)

Импликация, обратная к М 30, недоказуема. Заметим, что М 30 можно было бы Доказать в М°.

На этом мы заканчиваем обзор основных теорем модальной логики. Как и для исчисления предикатов, существуют доказа­тельства семантической корректности и полноты для систем модальной логики. Доказательство их непротиворечивости мо­жет быть также сведено к доказательству непротиворечивости

классического исчисления высказываний. В отличие от исчио* ления предикатов, рассмотренные модальные системы являются разрешимыми теориями

Упражнения: