46 Отсюда и название этих переменных. В дальнейшем мы обычно опу- скаем прилагательное «предметная» («индивидная») перед существительным «переменная», если не возникает недоразумений.

47 Формулы логики высказываний называют также пропозициональными формулами.

48 Ниже в определении в дальнейшем мы обычно опускаем прилагатель- ное «предикатная» перед существительным «формула», когда из контекста ясно, о каких формулах идет речь.

1. а) пропозициональная буква есть формула;

11*

331

б) выражение, состоящее из л-местной предикатной буквы с приписанной справа n-членной последовательностью предмет­ных переменных (не обязательно различных), есть формула;

2. а) если А, В — формулы, то каждое из следующих вы- ражений:

~ А; (А А В); (А V В); (А-С)

есть также формула;

б) если А—формула, х—предметная переменная, то каждое из следующиих выражений: VxA (читается — «каково бы ни было х, имеет место А»); НхА (читается — «существует такое х, что имеет место А») есть формула'.

3. выражение считается формулой тогда, и только тогда, когда оно может быть построено в соответствии с пп. 1—2.

Из определения непосредственно следует, что формула ло­гики высказываний (или пропозициональная формула) являет­ся частным случаем формулы логики предикатов, или преди­катной формулы. Действительно, в новом определении формулы имеются дополнительные подпункты б) в пп. 1 и 2 по сравне­нию с определением формулы логики высказываний.

Формулы, определяемые в п. 1, определения предикатной формулы, называются элементарными.

Пример. Здесь приводятся некоторые элементарные фор­мулы»

Р, Fx, Gx, Rxy, Sxx, Uxyz.

Элементарная формула с одноместной предикатной буквой, скажем, формула Fx, читается: «х обладает свойством F» или, более коротко, «.F от х»; элементарная формула с двухместной предикатной буквой, например, Rxy читается: «.х находится в отношении R к у» или, короче, «Я от х, у»; далее, элементарная формула с трехместной предикатной буквой, скажем, Uxyz мо­жет быть прочитана: «.х, у, z (в таком порядке) находятся в от­ношении R» или короче, «С/ от х, у, г» и т. п.

Иногда переменные, стоящие после предикатной буквы, за­ключают в скобки и разделяют запятыми. Так, вместо Uxyz можно было бы написать U(x,y,z). Кроме того, элементарные формулы с двухместными предикатными буквами записывают­ся так: первую переменную ставят перед предикатной буквой, а вторую — после нее. Скажем, вместо Rxy пишут xRy. Этим способом записи элементарных формул мы также будем иногда пользоваться.

При построении выводов и доказательств средствами логики предикатов основную роль, как мы увидим ниже, будут играть понятия свободных и связанных вхождений переменныхв формуле. Эти понятия можно также ввести с помощью опре­деления.

Определение свободных и связанных вхож-дени.й переменных в формуле F.

1. F есть элементарная формула:

а) в F нет ни свободных, ни связанных вхождений перемен- ных, если F — пропозициональная буква;

б) в F все вхождения переменных свободны, если F не яв- ляется пропозициональной буквой.

2. F не есть элементарная формула:

а) формулу F можно представить в одном из следующих видов: ~ А, А Л В, AVB, А-+В, тогда в F свободны (соотв. связаны) те, и только те, вхождения переменных, которые про- исходят от свободных (соотв. связанных) вхождений перемен- ных в А или В;

б) формулу F можно представить в одном из видов — VxA, ЭхА, тогда в F 1) все вхождения переменной х связаны; 2) вхо- ждения остальных переменных свободны (соотв. связаны), если они происходят от свободных (соотв. связанных) вхождений переменных в А.

Из этого определения легко усмотреть, что вхождение пере­менной х в формулу F связано, если в F оно находится в под­формуле, начинающейся квантором V или 3, за которым не­посредственно следует переменная х и о котором говорят в дан­ном случае, что он связывает переменную х.

В остальных случаях вхождение переменной х свободно в формуле F.

Пример. В формуле

Vx(Rxy^*-H.y(Uxyz Л Qxy)) V VxHz, (Uxyz Л tlxFx)

все вхождения переменной х связаны; первое и последние вхож» дения переменной у свободны, остальные вхождения перемен­ной у связаны; все вхождения переменной z свободны и, нако­нец, единственное вхождение переменной 2i связано.³⁶

В дальнейшем параметрами формулы мы будем называть те переменные, которые имеют свободные вхождения в данной формуле. Так выше в примере параметрами рассматриваемой формулы являются у, z (но не х).

Как мы уже знаем, применяя логический аппарат к анализу обычных рассуждений и к решению логических задач, важно научиться записывать предложения обычного языка с помощью логической символики.

Ниже на нескольких простых примерах мы покажем, как это делается. При записи математических предложений мы для простоты всюду полагаем, что значениями содержащихся в них переменных служат натуральные (целые неотрицательные) числа.

Пример 1. Предложение Существуют многолетние расте­ния, которые цветут всего один раз можно записать так: Эх (Многолетнее растение (х) Л цветет один раз (х)).

2. Арифметическое предложение Всякое простое число, ко- торое делит произведение (двух чисел) делит хотя бы один из сомножителей запишется с помощью логической символики и математических знаков в следующем виде:

VxVyVz ((Простое (х) Л (х Делит у • г)) -> ((х Делит у) V V (х Делит г))).

"(читается: каковы бы ни были числа х, у, г, если х простое и х делит y-z, то х делит у или х делит г).

3. Предложение Для всякого числа существует большее. Можно выразить так:

УхЗу (у > х)

"(читается: каково бы ни было (число) х существует (число) у такое, что у>х), а предложение Не существует числа, для которого нет большего запишется в виде:

~ 3xYy~(y> х).

Приведенные два предложения эквивалентны. В дальнейшем можно будет установить их эквивалентность с помощью исчисления предикатов.

4. Наконец, предложение Никто не видел всех городов мож- но записать в следующем виде:

Yx (Человек (х)-+~ У у (Город (у)-+(х Видел у))) читается: каков бы ни был х, если х человек, то неверно, что для всякого у, если у город, то х видел у).

Этому предложению эквивалентно следующее: Для всякого человека существует город, которого он не видел.

В свою очередь данное предложение с помощью логической символики запишется так:

Yx (Человек (jt)-*3t/ (Город (у) А ~(* Видел у))).

Упражнения:

Записать с помощью логической символики следующие предложения:

305. Некто знает нечто.

306. Кто-то встретил кого-то, а кто-то так никого и не встретил.

307. Каждый второклассник прочитал хотя бы одну книгу.

4. Во всех славянских языках, кроме болгарского, имена существитель- ные склоняются.

308. Каждое простое число, неравное двум, нечетно.

309. Существуют числа, не имеющие общих делителей, кроме едииииы.

310. Система уравнений

х + у = 5 х-у = Ъ

имеет решение.

8. Система уравнений

- х+у=5 2*.у=6

несовместна.

9. Существует бесконечно много простых чисел.

10. Две прямые, порознь параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

При некотором выборе значений предикатных символов фор­мулы со свободными вхождениями переменных, т. е. формулы, содержащие параметры, выражают условия, зависящие от этих параметров.

Пример. Ниже приводятся такого рода параметрические формулы, выражающие условия:

311. х<у,

312. Яу{х<у);

313. V* (*<«/);

314. (х>0)^(х + у>у);

315. Vy({x>0)^(x + y>y)).

Подставляя в эти формулы на места свободных вхождений переменных наименования чисел, мы будем получать (истин­ные или ложные) высказывания, т. е. предложения, выражаю­щие уже не условия, а определенные суждения.

Так, подставляя в формулу (1) 2 вместо х, 3 вместо у, мы получаем истинное арифметическое предложение: 2 < 3, а под­ставляя, скажем, эти же числа в обратном порядке, т. е. 3 вме­сто х, 2 вместо у получаем ложь: 3 < 2 и т, д.

Какое бы число мы не подставляли в формулу (2) вместо свободного вхождения, мы всегда будем получать истинное высказывание. Таким образом, формула (2) выражает всегда выполнимое арифметическое условие. В то же время легко убедиться, что формула (3) выражает невыполнимое условие, так как любой результат подстановки вместо свободного вхож­дения у, даст ложное высказывание. Очевидно также, что фор­мулы (4), (5) выражают всегда выполнимые условия.

Связывая все свободные вхождения переменных в (1) — (5) с помощью кванторов, мы также получим формулы, не завися­щие от параметров и выражающие (истинные или ложные) суждения.

Так, формула

(2') VxZy{x<y)

выражает истинное, в то время как формула

(3') ZyVx{x<y)выражает ложное суждение³⁷. В то же время каждая из

формул

(4') VxVy((x>0)^(x + y>y));

(5') VyVx({x>0)-+(x + y>y))

есть истинное высказывание.

При записи общих математических предложений (утвержде­ний) стоящие перед ними кванторы общности обычно опускают. Так, вместо (4'), (5') пишут (4), вместо (2') пишут (2).

Но вместо (2') нельзя написать х < у, так как с точки зре­ния принимаемой при опускании кванторов интерпретации все­общности х < у выражает ложное суждение

VxVy (х<у).

Для того чтобы приступить к формулировке натурального исчисления предикатов, нам осталось определить операцию подстановки вместо предметных переменных.

Подстановкой в формулу А переменной у вместо перемен­ной х называется замещение в А всех свободных вхождений х вхождениями у. Результат подстановки в формулу А мы обо­значаем посредством (А |*. Если х не входит свободно³⁸ в А, то мы считаем, что | А £ совпадает с А. Очевидно, что если у со­впадает с х, то | А С также совпадает с А, т. е. в этом случае подстановка не изменяет формулу, в которую производится подстановка.

Подстановка у в А вместо х называется корректной, если ни одно введенное данной подстановкой вхождение у, не оказы­вается связанным в | А |*. Иначе говоря, вводимое подстановкой вхождения переменной не должно попадать в область действия квантора, связывающего данную переменную.

В правильных рассуждениях некорректная подстановка не­допустима, так как она может привести к ложным утвержде­ниям. Поясним сказанное на простом примере. Мы знаем, что формула Ву(х<у) выражает всегда выполнимое арифметиче­ское условие, т. е. условие, которому удовлетворяет любое численное значение переменной. Но некорректная подстановка у вместо х в данную формулу дает высказывание Зг/(г/ < у), выражающее ложное суждение.

В дальнейшем всюду имеется в виду только корректная подстановка.

Теперь мы уже в состоянии приступить к рассмотрению си­стемы естественного вывода в логике предикатов (натурального

исчисления предикатов). Описание этой системы получается из описания системы N естественного вывода в логике высказыва­ний⁵² добавлением к правилам [I] правил введения и удаления кванторов.

Ниже в схемах правил А, С — формулы, х, у — переменные | А I* — результат корректной подстановки у в А вместо х:

VxA | А _1у

IА С НхА | АС

IА С VxA

X

у

ВВ -—— _t у_В

ВС -——. УС

ЗхА С

Правило ВВ называется введением всеобщности, правило ВС — введением существования, и, наконец, правило УС — удаление существования. Можно заме­тить известную аналогию между ВВ, УВ и ВК, УК, с одной стороны, и ВС, УС и ВД, УД — с другой.

Переменная, обозначенная в схемах правил ВВ и УС по­средством у, называется собственной переменной этих правил. При построении доказательств правила ВВ и УС при­меняются с ограничениями, относящимися к собственной пере­менной.

Ограничения на применения правил В В, УС.

I) При построении доказательства правило ВВ применяет- ся, если выполняются следующие условия- 1) собственная пере- менная данного правила не входит свободно в формулы, напи- санные ранее в качестве допущений (в том числе и в качестве допущения косвенного доказательства); 2) собственная пере- менная не входит свободно в формулу, обозначенную в схеме правила посредством VxA (т. е. в заключение данного правила).

II) При построении доказательства правило УС применяет- ся, если выполняются следующие условия: 1) собственная пере- менная данного правила не входит свободно в формулы, ранее написанные в качестве допущений (в том числе и в качестве допущения косвенного доказательства); 2) собственная пере- менная не входит свободно ни в формулу, обозначенную по- средством ЗхА, ни в формулу, обозначенную посредством С, в схеме правила УС (т. е. ни в левую посылку, ни в заключение данного правила).

Правило УВ можно охарактеризовать как правило логиче­ского перехода от общего предложения к рассмотрению его частного случая. Например, рассуждение: Для всякого числа существует большее. Следовательно, существует число, боль­шее 2³⁹ протекает в соответствии со схемой правила УВ.

Используя логическую символику и математические знаки, при­веденное выше рассуждение можно представить в следующем виде:

1. Vx3y {х < у) посылка Еу{2»<у) УВ(1)

Рассмотрим теперь правило ВВ. Оно позволяет переходить от предложения, выражающего условие, к общему предложе­нию, если от параметра данного условия не зависят: 1) ни допущения доказательства, 2) ни заключение данного правила. Поясним сначала существенность второго ограничения на при­менение правила ВВ. Так, логически некорректный (ошибоч­ный) переход от истинного арифметического равенства у = у к ложной арифметической формуле V* (х = у), означающей, что любые числа равны между собой, объясняется, как нетруд­но убедиться, тем, что у, как собственная переменная данного правила, входит свободно в Yx(x = y), т. е. vx{x = y) зависит от параметра у. В то же время переход

1. у —у аксиома равенства,

Ух(х = х) ВВ (1)

разумеется, является корректным. Проиллюстрируем теперь су­щественность второго ограничения на применение правила ВВ, Взяв в качестве допущения неравенство

(1) х > О допущ.,

мы, пользуясь известными законами арифметики, можем вы­вести из (1) следующее неравенство:

(2) х + у>0.

Но если бы мы захотели продолжить рассуждение с помощью ВВ, нарушая при этом первое ограничение на применение дан­ного правила, скажем, присоединением строки

(3) Yz(z + y>0),

то наше «рассуждение» оказалось бы ошибочным, так как из того, что х > 0 отнюдь не следует, что сумма любых двух чисел больше нуля.

Правило УС связано со следующим способом рассуждения. Располагая предложением ЗхА, утверждающим существование предмета (объекта), удовлетворяющего условию А, мы допус­каем, что таким объектом является, скажем, объект, представ­ленный параметром у, от которого не зависят ни допущение доказательства, ни предложение ЗхА. Затем, получив условное

предложение (импликацию) | А |у —>С, где С также не зависит от параметра у, мы с помощью правила УС переходим к за­ключению С. Покажем на примере, как нарушение ограничения, требующего независимости С в схеме правила УС от параметра у, приводит к ложным утверждениям (предоставляя читателю самостоятельно убедиться на примерах в существенности остальных ограничений). Ниже вместо арифметического отно­шения «делитель» («делит») мы пишем, как это принято в тео­рии чисел, вертикальную черту |. Рассмотрим следующую по­следовательность арифметических предложений:

1. Ух{6\х->2\х)

316. а*(6|х)

317. 6\у->2\у

318. 2\у

5. Ух{2\х)

УВ (1). УС (2, 3) ВВ (4).

Нетрудно убедиться, что написанные в строках 1—2 предло­жения выражают истинные арифметические суждения, и их можно рассматривать в качестве ранее доказанных. Так, первое из них означает, что всякое число, делящееся на б, является четным, второе утверждает, что существует число, делящееся на 6. Предложение в строке 3 следует по правилу УВ из пред­ложения, написанного в строке 1. В строке 5 написано предло­жение, выражающее ложное арифметическое суждение, что всякое число является четным. Нетрудно видеть, что причина появления ложного предложения вызвана некорректным «при­менением» правила УС для получения 2\у в строке 4, так как в данном случае у входит свободно в заключения рассматри­ваемого применения УС, будучи в то же время собственной переменной данного правила.

Правило ВС разрешает логический переход к предложению о существовании объекта, удовлетворяющего некоторому усло­вию, на основании предъявления конкретного примера объекта такого рода. Например, получая из предложения Брошенный мною окурок может вызвать пожар как следствие предложения Существует нечто такое, что может вызвать пожар, мы рассуж­даем в соответствии с правилом ВС. Далее, переходя от пред­ложения 2⁶⁴ меньше некоторого числа к предложению. Суще­ствует число меньше некоторого числа мы также действуем в соответствии с этим правилом. Символически последнее рас­суждение можно записать так:

1. Еу (2⁶⁴ < у) посылка

ЕхЯу{х<у) ВС (1).

В описанном исчислении предикатов можно выделить системы, находящиеся в отношении последовательного подчинения: 1) положительное исчислением предикатов, получаемое присо­единением кванторных правил к Np°^s; 2) минимальное исчис­ление предикатов, получаемое присоединением кванторныхправил к N^min и, наконец. 3) конструктивное исчисление пре­дикатов, получаемое присоединением кванторных правил к N^cn< Прежде чем приступить к систематическому рассмотрению основных теорем логики предикатов, приведем несколько при­меров с тем, чтобы читатель освоился с новой логической тех­никой.

Пример. Покажем, как строится доказательство формулы

ilyVxRxy -> Vz^uRzu. Сначала построим доказательство более простой формулы

VxRxy -> lluRzu. Доказательство.

319. VxRxy допущ.

320. Rxy ' УВ (1) EuRzu ВС (2)

Окончательное доказательство приводится ниже:

ZyVxRxy -> Vz'RuRzu. Доказательство.

321. HyVxRxy допущ.

322. YxRxy-+HuRxu р. д. ф.

323. ZuRxu УС (1,2) Vz^uRzu вв (3).

Формула, написанная в строке 3, получается по УС из фор­мул, написанных в строках 1 и 2. Обращаем внимание, что соб­ственная переменная у рассматриваемого применения УС удо­влетворяет требуемым ограничениям: у не входит свободно в допущение и в левую посылку УС⁴⁰ (там у связано) и не входит свободно в заключение УС.

Правило вв в этом доказательстве также применено кор­ректно: собственная переменная х данного применения вв не входит свободно в допущение (там х связано) и в заключе­ние вв.

в дальнейшем мы рассмотрим некоторые специфические законы логики предикатов.

PI. VxA->|A|*

Доказательство.

1. VxA допущ.

|A£ ув(1)

Р2. |А|*-»>ЯхА

Доказательство.'

1. !А|у допущ. HxV ВС (1)

Из PI, Р2 по правилу силлогизма следует

РЗ. VxA -*■ ЗхА

Р4. VxVyA ■*-» Vy VxA

Приводимое ниже доказательство строится в предположе­нии, что читатель предварительно доказал следующие формулы!

(a) Зг/А-^-Зг/ЗхА,

(b) ЗхА-»-3x3 уА.

Р5. ЗхЗуА ■*-» ЗуЗхА Доказательство. Часть I. ЗхЗуА->^уЗхА.

324. ЗхЗуА допущ.

325. ЗуА-»-ЗуЗхА р. д. ф., (а) ЗуЗхА УЗ (1, 2)

Часть И. ЗуЗхА -*■ ЗхЗуА

с помощью (в) исчерпывается аналогично.

Теоремы Р4, Р5 называются законами перестановки кванторов. Согласно этим законам начинающие формулу однородные кванторы вместе с их переменными можно менять местами. Но разнородные кванторы, которыми начинается фор­мула, вообще говоря, нельзя переставлять. Правда, имеет место теорема

Р6. 3yVxA -*■ Vx3yA,

но импликация, обратная к Р6, недоказуема. Обращение Р6 легко опровергнуть с помощью следующего арифметического контрпримера:

Vx3y (х > у) ->3yVx (х > у).

Действительно, эта импликация ложна, так как ее антеце­дент, означающий, что для любого числа существует большее, истинен, а консеквент, означающий, что существует число, боль­шее любого числа (в том числе и самого себя), явно ложно.

Р7. Vx(A^B)^(VxA-*VxB).

Р8. Vx (А -> В) •*-» (А -*■ VxB), где х не входит свободно в А. Р9. Ух(А-+В)-+(ЯхА-+ЯхВ)

Р10. Vx (А -*■ В) (ЗхА -> В), где х не входит свободно в В.

PH. Vx(AAB)<->(VxAA VxB)

P12. Vx (А Л В) «г-»- (A A VxB), где x не входит свободно в А.

Р13. Нх(А Л В)-»-(НхА Л ЗхВ)

Р14. Нх(А Л В)«г->(А Л ЗхВ), где х не входит свободно в А.' Р15. (VxA V VxB) Vx (А V В).

Импликация, обратная к Р15, недоказуема. Р16. Нх (А V В) ■*-»• (НхА V ЗхВ).

Теоремы Р7—Р16 называются законами пронесения кван­торов. В них указываются условия, при которых кванторы можно вносить в область действия или выносить из области бинарной пропозициональной связки, т. е. знака конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Существуют и другие законы про­несения кванторов. Они будут рассмотрены несколько позже.

В формулы логики предикатов могут входить так называе­мые вырожденные кванторы, которые не имеют в управляемой ими формуле свободных вхождений переменных, связываемых этими кванторами. Согласно приводимым ниже теоремам мы можем избавиться от вырожденных кванторов.

Р17. VxA-<r-*A, где х не входит свободно в А. Р18. ЗхА ■*-> А, где х не входит свободно в А.

Обращаем внимание на то, что теоремы PI—Р18 доказуемы в системе положительной логики предикатов.

Теперь мы познакомимся с законами отрицания кванторов.

Р19. ~| А|*-»~ VxA.

Доказательство.

326. ~ | А !у допущ.

327. VxA-IAly" р.д. ф., PI ~ VxA МТ (2, 1)

Р20. ~ ЗхА ~ | А |_у

Доказательство.

328. ~ НхА допущ.

329. |А|*-*НхА р.д. ф.,Р2

А |^х_у МТ (2, 1)

В теореме Р19 формулируется закон, по которому опровер­гается общее прдложение, на основании ложности его част­ного случая. Теорема Р20 утверждает, что если не существует объекта, удовлетворяющего некоторому условию, то любой результат подстановки в данное условие вместо соответствую­щего параметра дает ложное предложение.

Из Р19, Р20 по правилу силлогизма непосредственно сле­дует:

Р21. ~3xA->~VxA. Р22. ~ VxA -е->Нх~А.

допущ.

допущ. сильного косв. док. р. д. ф., Р20 МП (2, 3) ДО (4) ВВ (5)

Доказательство. Часть I. — VxA->3x—А

330. — VxA

331. — Зх —А

332. — Зх—А-> — — А

333. — — А

334. А

335. VxA Пртврч: 6, 1