42 Полужирные прямые буквы s, р, м здесь и в дальнейшем исполь­зуются в качестве метапеременных для силлогистических переменных.

Описываемая ниже система S дает представление силлоги­стики в виде логического исчисления естественного вывода. Си­стема S содержит:

I. Аксиомы и правила следования.

Аксиомами в системе являются формулы следующих видов:

263. МаР -*■ (SaM -> SaP);

264. МаР -> (MiS -> SiP);

265. SaS — первый закон тождества;

266. SiS — второй закон тождества.

Схемы правил следования в системе S совпадают с соответству­ющими схемами в системе N, описанной в § 16 гл. III.

И. Правила построения доказательства в си­стеме S дословно переносятся из описания системы N; при этом п. 1) этих правил дополняется упоминанием об аксиомах в S, т. е. формулируется следующим образом:

1) Одну из формул А_ь А₂ А„ в качестве допущения

или одну из аксиом: SI, S2, S3, S4.

Формула называется доказуемой формулой систе­мы S, или теоремой силлогистики, если в системе S можно построить доказательство данной формулы.

Из определения силлогистической формулы и правил по­строения доказательства в системе S следует, что любое выра­жение, которое может быть получено (одновременной), подста­новкой в доказуемую формулу логики высказываний вместо всех вхождений пропозициональных букв произвольных силло' гистических формул, есть теорема силлогистики. Поэтому уста­новленные в предыдущем параграфе теоремы и производные правила можно некоторым очевидным образом перенести в сил­логистику.

Число теорем и производных правил описанной выше систе­мы обобщенной силлогистики ничем не ограничено. Рассмотрим некоторые из них.

Легко понять, что относительно S1 и S2 производны правила, называемые в традиционной логике модусами Barbara и Datisi соответственно:

МаР SaM

Barbara ,

SaP

МаР MiS

Datisi .

SiP

55. SaPSiP— первый закон подчинения. Доказательство.

267. SaP допущ.;

268. SiS аксиома; S4 SiP Datisi (1, 2).

Относительно S5 производно первое правило подчи­нен и я:

SaP

: ^ (аЛ)-подч. «.

S6. SiP -^PiS закон Ьо б р а щ-ен и я. '-,

Доказательство.

269. SiP допущ. _г

270. SaS аксиома, S3 PiS Datisi (2, 1).

Относительно S6 производно правило 1-обращения:

SiP

i-обращ. . ,

^F PiS

S7-. SaP-> PiS з а кон а-обращения. Доказательство.

271. SaP-> SiP p. д. ф., S5;

272. SiP ->PiS p. д. ф., S6; SaP -> PiS Сил (1, 2).

Относительно S7 производно_п p а в и л о а-обращбния:

SaP

а-обращ. .

PiS

58. SeP-»-SoP второй закон подчинения. Доказательство/

1. (SaP -> SiP) -> (~ SiP -> ~ SaP) р. д. ф., Т17 ^г 2. SaP -> SiP р. Д. ф., S7

• 3. ~SiP->~SaP МП (1,2)

SeP->SoP'~ Df (3)

Относительно S8 производно второе пр'авило подчине­ния.

SeP

(е/о)-подч. ——.

SoP

59. SeP->PeS закон е-обращения Относительно S9 производно* правило е-обращения

SeP

е-обращ.

PeS

S10. SeP-<r-».~SiP

SU. SoP-<^~SaP' '

273. SaP«<^~SoP

274. SiP-«-*~SeP

275. MaP-»(SiM->SiP)

Доказательство

276. МаР )

277. SiM ) ^Д0ПУЩ'^;

278. MiS i-обращ. (2); SiP Datisi (1,3).

Относительно S14 производно правило, традиционное назва­ние которого — модус

МаР SiM

Darii —; .

SiP

515. MeP-»(SaM-»SeP).- Доказательство.

279. MeP )

280. SaM j. ^ДОпущ' ,

281. ~ SeP допущ. косв. док.

282. ~~SiP Df (3)

283. SiP ДО (4) ,

284. MiP Datisi (5, 2)

285. -MiP Df (1) Пртврч: 6, 7

Относительно SI4 произведен модус

' MeP SaM

Celarent .

SeP >

516. MeP -*- (SiM SoP). Доказательство.

1. MeP )

1 SiM J ^допу^щ-

3. —SoP допущ. косв. док. 4. SaP Df (3)

286. SaP ДО (4)

287. MiP Datisi (5, 2)

288. - MiP Df (1) Пртврч; 6,7

Относительно S15. произволен модус

MeP SiM

Feno .

SoP

289. MaP-»(SaM-»SiP).

290. MeP (SaM SoP).

Относительно S16, S17 производны правила

МаР SaM

Barbari ; ''

SiP

МеР SaM

Celaront ,

SoP

которые относятся к числу так называемых «слабых» модусов.

Обоснованные выше модусы, кроме Datisi, относятся к так называемой первой фигуре.-Эти модусы имеют общую структуру в том смысле, что могут быть построены по следую­щей схеме (схемы первой фигуры):

МаР SpM SyP '

где метапеременные а, р, у стоят вместо констант а; е, i, о. За­мещая в этой схеме буквы а, В, у всевозможными трехчленными наборами из букв а, е, 1, о, т. е. наборами ааа, аае, aai, аао ... (всего их 64), мы получим 64 модуса первой фигуры, из кото­рых правильными являются только шесть обоснованных выше модусов.

Остальные 58 модусов являются неправильными в том смысле, что схемы их не являются схемами логически коррект­ного правила (кратные импликации, отвечающие этим непра­вильным модусам, недоказуемы в системе S).

Кроме модусов первой фигуры, можно рассмотреть модусы второй, третьей и четвертой фигу.р, которые стро­ятся соответственно по следующим схемам:

2 фиг. 3 фиг. 4 фиг.

РаМ SBM ' МаР MpS РаМ MBS -

SyP SyP SyP

В каждой из фигур имеется ровно 6 правильных модусов. Таким образом, из 256 модусов, построенных по схемам всех четырех фигур, только 24 модуса являются правильными.

Мы приводим их мнемотехнические названия, по которым читатель без труда сможет построить схемы этих модусов, за­мещая надлежащим образом в схемах соответствующих фигур буквы а, 6, у гласными, входящими в названия модусов. Как мы уже знаем, к правильным модусам первой фигуры относят­ся: Barbara, Celarent, - Darii, Ferio, fBabari, Celaront].³³ Пра­вильными модусами второй группы являются: Cesare, Came-stres, Festino, Baroco, [CesarO, Cameostro]; далее правильнымимодусами третьей фигуры будет; DaraoiP Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison, из которых четвертый мы уже устано-вили;-наконец, к правильным модусам четвертой фигуры отно­сятся': Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison, [Cameno].

Задача обоснования правильных модусов, построенных по схемам четырех фигур, сводится, таким образом, к нахожде­нию доказательств всех силлогистических теорем, представимых .в виде

E-KF-G),

где Е, F—посылки, a G — заключение соответствующего мо­дуса. ³⁴

. Предоставляем читателю завершить решение сформулиро- ванной выше задачи. .

Известно, что в системе S можно построить доказательство всех истинных формул силлогистики, т. е., грубо говоря, всех тех формул, которые . становятся истинными высказываниями при любой подстановке конкретных (общих и непустых) терми­нов вместо силлогистических переменных. Но в системе S нет. правил^ с помощью которых можно было бы устанавливать недоказуемость (в данной системе) силлогистических формул.

Аристотель, устанавливая «неправильность» соответствую­щих модусов, пользуется обычным приемом нахождения контр­примера. Этот прием сострит в указании таких конкретных терминов, подстановка которых вместо силлогистических пере-, менных в соответствующую формулу вида

E-KF->G)

дает ложное высказывание. .Но у Аристотеля имеется одно за­мечание, в котором можно видеть идею формальной процедуры установления недоказуемости, иди отбрасывания ложных фор­мул силлогистики, (т. е. тех формул силлогистики, для которых можно найти контрпример). Эта идея была развита Я- Лукасе-вичем в концепцию правил отбрасывания.

Как показал Я. Лукасевич, если к логической системе силло­гистики добавить правило (а) отбрасывания через подстанов­ку, ³⁵ правило (в) отбрасывания через' отделение, а в качестве аксиом отбрасывания принять следующие две-формулы:

Чс) PaM-*(SaM-*SiP);

(d) PeM-*-(SeM-*SiP), -

то можно отбросить все 232 неправильных модуса силлогизма.

Но для отбрасывания всех ложных формул силлогистики, правил (а), (в) вместе с аксиомами отбрасывания (с), (d) не­достаточно. Тем не менее, как показал Е. Слупецкий, ученик Я. Лукасевича, если к правилам (а), (в) добавить еще одно, которое будет сформулировано ниже, и принять (с) в качестве единственной аксиомы отбрасывания, то с помощью данной системы правил отбрасывания можно отбросить все недоказуе­мые формулы силлогистики.

Упомянутое дополнительное правило, называемое прави­лом Слупецкого, можно сформулировать так.

Пусть Ei, Е₂ суть элементарные отрицательные формулы силлогистики, т. е. формулы, представимые в одном из следую­щих видов:

SeP; SoP,

^{a F — силлогистическая формула вида}

G,-*(G₂-> ... (G_n_i->G„) ...),

где Gj(t=l, 2, п)—произвольная элементарная формула силлогистики. Тогда, если формулы

E,->F, E₂->F

отбрасываются, то отбрасывается и формула

Е_|-*(Е_Я-*Р).