Глава IV

ФОРМАЛИЗОВАННАЯ СИЛЛОГИСТИКА

В созданной Аристотелем теории категорического силлогизг ма, называемой также силлогистикой, рассматриваются правила логического следования, посылками и заключением которых служат четыре формы высказываний: ' (1) Все S суть Р;

257. Ни одно S не есть Р;

258. Некоторые S суть Р;

259. Некоторые S не суть Р,

где буквы S, Р, называемые силлогистическими переменными, стоят вместо общих и непустых терминов, роль которых в обыч­ной речи играют слова или сочетания слов, выражающие поня­тия (например, «камень», «планета Солнечной системы», «дере­во», «растение», «животное», «человек», «число», «четное чис­ло», «простое число, не равное двум» и т. д.).

Эти формы высказываний, после замещения букв конкретны­ми терминами превращаются в высказывания, т. е. предложе­ния, выражающие (истинные или ложные) суждения.³¹

Пример. Если подставить в (1) — (4) некоторые из пере­численных выше терминов, то получим предложения:

(Г) Все деревья суть растения;

(2') Ни одно простое число, не равное двум, не есть четное число;

(3') Некоторые растения суть деревья;

(4') Некоторые деревья не суть растения,

из которых последнее выражает ложное суждение.

Известно много логических систем, формализующих силло­гистику; из них наиболее простой и естественной считается си­стема Я. Лукасевича.³²

Перечень исходных знаков формализованного языка силлогистики содержит следующие знаки.

260. Силлогистические переменные: S, Р, М, Si, Р\, М\ и т. д.

261. Логические знаки: ~, Л, V, ->, a, i.

262. Левую и правую скобки: (,).

В п. 2 последние два знака — силлогистические константы, остальные — пропозициональные связки.

Определение силлогистической формулы.

1. Если S, Р суть силлогистические переменные,*² то каждое из следующих выражений:

SaP; SiP

есть силлогистическая формула.

2. Если А, В суть силлогистические формулы, то каждое из следующих выражений;

~А; (АЛВ); (А V В); (А->В)

есть силлогистическая формула.

3. Выражение считается силлогистической формулой тогда, и только тогда, когда оно может быть построено в соответствии с пп. 1—2.

Силлогистические формулы следующих видов: SaP (чи­тается: «все S суть Р»), SiP (читается: «некоторые S суть Р»), i~SaP (читается: «не все S суть Р»), ~SiP (читается: «невер­но, что некоторые S суть Р») мы будем называть элементар­ными формулами силлогистики.

SiP;

SaP.

Формы общеотрицательного и частноотрицательного выска­зываний вводятся с помощью определений:

Таким образом, согласно первому из этих определений SeP (читается: «ни одно S не есть Р») имеет тот же смысл, что и ,~SiP. Второе же определение означает, что выражение SoP (читается: «некоторые S не суть Р») совпадает по смыслу с выражением ~SaP. Логический знак ■*-»■ также вводится по определению, как выше.

Из определения следует, что силлогистическая формула мо­жет быть получена из формулы логики высказываний подста­новкой вместо пропозициональных букв элементарных формул силлогистики. Образно говоря, «макроструктура» силлогистиче­ской формулы совпадает со структурой формулы логики выска­зываний.