28 См. Выше, с. 289.

(3) (~АЛ~В)->~ (A VB) по Т32 ²².

Согласно правилу ДЧ, если (1) и "(2)" доказуемы в Л/, то в Л/ Доказуема и формула

(4) Gf, Gj, .... G„-»(~A А~В).

Наконец, из формул (4) и (3) по правилу обобщенного сил­логизма следует требуемая формула (II).

Случай IV. Формула F представима в виде А->В.

Случай IV. I. Под F написан символ логического значения «истинно». Тогда а) под А написан символ логического значе­ния «ложно» или б) под В написан символ логического значе­ния «истинно».

Если имеет место а), то по предположению в N доказуема формула

221. Gf, G2, G_n->~A. Кроме того, в Л⁷ доказуема формула

222. ~ А -> (А -> В) Ср. Т34.²³

По правилу обобщенного силлогизма из (1) и (2) следует Яфебуемая формула (I).

Если имеет место б), то в N доказуема формула

223. Gi, G2, G„->B. Очевидно также, что в N доказуема формула

224. В -у (А -> В) по ТЗ.²⁴

По правилу обобщенного силлогизма из (1) и (2) следует требуемая формула (I).

Случай IV. 2. Под F написан символ логического значе­ния «ложно». Тогда под А написан символ логического значения .«истинно», а под В—символ логического значения «ложно».

По предположению, в этом случае в N доказуемы формулы

225. G{, G|, ..., G_rt-> А;

226. Of, G₂, G„->~B.

Согласно правилу ДЧ если в N доказуемы формулы (1)" и [(2), то в N доказуема и формула

227. Gf, G₂, G_n-(AA~B). ^ Кроме того, в N доказуема формула

228. (А А ~ В)-> ~ (А В) по ТЗЗ. ²⁵

По обобщенному правилу силлогизма из (3) и (4) следует требуемая формула (II).

Рассмотрением данного частного случая завершается дока­зательство леммы 3.

Лемма 4. Пусть 1) Ei, Е₂, Е_га — перечень пропозицио­нальных букв, из которых составлена формула F. Тогда, если F есть тождественно-истинная формула, то в системе N дока­зуема формула

fa V ~ Ei), (Е₂ V ~ Е₂) (Е„ V ~ E_ft) -> F. (III)

Доказательство. Применяя к формуле (III) 2(^n-1>-f-l Ц-2<"-²)-f-...-f-1 раз правило PC (правило доказательства разбором случаев²⁶), мы сводим задачу на доказательство фор­мулы (III) к построению доказательств каждой из 2^п кратных импликаций, представимых в виде

G(, G'₂ G„->F, (IV)

где Gi, G₂, Gn — соответственная n-ка формулы F.

По лемме 3 для любого /(/= 1, 2, ..., 2^п) формула (IV) доказуема в N.

Теперь уже нетрудно установить, что система N естествен­ного вывода семантически полна.

Теорема 2. Если формула F тождественно-истинна, то F доказуема в N.

Доказательство. По лемме 4, если Ei, Е₂, Е„ — перечень пропозициональных букв, из которых составлена фор­мула F, то в N доказуема формула (III).

В то же время в системе N доказуема любая формула вида

Е₍ V~Ej.²⁷

Отсюда следует, что формула F доказуема в N.

Доказательство теоремы 2 дает эффективный общий метод ^г(алгоритм), с помощью которого для любой тождественно-ис­тинной формулы по ее таблице можно построить доказатель­ство данной формулы в системе N.

Из теоремы 2 вытекает

Следствие. Если формулы А, В равносильны, то в си­стеме N доказуема формула А ■*-* В.

Очевидно, что с помощью логической теоремы вида А-«->В мы можем показать, что в системе N производны правила сле­дования вида

А В

В"⁵ А '

которые можно записать в виде одной схемы

А

Двойная черта в этой схеме указывает на то, что данное правило обратимо, т. е. его можно применять как сверху вниз, так и снизу вверх.

Понятно, что согласно следствию из теоремы 2 все приме­нявшиеся до сих пор равносильности можно рассматривать в качестве обратимых производных правил системы N естествен­ного вывода.