§ 22. Полнота классического исчисления высказываний

До сих пор у нас еще не может быть полной уверенности в корректности рассмотренных в предшествующих параграфах логических правил. Иначе говоря, не совсем ясно, не получим ли мы, пользуясь этими правилами, ложных следствий из истин­ных посылок. Но если мы покажем, что все доказуемые фор­мулы (теоремы) системы N тождественно-истинны, то у нас не будет оснований сомневаться в корректности как основных, так и производных логических правил этой системы. Свойство ло­гической системы, состоящее в том, что доказуемые в ней формулы тождественно-истинны, называется корректно­стью данной системы относительно класса ло­гических тождеств, или семантической коррект­ностью.

Но естественно поставить и еще один вопрос: достаточно ли логических средств системы N для обоснования всех допусти­мых в логике высказываний способов рассуждения? На этот вопрос мы, очевидно, получим утвердительный ответ, если по­кажем, что любая теорема системы N является логическим тождеством.

Свойство логической системы, состоящее в том, что любая тождественно-истинная формула доказуема в ней, называется полнот ой данной системы относительно класса логических тождеств, или семантической полно­той. Руководствуясь требованиями корректности и полноты, можно судить об адекватности формального аппарата логиче­ского исчисления содержательно охарактеризованным принци­пам логики.

Покажем сначала, что система N естественного вывода семантически полна, отложив установление ее семантической корректности до следующего параграфа.

Будем говорить, что формула F составлена из пропозицио­нальных букв Е_ь Е₂, ..., Е„ (эти буквы выписаны без повто­рений), если в перечне Е_ь Е₂, Е„ имеются все пропорцио­нальные буквы, входящие в F (но могут содержаться и другие, не входящие в F буквы).

Очевидно, что для любой формулы можно указать (неогра­ниченно) много перечней пропозициональных букв, из которых она составлена, но только один из этих перечней будет мини­мальным, а именно тот, в котором нет пропозициональных букв, не входящих в данную формулу, .

Пример. Ниже приводится несколько перечней пропози­циональных букв, из которых составлена формула

~Р V q,

первый из них является минимальным?

1) р, q; 2) р, q, г, 3) р, q, г, р_ь q₂ и т. д.

Напоминаем, что обобщенная таблица может быть постав­лена в соответствие формуле F при заданном перечне Еь Е₂, ..., Е_п пропозициональных букв, из которых составлена F следующим образом.

В п начальных (входных) столбцов таблицы вписываются пропозициональные буквы Ei, Е₂, ..., Е„ (по одной в каждый столбец); в заключительный столбец выписывается формула F. Промежуточные столбцы заполняются остальными подформу­лами формулы F (также по одной в каждом столбце). Началь­ные столбцы заполняются всеми различными наборами, образо­ванными из символов логических значений (по одному символу в каждом столбце и по одному набору в каждой строке). Оче­видно, что число таких n-членных наборов будет равно 2^я. Остальные столбцы заполняются символами логических значе­ний в соответствии с истинностными таблицами для логических знаков: ~, Л, V, -* до тех пор, пока полностью не будет за­полнен заключительный столбец.

В дальнейшем под таблицей формулы всюду понимается обобщенная таблица. Кроме того, схему кратной импликации

Ai->(A₂-> ... (А„->С) ...)

мы будем иногда сокращённо записывать так:

Ai, А₂, ..., А„ —> С.

Введем одно вспомогательное понятие. Будем говорить, что

_G

i g^l /-> i

1, u₂, . . ., ilk

является n-кой, отвечающей i-й (i = 1,2, 2ⁿ) строке в таблице формулы при перечне Е₄, Е₂, ..., Е_п пропозициональ­ных букв, из которых составлена F [в дальнейшем сокращенно: (i-й) соответственной n-кой формулы F], если выполняются условия:

1) есть Е₆ для любого к(к = 1,2, .. , п), когда в г-той строке под Eft стоит "символ логического значения «истинно»;

2) Gl есть ~Eft для любого к (к = 1, 2, ..., п), когда в f-й строке под Eft стоит символ логического значения «ложно».

Имеют место следующие леммы:

Лемма 3. Пусть G[, G', G_n есть (i-я) соответ­ственная п-ка формулы F. Тогда, если в i-й строке (даннойтаблицы, формулы F) под F написан символ логического значе­ния «истинно», то формула

С(, G^, G_n->F (I)

доказуема в системе N, и если в i-й строке (данной таблицы формулы F) под F написан символ логического значения «лож­но», то формула

G{, G₂, .... G„-*~F (II)

доказуема в системе N.

Доказательство леммы можно свести к рассмотрению следующих случаев:

Случай О. Формула F-=- пропозициональная буква. Тогда, если (в t'-й строке) под F написан символ логического значения

«истинно», формула F совпадает с одной из формул G', G2, ... ..., G^,a потому формула (I) по Т2¹⁶ доказуема в N. Сходным образом, если под F написан символ логического значения «ложно», формула (II) по Т2 также доказуема в N.

Теперь в предположении, что лемма верна для собственных подформул¹⁷ формулы F, рассмотрим дальнейшие случаи..

Случай I. Формула F представима в виде ~А.

Случай 1.1. Под F написан в i-й строке символ логиче­ского значения «истинно». Тогда (в этой же строке) под А на­писан символ логического значения «ложно», а потому (соглас­но предположению) в N доказуема формула

G], Ga, ...., G^l_n—>-~ А,

которая совпадает с требуемой формулой (I).

Случай 1.2. Под F написан символ логического значения «ложно». Тогда под А написан символ логического значения «истинно» и (по предположению) формула

(1) G(, G2, G„-»-A доказуема в N. Кроме того, в N доказуема формула

(2) А-> А по Т14¹⁸.

Применяя к формулам (1) и (2) обобщенное правило сил­логизма,¹⁹ устанавливаем, что требуемая формула (II) также доказуема в N.

Случай II. Формула F представима в виде АЛВ.

Случай II. 1. Под F написан в 1-й строке символ логиче­ского значения «истинно». Тогда в данной строке этот же сим­вол написан как под А, так и под В. По предположению, каж­дая из формул

G{, G2 G_n-»-A;

G(, G2 Gn-^-B

доказуема в N. Следовательно, на основании правила ДЧ (правила доказательства по частям^а) в N должна быть дока­зуема и требуемая формула (I).

Случай II.2. Под F написан символ логического значения «ложно». Тогда а) под А или б) под В написан этот же символ.

Мы ограничимся рассмотрением подслучая а), так как под-случай б) рассматривается аналогично.

По предположению формула

^{(1) G{, G2, ... £-„-►-А}

доказуема в N. Кроме того, в доказуема формула

(2) ~А->~(АДВ) по Т21.²⁰

Требуемая формула (II) следует из формул (1) и (2) по обобщенному правилу силлогизма.

Случай III. Формула F представима в виде AVB.

Случай III. 1. Под F написан символ логического значе­ния «истинно». Тогда этот же символ написан а) под А или б) под В. Здесь мы ограничимся рассмотрением подслучая б).

По предположению формула

(1) G{, G^l_u ... G^B

доказуема в N. Кроме того, в N доказуема и формула

(2) В ->• (А V В) по Tl 1. ²¹

Из (1) и (2) по правилу обобщенного силлогизма следует требуемая формула (I).

Случай III. 2. Под F написан символ логического значе­ния «ложно». Тогда как под А, так и под В написан этот же символ.

По предположению, каждая из следующих формул:

(1) GJ, G2 G_n-"~A;

(2) G{, G^l>, G^-*~B доказуема в N. Кроме того, в N доказуема формула