17 Mclus tollendo ponens (лат.) — способ утверждения посредством от­рицания.

Часто логику высказываний, которая в нашем изложении представлена полной системой N, называют классической логикой высказываний. Несмотря на то, что существуют теоремы классической логики, не доказуемые в конструктивной, в част­ности, закон исключенного третьего АV ~ а закон двойного от­рицания ~~ A-vA, конструктивная логика связана с класси­ческой рядом интересных соотношений, свидетельствующих в пользу того, что в известном смысле конструктивная логика не беднее логическими средствами, чем классическая. Так, со­гласно результату В. И. Гливенко (1929), в конструктивной логике высказываний для любой теоремы классической логики высказываний, можно доказать ее двойное отрицание; при этом все теоремы классической логики высказываний, начинающиеся знаком отрицания, доказуемы и в конструктивной логике выска­зываний. Известно также, что любая теорема классическогоисчисления высказываний, содержащая из пропозициональных связок лишь Л, ~, доказуема в конструктивном исчислении вы­сказываний. Этот результат был получен К. Геделем (1933). Существуют и другие интересные взаимоотношения между классической и конструктивной логикой, они детально исследо­ваны Н. А. Шаниным ¹¹.

Конструктивная логика, как самостоятельная логическая си­стема, имеет свою семантику. Ее возникновение связано с осо­бым, конструктивным пониманием математических объектов, согласно которому математические объекты являются резуль­татами процессов построения, и принятием такого способа мыш­ления, который позволяет выявить специфические черты этих конструктивных объектов. Указанному требованию, в частности, не удовлетворяют классические (сильные) косвенные доказа­тельства ^1Э, так как с их помощью в математике доказываются так называемые чистые теоремы существования. В то же время, согласно конструктивному пониманию, существование объекта с данными свойствами считается доказанным, когда указы­вается способ потенциально осуществимого построения объекта с данными свойствами¹².

Конструктивная логика своим развитием во многом обяза­на трудам таких советских ученых, как А. Н. Колмогоров, В. Г. Гливенко, А. А. Марков, Н. А. Шанин и др.

§ 21. Сильное (классическое) косвенное доказательство

Сначала мы рассмотрим ситуацию, которая возникает, когда к описанной в предыдущем параграфе логической системе кон-, структивной логики добавляется еще одно правило следования, называемое правилом двойного отрицания. Оно представлено фигурой .

~ ~ А

до —.

19 Они рассматриваются ниже в § 21.

Новую логическую систему, полученную добавлением ДО к списку [I] правил следования конструктивного исчисления вы­сказываний из § 20 обозначим посредством №^а. Мы говорили, что в системе N правило [II. 1] построения прямого доказатель­ства избыточно¹³. Но в системе N^cs аналогичное положение не имеет места, чем она выгодно отличается от равнообъемной, как увидим ниже, системы N.

Прежде чем приступить к установлению равнообъемности систем N^cs и N, покажем, что в системе N имеет место следую­щая теорема — закон двойного отрицания.

Т39. А -> А.

Доказательство.

217. ~~А допущ.

218. ~ А допущ. косв. док. Пртврч: 2, 1.

Поэтому в системе N производно правило ДО системы N^cs.

Установление равнообъемности указанных систем N и N^ca сводится, очевидно, к доказательству следующих предложений.

Лемма 1. Любое доказательство в системе N^cs можно пре­образовать в одноименное доказательство¹⁴ в системе N.

Лемма 2. Любое доказательство в системе N можно пре­образовать в одноименное доказательство в системе N^cs.

Покажем сначала, что имеет место лемма 1. Рассмотрим произвольное доказательство D в системе N^cs. Предположим, что доказательства, непосредственно предшествующие D, уже преобразованы в одноименные доказательства в системе N.

Для D возможны два случая.

Случай 1. D не содержит применения правила ДО. В этом случае D и есть требуемое доказательство в системе N.

Случай 2. D содержит применение правила ДО. Так как ДО производно в N, то устраняя его применения из D уже из­вестным нам способом¹⁵, мы получим требуемое доказательство в системе N.

Прежде чем приступить к установлению леммы 2, введем понятие сильного (классического) косвенного доказательства. Косвенное доказательство называется сильным, если при его построении непременно вписывается отрицание консеквента доказываемой кратной импликации.

Так, в примере на с. 281—282 (V) является единственным сильным косвенным доказательством.

Для большей ясности мы приводим

[II.2]° Правило построения сильного косвен­ного доказательства.

Сильное косвенное доказательство формулы

А₁-(А₂-> ... (А„->С) ...), (*)

строится согласно следующему предписанию. На любом шаге построения можно написать: 1) одну из формул Аь Аг, А„ в качестве допущения;

la) формулу ~C в качестве допущения сильного косвенного 'доказательства;

2) формулу, следующую из ранее написанных формул, по одному из правил логического следования;

3) ранее доказанную формулу.

Сильное косвенное доказательство формулы (*) считается построенным, если в соответствии с пп. 1)—3), включая и п. 1а), получена последовательность формул, содержащая формулу ~С, пару противоречащих формул и оканчивающаяся одной из формул данной пары.

Таким образом, выявляется следующая классификация до­казательств в системе N. Доказательства подразделяются на прямые и косвенные, а последние в свою очередь делятся на квазисильные и сильные.

Покажем теперь, что имеет место лемма 2. Пусть D — про­извольное доказательство в системе N. В предположении что все доказательства, непосредственно предшествующие D уже преобразованы в одноименные доказательства в системе N^cs_t рассмотрим следующие случаи:

Случай 1. D есть прямое доказательство. Данный случай тривиален, так как D совпадает с требуемым доказательством в системе N^cs.

Случай 2. D есть квазисильное косвенное доказательство. 1 И этот случай тривиален по той же причине.

Случай 3. D есть сильное косвенное доказательство. В этом случае мы поступаем так. Очевидно, что ничто не пре­пятствует считать доказательство D формулы (*) квазисильным доказательством формулы

А,-*(А₂-> ... (А„-> С) ...) (**)

в системе N^cs.

Беря (**) в качестве ранее доказанной формулы, мы строим требуемое доказательство D' в системе N^ce формулы (*), как показано ниже:

А,-*(А₂-> ... (А„-*С) ...). Доказательство. 1. А,

2. А,

допущ.

п. А„

n+l. A,->(A₂-> ... (А_Я-*~~С)...) р. д. ф., п + 2. ~~С МП' (1, 2,... п; п+1),

С ДО (п + 2). •

Таким образом, на основании лемм 1 и 2 можно считать установленным следующее предложение.

Теорема 1. Системы N и N^c) равнообъемны (эквива­лентны).

Из этой теоремы непосредственно следует, что правило [II. 2]° построения сильного косвенного доказательства произ­водно в системе N^cs.

Пример. Пользуясь методом, содержащимся в доказатель­стве леммы 2, перестроим доказательство (V) в системе N, при­веденное в примере на с. 282 в одноименное доказательство в iV^cs. Сначала надо преобразовать все предшествующие ему до­казательства. Но (V) предшествует элементарное квазисильное доказательство (III), которое согласно случаю 2 совпадает с требуемым. Далее мы рассматриваем (V) как квазисильное до­казательство в системе N^cs формулы

(iP~*Q)-*P)-* Р-

Требуемое окончательное доказательство в системе №' при­водится ниже:

Цр-+а)-+р)-*Р-Доказательство.

219. (p-*q)-*p допущ.

220. ((p-+q)-*p)-*~~p р. д. ф.

3. р МП (1, 2)

Р ДО (3)

В качестве дальнейших логических теорем системы N (или, что, то же, системы N**) мы предлагаем читателю в порядке упражнения установить следующие:

Т40. А V ~ А закон исключенного третьего.

Т41. (А->В)->((~А->В)->В).

Т42. (~В->~ А)->(А->В).

Т43. ~(АДВ)->((~ А->С)->((~В-*С)-*С)).

Т44. ~ (А А В) -«->■ (~ А V ~В).

Т45. (А А В) <->• ~ (А -> ~ В).

Т46. (А V В) -*-> ((А -»• В) -»• В).

Т47. (А V В) «-> (~ А -> В).

Т48. (А-*В)«-*~(А Л~В).

Т49. (A VB)«->-~(~ A V~B).

Т50. (А -* В) (~ А V В).

Т51. (А Л В) <-* ~ (~ А V ~ В).

Рассмотрев систему N, мы раскрыли ее иерархическую структуру, т. е. выявили в составе этой системы ряд подсистем, находящихся в отношении последовательного подчинения, или субординации.

Начав рассмотрение с системы положительной (позитив­ной) логики — будем обозначать ее посредством Л/г>⁰⁸— мы пе­решли, добавив к JVp°^s правило [II. 2]^min построения слабого косвенного доказательства, к системе минимальной логики — обозначив ее через N^min. Далее, заменив в N^min правило [II. 2]^min более общим правилом [II. 2]^сп построения квазисиль­ного косвенного доказательства, мы получили систему конструк­тивной логики — обозначив ее N^cn. Система N^cn в нашем рас­смотрении уже непосредственно подчинена полной системе N.

Субординация рассмотренных систем представляет собой естественную логическую иерархию, которую можно рассмат­ривать в качестве абстрактной модели развития форм логиче­ских умозаключений (рассуждений). Так, переход от Np°^s к N^min является переходом от форм умозаключений, лежащих в основе прямых доказательств, к формам умозаключений, в ко­торых, кроме прямых, осуществляются и так называемые сла­бые косвенные доказательства.

Дальнейшие переходы представляют нарастание «степеней косвенности» форм умозаключений.

В данной иерархии можно было бы выделить еще одну, в из­вестном смысле, предельную логическую систему, именно ту подсистему системы Nv°^s, которая из правил [I] следования имеет лишь МП, а в качестве правила построения доказатель­ства— правило [II.1] построения прямого доказательства. Си­стемы, равнообъемные указанному фрагменту системы Nv°^a, называются исчислениями положительной (пози­тивной) импликации.

В системе положительной импликации формализуется мини­мум фундаментальных логических принципов в том смысле, что логические средства этой системы явно или неявно исполь­зуются в построении всех логических доказательств.

Упражнения:

I. Систему Слупецкого— Борковского для логики высказываний можно, получить, заменив в системе N правило УД следующим:

А V В ~ А В '

а правило [П. 2] — его частным случаем — правилом [II. 2]°. Требуется дока­зать, что система N равиообъемиа системе Слупецкого — Борковского;

II. Показать, что:

1) система, получаемая добавлением к N^min правила УО, равиообъемиа

системе №^п\

2) система, получаемая добавлением к N^min правила ДО, равиообъемиа системе N.

III. Показать, что:

!) система, получаемая добавлением к N'^ot правил ВО, УО, равиообъем­иа системе N^cn;

2) система, получаемая добавлением к N'⁰' правил ВО, ДО равнообъем-на системе N.

IV. Показать, что система, имеющая правила [I] логического следования и правило [II. 2]° построения сильного косвенного доказательства, равнообъем- на системе N. . -