§ 20. Квазисильное косвенное доказательство

Теперь мы несколько уменьшим ограничения, которые были наложены на косвенное доказательство в правиле [II.2]^mln, а именно не будем требовать, чтобы специальное допущение сла­бого косвенного доказательства непременно входило в доказа­тельство. Иными словами, формулировка нового правила [П.2]^сп, которым мы будем пользоваться в этом параграфе и которое мы-назовем, за неимением более удачного выражения, правилом построения квазисильного доказательства, получается из формулировки правила [II. 2]^min заменой всюду прилагатель­ного «слабый» прилагательным «квазисильный» и вычеркива­нием из второй части правила [II.2]^min слов, выделенных там курсивом, т. е. «.формулу С».

В примере на с. 281—282 (III), (IV) являются квазисиль­ными доказательствами, причем (III) есть в то же время и сла­бое косвенное доказательство.

Легко понять, что любое слабое косвенное доказательство является одновременно и квазисильным, но обратное, вообще говоря, неверно. Заметим также, что квазисильное косвенное доказательство есть частный случай косвенного* доказательства, полученного в результате ограничения п. 1а) правила [II. 2]. Это ограничение состоит в том, что при построении квазисильного косвенного доказательства, запрещается вводить отрицание консеквента доказываемой кратной импликации.

Логическая система, имеющая в качестве основных правил: правилг [I] логического следования, правило [II. 1] построения прямого доказательства и правило [II. 2]^сп построения квази­сильного косвенного доказательства, представляет собой одно из исчислений конструктивной логики.

Рассмотрим некоторые ее специфические теоремы и произ­водные правила.

Т34. А-»(~А-*В).

Доказательство»

П

допущ.

ртврч: 1, 2.

Относительно Т34 производно правило, называемое прави­лом удаления отрицания:

УО

В

А ~А

На первый взгляд данное правило кажется «парадоксаль­ным». Это объясняется тем, что в обычных рассуждениях оно применяется или неявно (например, в составе более сложных правил), или на промежуточных стадиях рассуждения, в частно-

10*

295

сти, при отбрасывании некоторых случаев, как невозможных, в тех доказательствах, которые строятся по схеме правила PC.

В конструктивной логике имеют место следующие теоремы, с помощью которых обосновываются правила, применяемые в так называемых разделительных доказательствах, т. е. доказательствах, строящихся путем опровержения, или исключения (как невозможных) некоторых из рассматриваемых случаев.

Т35. (AVB)->(~A-*B).

Док азательство.

Случай 1. А->(~А->В) р. д. ф., Т34.

Случай 2. В -> (~ А -> В) р. д. ф., Т35.

Т36. (AVB)-*(~B-*A).

Т37. (~ A VB)-*(A-*B).

Т38. (AV~B)->(B-*A).

Относительно Т35, ТЗб, Т37 и Т38 производно правило, которое можно назвать удалением дизъюнкции посредством отрицания. Оно имеет следующие четыре схемы:

А V В ~А А V В ~В

УД/О ——; —— г

~А VB А А V ~В В

В А

Это правило позволяет из дизъюнкции и формулы, противоре­чащей одному из ее членов, получить другой ее член. Правило УД/О известно в традиционной логике под названием «модус толлендо поненс» '⁷.