§19. Слабое косвенное доказательство

Здесь мы расширим исчисление положительной логики до­бавлением правил а [II. 2}^1111111 построения слабого кос­венного доказательства.

Слабое косвенное доказательство формулы

A_t->(A₂-> ... (А„-*С) ...) (*>

строится согласно следующему предписанию. На любом шаге построения можно написать:

1) одну из формул Ai,A₂, А„ в качестве допущения. 1а) формулу С, полученную из С стиранием первого слева

знака отрицания ⁹, в качестве допущения слабого косвенного доказательства.

2) формулу, следующую из ранее написанных формул, по одному из правил логического следования.

3) ранее доказанную формулу.

Слабое косвенное доказательство формулы (*) считается построенным, если в соответствии с пп. 1)—3), включая и п. 1а), получена последовательность формул, содержащая формулу С\ пару противоречащих формул и оканчивающаяся одной из фор­мул данной пары.

Слабое косвенное доказательство — это частный случай кос­венного доказательства, характеризующийся следующими огра­ничительными условиями:

208. если при построении косвенного доказательства мы со­гласно п. 1а) могли вводить формулу, получаемую из консек-вента его тезиса как стиранием, так и приписыванием слева знака отрицания, То в слабом косвенном доказательстве мы располагаем только первой возможностью (стиранием знака отрицания);

209. если для окончания косвенного доказательства требуется получение последовательности формул, содержащей пару про­тиворечащих формул, и не требуется, чтобы в эту последова­тельность входило специальное допущение косвенного доказа-' тельства, то одним из непременных условий окончания слабого

косвенного доказательства является наличие допущения слабого косвенного доказательства.

Так, в примере на с. 281 лишь (III) является слабым косвен­ным доказательством.

Таким образом,, введенная нами логическая система имеет следующие правила: правила [I] логического следования, пра­вило [II. 1] построения прямого доказательства, правило [II. 2рша построения слабого косвенного доказательства, и представляет собой ¹⁰ одно из логических исчислений так называемой мини­мальной логики.

Если в полной системе N, вообще говоря, можно было бы обойтись без правила [II. 1] построения прямого доказательства, то в описанной логической системе минимальной логики пра­вило [П. 2] не делает избыточным применение [П.Л] потому, что ни одна кратная импликация, консеквент которой не начинается со знака отрицания, не может быть доказана с помощью пра­вила [11.2] ^ШЧ

Рассмотрим некоторые теоремы и производные правила, ко­торые можно установить в минимальной логике. •

Т13. (А-*В)-*((А->~В)-»~А).

Доказательство. ■1. А->В )

210. А-*~в) ^Д0ПУ^Щ:*

211. А ' 'допущ. слаб. косв. док.,

212. В МП (3, 1),

213. ~ В МП (3, 2),

Пртврч.: 4,5.

Относительно Т13 производно правило введения отрицания

А->В А~>~В

ВО .

А

Т14. А-»- ~ ~А — обратный закон двойного от­рицания.

Заметим, что (прямой) закон двойного отрицания — ~ ~А-* —*А нельзя доказать ни в минимальной, ни в конструктивной логике (система конструктивной логики рассматривается в §20)/

Т15.- ~ ~ ~ А —+ ~ А.

_{Т16. ~ (А А ~А) — з а ко н противоречия.}

Доказательство.

1. АЛ~А допущ. слаб. косв. док.,

^{I ~А } УК О'}

Пртврч.: 2,3

Обращаем внимание на то, что это — косвенное доказатель­ство нулькратной импликации и поэтому в него не вводится других допущений, кроме специального допущения косвенного доказательства.

Т17. (А -> В) -> (~ В -> ~ А).

Т18. (А-*~В)-*(В->~ А).

Относительно Т17, Т18 производно правило модус толленс, имеющее две схемы:

А->В ~В А->~В В

мт

~ А ~ А

Согласно правилу МТ из импликации и формулы, противореча­щей ее консеквенту, следует отрицание ее антецедента.

Т19. ~(АЛВ)->(А->~В). Т20. ~ (А Л В) -> (В -> ~ А).

Относительно.Т19, Т20 производно правило, имеющее две схе­мы. Его мы будем называть удалением отрицания конъюнкции:

-(А Л В) А ~(АЛВ)В

УОК ; — —.

~В ~А

Т21. ~А->~(АЛВ). Т22. ~В->~(АЛВ).

Относительно Т21, Т22 производно правило, которое можно на­звать введением отрицания конъюнкции:

~А ~В

_{вок ; г-}

-(А Л В) -(А Л В)

Т23. (~А V~B)->~(AAB).

Т24. (А->В)->((А->С)->((~В V ~С)->~ А)).

Относительно Т24 производно правило простой деструктивной дилеммы

А-+В А->С ~В V ~С

Дил₃. ■ .

Данное правило позволяет из двух ампликаций с одинаковым антецедентом и из дизъюнкции их консеквентов вывести отри­цание консеквента этих импликаций.

Т25. (A-*C)-*((B->D)-*((~ CV~D)-*(~A V- В))).

Относительно Т25 производно правило сложной деструктивной дилеммы

А-> С В-> D ~С V ~D

Дил₄. —— ,

~ А V ~В

которое означает, что из двух импликаций и дизъюнкции отри­цаний их консеквентов следует дизъюнкция отрицаний их анте­цедентов.

Т26. ~ А-*(А-*~В).

Т27. ~A-*(~B-*~(AVB)).

Относительно Т27 производно правило введения отрицания дизъюнкции

~А ~В

ВОД -.

~ (А V В)

Т28. ~(AVB)->~ А. Т29. ~(AVB)-*~B. ТЗО. ~(AVB)->(~AA~B).

Относительно Т28, Т29 производно правило, которое можно на­звать правилом удаления отрицания дизъюнкции:

' (А V В) ~ (А V В)

УОД

-В

Т31. ~~(AV«A) — двойное отрицание закона исключенного третьего. Сам же закон исключенного третьего недоказуем в минимальной логике.

Т32. ~ (А V В) -<-► (~ А Л ~ В).

Доказательство. Часть 1. ~ (А V В) -* (~ А Л ~ В) р. д. ф., ТЗО. Часть 2. (~АЛ~В)-*~(А V В)

214. ~ А Л ~ В допущ.

215. ~ А УК (1)

216. ~В

~ (А V В) ВОД (2,3) ТЗЗ. (АЛ~В)-*~(А-*В).

На этом мы заканчиваем обзор теорем и производных правил минимальной логики.