§ 18. Чисто прямое доказательство

Фрагмент системы ДО, определяемый правилами [I] логиче­ского следования и правилом [II. 1] построения прямого доказа­тельства представляет собой один из вариантов исчисления положительной (или позитивной) логики. В данной теории изучаются логические законы и правила, не содержащие знака отрицания. С помощью этих законов и правил строятся чисто прямые доказательства. Поэтому положительную логику можно было также назвать логикой ч и сто прямого доказатель­ства.

Перейдем к рассмотрению теорем и производных правил положительной логики.

Т2. А_х ->(А₂-> ... (A_n~*-Ai) ...), где i= 1, 2, ..., л.

Доказательство.

А/ допущ.

т

Как видно, оно состоит из единственной формулы, которая входит в Т2 в качестве антецедента и потому согласно п. 1)' правила [II. 1] вписывается в доказательство в качестве допу-щения. Но так как данная формула совпадает с формулой, вхо­дящей в Т2 также и в качестве консеквента, то полученная последовательность из одной формулы А₄ согласно [II. 1] яв­ляется доказательством формулы Т2.

.Частными случаями Т2 являются следующие теоремы:

ТЗ. А->(В-*А). Т4. к-* к.

По-видимому, невозможно придумать более тривиальную теорему, чем Т2 или ее частные случаи. Тем не менее трудно представить без них строгое построение логической теории. Они, как мы увидим, играют весьма существенную роль в обоснова­нии принципов логики.

В дальнейшем мы предоставляем читателю в порядке упраж­нения находить опущенные доказательства теорем, приводимых в этом и следующих параграфах.

Т5. (А-*(В-*С))->((А-»В)->(А-*С)).

Т6. А-*(В-*(АЛВ)).

Т7. (А Л В)-* А.

Т8. (А Л В)-*В.

Т9. (А -* С) ((В-* С) -* ((А V В) С)).

Т10. A-*(AVB).

Til. B-*(AVB).

Т12. (А -* С) -* ((В -*D)~* ((А V В) -* (С V D))). Доказательство.

допущ.;

199. AVB )

200. C-*(CVD) р. д. ф., Т10;

201. D-»(CVD) р.д. ф., Til;

202. A->(CVD) Сил. (1,4);

203. В -* (С V D) Сил. (2,5); CVD УД (3,6, 7).

Относительно Т12 производно правило

Дил₂.

AVB А-»С В-»Р С VD

котор.see » традда|Н|Шй#[ логике м&ф&тшо под назв^цем. с л о ж-ноЖ койстр|^х|ршрой дилешйи* Правил©¹

^:*S^viR^^ae^eT из двух импликаций и дизъюнк^я^^фбрмул, совпадающие ^ЙТ** ант^цедедааМи,:^ф^чщть дизъю^й|Ш«>^г формул, совйадаш]^ .с консеквёнтами. Зтих импликаций/М^ уже говорили, что основ­ное'^, правило УД'называется простой инструктивной д'илем^Ь^ В нумерации дилемм мы присваиваем ему обозначение; ДйЛь :

Нахождение, доказательств логических теорем существенно облегчается ,лрим;ен.ением следующих: двух производных правил построев^й'^^^^а'т^льства. Первое из них называется: дока­зательство" по частям (сокращенно: ДЧ), авторее—-д о к азательство р аз бором случаев (сокращенво:

Pcfe;^,^'^'^,,^;;;;V-^.; , /.. ^ ..

Правило'ДЧ формулируется так: для того чтобы доказать фощШ ^BH^^a ' / 7

*\*' ' А,^(А₂-^ ..:(A_n-*(C,ACjO).-^:;.), ; i (*)

'достаточно построить; . • .

1) доказательство формулы

(. А, ->(Аг-* ... |а«⁴-»-Gi) ...) ■■<*•)

(часть 1) и .. , . ' • 2) доказательство формулы - ;

. Ад-н1.^А₂-> (Ae-*-C₂) ...) <**4

(часть. 2).\-^Х\ ; ' .-

'''$№&ф$ф$Ш№Ь легко ..'обосновывается с помощью правила [II, ^построения прямого доказательства и правил УК и МП¹

⁷. ДщЩЩ^ь/кЬ,. 'ёёЩ' построены доказательства-формул (**) и («*&), то, делая последние строчками' Нового доказательства^:- со- гласие п. 3) правила [И. 1],,введя в качестве) Упущений фор- мулы Аь а^^.., а_п согласно п. 1)- этого, же правил^,д. пользуясь далее п. 3) правил а,;{Ц. Л%;"мы с помощью МП'" полгу- чаём .формулы Сь С₂,из кбторьгх в свою очередь по В К'выводи^ формулу . .. V v '

Получение*данной формулы мы aa^pHiaeM построение требуе­мого доказательства формулй t*)- :Г

Согласно ДЧ нахождение доказательства формулы вида

сводится К построению доказательств следующих, двух имплшкв* ций (прямой): ~ '

' ^; • А-*В / .;. fl^:'и (обратной) •' ■ ^:

¹ ,' /_

В-*А, ■ ' ' '/'' ' "• ' . '

так как А++В является по определению конъюнкцией этих импликаций, т. е. (а -* В) Л (В -* А), 7 ' .'

V₂to з«к, 499 . •' . .

Правилр PC формулируется следующим образом: для того чтобы доказать формулу вида

.-a,-*(a_a-»- ...,(a*^:*((b₁vb_a)-..c))...),' (•)

достаточно построить

1) доказательство формулы

а,-*(а_а-.« ... (а*-.-(в,-.-с)) ...) (**)

(случай 1) и

2) доказательство формулы

а,-*(а_а -* ... (a_ft ->(в₂->с)) ...) (•••)

(случай 2).

Очевидно, что обоснование правила PC должно состоять в указании способа построения доказательства формулы (*) при условии, что ранее построены доказательства формул (**), (**•). В самом деле, используя правило [II. 1], мы пишем фор­мулы (**), (***) в качестве ранее доказанных и А_ь А₂, — A_ft в качестве допущений. Затем по МП' мы получаем формулы

Bt-c,

Вг->- с,

и, введя в качестве еще одного допущения формулу

b,vb₂,

по правилу УД пишем формулу

с.

Получением этой формулы завершается построение требуемого доказательства формулы (*). '

Эвристическая ценность правил ДЧ, PC состоит в том, что они позволяют сводить задачу на поиск доказательства к более простым задачам. Правило ДЧ (соответственно PC) можно при­менять последовательно, разбивая вводимые в рассмотрение части (случаи) в свою очередь на подчасти (подслучаи) и т. д. Правила ДЧ и PC можно также применять совместно, комбини­руя их друг с другом, как~ это иллюстрируется ниже.

Пример. Пользуясь правилами ДЧ и PC докажем сле­дующую формулу:

(pV(a\r))-»((pVq)A(pVr)). Доказательство. Часть 1. (_PV(qAr))-»(pVq).

Случай 1.1. fl-*(pVg), р. д. ф., Т10. Случай 2.1. (qAr)-»(p v <7).

204. qAr допущ.

205. q УК (1), р v q ВД (2).

Часть 2. (pV(<7Ar))->(pVr). .

Случай 2.1. р->(р V г) р. д. ф., Т10. Случай 2.2. {qЛr)-+(pVг)..

206. q f\r допущ.

207. г УК (1) р V г ВД (2)