Глава III

ЕСТЕСТВЕННЫЙ ВЫВОД В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 16. Понятие логического вывода

Когда в обычных рассуждениях мы выводим следствия из посылок, подыскиваем посылки (гипотезы), из которых может быть выведено некоторое предложение, находим доказательства или опровержения и т. п., то во всех этих случаях наши рассуж­дения развертываются в соответствии с правилами логического следования, если, разумеется, мы вольно или невольно не нару­шаем их, делая ошибки в рассуждениях.

Правила логического следования отражают определенные отношения вещей. Эти правила сложились и складываются в процессе практической деятельности людей. «... Практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом»⁵.

Как формы выражения логических законов, тождественно-истинные формулы, или логические тождества, используются для обоснования правил логического следования. С точки зре­ния самой процедуры их обоснования особое значение имеет способ представления формул в виде так называемых кратных импликаций.

Кратной импликацией называется формула вида

Ai->(A₂-> ... (А„-*С) ...) (*)

Формула (*) читается так: если Ai, А₂, А,„ то С.

Члены кратной импликации, обозначенные в (*) посредст­вом Аь А₂, ..., A_n называются антецедентами* а член С— кон-секвентом.

При п = \ имеем схему однократной (обычной) импли­кации

А,-* С;

при п = 2 — схему двукратной импликации

А,-*(А₂-+С); при п = 3 — схему^трехкратной импликации А₁->(А₂-*(А₃->С))

6 Ленин в, и, Поли, собр. Соч., т. 29, с, 172.

и т. д.

При п = О считаем, что формула, построенная по схеме (#) кратной импликации, совпадает с формулой С. В этом случае мы имеем дело с так называемой вулькратной, или, как еще говорят, «вырожденной» импликацией. Таким образом, нуль-кратная импликация содержит консеквент и 'не содержит (или содержит нуль) антецедентов.

Понятно, что любую формулу, независимо от того, содержит она знак импликации в качестве главного логического знака или нет, можно рассматривать как кратную импликацию.

В дальнейшем важно уметь анализировать формулу с по­мощью схемы кратной импликации. Этот анализ может иметь" различную глубину, в зависимости от того, какие части анали­зируемой формулы рассматриваются в качестве антецедентов Ai, Аг, ..., А_п и консеквента С в схеме кратной импликации. Так, формулу

((Р-М)Л fa-*/■))-"►(£-► г)

можно рассматривать в качестве однократной импликации, т. а, как построенную по схеме

А,->С

Очевидно, что в этом случае мы в качестве Ai берем формулу

{(р-+ а) Л (<7 -* г)),

а в качестве С

0> -+/■).

Но если в качестве A_t взять

(0>-<7)Л(<7-*г)),

в качестве А₂

Р

и в качестве С

г,

то формула

((Р-> <7) Л (<7-*г))-*(/>-> г)

рассматривается теперь уже как двукратная импликация, г. е_Л как формула вида

А,-* (А,-С).

Ясно, что для нее неосуществим более тонкий анализ по схеме кратной импликации. Но возможев еще более грубый анализ, если всю анализируемую формулу рассматривать в качестве С, т. е. в качестве нулькратной импликации, не учиты­вая того, что она содержит знак импликации в качестве глав­ного логического знака.

Между тем формулу р A(qV(~p-*r)) можно рассматри­вать только в качестве нулькратной импликации» ,

При анализе формулы по схеме кратной импликации сле­дует обращать внимание на расположение скобок. Так, каждая из приводимых ниже формул

Цр-*я)-+р)-+я, {р-+я)-+(р-*я)

может быть представлена в виде

А,-*С,

но только вторая — в виде

А,-*(А₂-»С).

- Таким образом, проанализировать формулу F по схеме кратной импликации значит для данной формулы подобрать схему

А.-*(А₂-> ... (А„-*С) ...)

с некоторым подходящим значением п и каждому Аь А₂, ... .... А„, С поставить в соответствие подформулы формулы F так, что, заменяя Ai, А₂₎ ..., А_п, С сопоставленными им подфор­мулами, мы снова получаем анализируемую формулу.

Анализ формулы F по схеме кратной импликации мы назо­вем предельным, если букве С в этой схеме ставится в со^ ответствие подформула формулы F, не содержащая знака -> в качестве главного логического знака. Заметим, что в дальней­шем нам чаще придется прибегать к предельному анализу, чем ограничиваться более грубым анализом формулы по схеме крат­ной импликации.

В силу естественно сложившихся методов рассуждения при осуществлении процедуры обычного (неформального) доказа­тельства, особенно в математике и других точных науках, дока­зываемые предложения, или тезисы доказательств, приводят, как правило, к форме условного предложения. Их называют теоремами. В этой связи употребляется еще и термин лемма. К леммам относятся вспомогательные предложения, используе­мые в доказательствах теорем. В теореме различают условие (или допущения) — часть, стоящую после слова «если» и пе­ред словом «то», и заключение — часть стоящую после слова «то». Как явствует из способа чтения кратной импликации, фор­мула такого вида является айалогом условного предложения? причем ее антецеденты отвечают пунктам условия, а консеквент—« заключению данного предложения. В свою очередь описанный выше анализ формулы по схеме кратной импликации служит аналогом процедуры выявления в доказываемом предложении условий и заключения.

С помощью табличного метода легко убедиться, что крат­ная импликация истинна во всех случаях, кроме того, когда каждый из ее антецедентов истинен, а консеквент ложен.

Таким образом, если кратная импликация тождественяа-ис-« тннна, то во всех строках ее таблицы, где каждому антецеденту приписывается логическое значение *иститао»_г консеквенту при* писывается то же значение.

Отсюда становится понятным, что тождественно-истинная краткая нмплнкацня определяет некоторое правило логически корректного перехода, иначе говоря, правило логического сле­дования, от посылок, имеющих структуру ее антецедентов, к заключению, имеющему структуру ее консеквента.

В применении правила логического следования, очевидно,, заключение «наследует» истинность посылок в том смысле, что оно оказывается истинным во всех случаях, когда нстннна каж­дая посылка данного правила. Если же в результате коррект­ного применения правила следования, мы приходим к ложному заключению, то это означает, что хотя бы одна нз посылок данного применения правила ложна.

Таким образом, одна нз важных гносеологических (позна­вательных) функций логических тождеств рассматриваемого типа состоит в том, что ©ян гарантируют получение новых истин из уже известных «Если наши предпосылки верны и если мы правильно применяем к ним законы мышления, то результат должен соответствовать действительности, точно так же кая вы­числение в аналитической геометрии должно соответствовать геометрическому построению; хотя то н другое представляют собой совершенно различные методы».Очевидно, что сама по себе логическая корректность (пра­вильность) рассуждения еще не является достаточным услови­ем нстннностн получаемых результатов: правила следования обеспечивают истинность выводимых следствий при условии, что посылки истинны. Если нам неизвестно, нстннны ли посыл­ки, то н в данном случае мы можем выводить нз ннх следствия, но относительно этих следствий также неизвестно, истинны они или нет. Если в дальнейшем выяснится, что полученное логи­чески корректным путем следствие ложно, то это означает, что хотя бы одна из посылок ложна. Если же будет установлено, что следствие истинно, то хотя это и не говорит об истинности посылок, тем не менее в определенных условиях данное обстоя­тельство можно рассматривать как свидетельство в пользу ис­тинности посылок, из которых получено указанное следствие.

⁹

⁶ М а р к с К. в $н г е л ь с Ф, Соч., т. 20, с, 629,

Тем самым логические рассуждения способствуют примене­нию критерия практики для проверки гипотез посредством про­верки выводимых нз них следствий и дальнейшему превращению гипотез в теорию. Но правила следования играют также извест­ную роль в подыскании гипотез и в процессах научного объясне­ния, поскольку возможно «применение» дедуктивных правил в обратном порядке — от заключений к посылкам. В этом слу< чае при наличии некоторого .исходного знания, из которого не следует данное предложение, мы, используя правила следова­ния, как бы заполняем пробел недостающими посылками, необ­ходимыми для следования из исходного знания рассматривае­мого предложения.

В логике правила следования записываются в виде фигур рассуждения

А1, А₂, ...,, А_п,

которые читаются так: из Аь А₂, An следует (или выво­дится) С. Члены Ai, А_г, А_п называются посылками, а член С называется заключением данной фигуры. Но, ко­нечно, не всякая фигура такого вида является правилом следо­вания. Это понятие раскрывается в приводимом ниже определе­нии.

Определение правила логического следова­ния. Фигура

Ai, Aj, • »•» А_я .

С

называется корректной фигурой, или п р а в и л о м следо­вания, если формула вида

А₁->(А₂-> ... (А„-*С)...)

есть логическое тождество.

Таким образом, для проверки корректности некоторой фигу­ры рассуждения, нужно образовать кратную импликацию, сде­лав посылки фигуры антецедентами, а заключение фигуры—» консеквентом этой импликации, и выяснить, является ли полу­ченная этим путем формула тождественно-истинной.

Для выяснения данного вопроса очевидно нет необходимости строить полную таблицу. Можно ограничиться только фрагмен­том, который содержит столбцы для каждого антецедента и консеквента испытываемой кратной импликации. Сама же про­цедура ее проверки на тождественную истинность состоит в следующем.

Рассматриваем только те строки таблицы, где под каждым антецедентом стоит символ логического значения «истинно». Тогда: 1) если во всех рассматриваемых строках под консеквен­том будет написан также символ логического значения «истин­но», то кратная импликация является логическим тождеством и (по определению) соответствующая ей фигура корректна, т. е. представляет правило логического следования; 2) если же сре­ди рассматриваемых строк найдется хотя бы одна, в которой под консеквентом стоит символ логического значения «ложно»,то кратная импликация не есть логическое тождество, а соответ­ствующая ей фигура некорректна.

Понятно, что описанная процедура позволяет испытывать на корректность фигуры рассуждения, минуя фактическое построе­ние соответствующей кратной импликации.

Предлагаем читателю проверить корректность следующих фигур:

А А->В

МП —;

В

А В АЛВ АЛВ

вк ; УК , ;

АЛВ А В

А В А V В А-*С В-»С ВД ——, —-; УД .

А V В А V В

Правило МП — это уже известный читателю модус по-ненс. Словесно это правило можно сформулировать так: из им­пликации и формулы, совпадающей с ее антецедентом, следует формула, совпадающая с консеквентом данной импликации. ^ Заметим, что фигура

В А->В

напоминающая МП, является некорректной. В этом легко убе­диться, рассмотрев таблицу для знака импликации. Действи­тельно, там мы найдем строку, где посылки данной фигуры истинны, а заключение ложно. Одна из типичных логических ошибок, известная под названием «ошибка от утверждения следствия (консеквента) к утверждению основания (антецеден­та)» связана с применением этой некорректной фигуры.

Правило ВК означает, что конъюнкция следует из любых двух формул и называется введением конъюнкции.

Правило ВД, состоящее из двух фигур, означает, что дизъюнкция следует из формулы, совпадающей с одним из ее членов (дизъюнктов) и называется введением дизъюнк­ции.

Правило УК, также состоящее из двух фигур, означает, что из конъюнкции следует формула, совпадающая с одним из ее членов (конъюнктов) и называется правилом удаления конъюнкции.

Наконец, правило УД⁷ называется правилом удаления дизъюнкции и означает, что из двух импликаций, консеквек­ты которых одинаковы, и дизъюнкции формул, совпадающих с антецедентами этих импликаций, следует формула, совпадаю­щая с консеквентом импликаций.

Пример рассуждения по правилу УД:

Если междометия выражают чувства, то они несут информа-² цию} если междометия выражают волевые побуждения, то они также несут информацию. Но междометия выражают чувства или междометия выражают волевые побуждения. Следователь­но, междометия несут информацию.

Читателю предоставляется также установить корректность' следующих фигур:

^А

МТ УОК УД/О

->В ^{~В А ->~В В}

~ А ~ А

~ (А Л В) А ~(А Л В) В ~В ~А

А v В ~А А v В ~В

В А

~a"vb a a v ~в в

В • А

Правило МТ — это модус толленс.⁸ Правило УОК называется удалением отрицания конъюнкции. Наконец, правило УД /О, состоящее из четырех фигур, мы называем удалением дизъюнкции посредством отрицания.

Рассмотренные правила следования мы привели здесь глав­ным образом в иллюстративных целях, не претендуя на система­тическое рассмотрение, которое откладываем до следующих па­раграфов.

Применяя правила следования, мы можем из исходных фор­мул, называемых посылками, или д о п у ще и и я м и, полу­чать (выводить) новые формулы, логически следующие из ис­ходных, путем построения последовательностей формул, в которых каждая формула или является посылкой, или же сле­дует из предшествующих формул по одному из правил следо­вания.

Такого рода последовательности формул называются ф о р-мальными выводами и. Они служат в логике моделями, на которых изучаются закономерности обычных логических рас­суждений.

Пример. Приводимая виже гюследовательнбсте из восьми формул

!• (Pi Лр₂)

7. Pt А г

8. г-»-р₂

9. г

10. р₂

11. р,

12. Pi Л р₂

13. q

₎

ПОСЫЛКИ]

УК (2); МП (4, 3); УК (2)³, ВК (в, б); МП (7, 1)

есть вывод из исходных формул {посылок) 1—3 формулы 8 (заключения данного вывода), при построении которого исполь­зуются правила МП, ВК, УК.

Рассматриваемый вывод строится так. В первых трех стро­ках записываются посылки: в строке 4 мы пишем формулу г, следующую из ранее написанной (строка 2) формулы р\ А г по второй схеме правила УК, в строке 5 мы пишем формулу р₂, следующую по правилу МП из формул, стоящих в строках 3 и 4; далее, при получении формулы p_t (строка 6) к формуле Pi Л г (строка 2) применяется первая схема правила УК; фор­мула Р1ЛР2 (строка 7) следует из формулы pi (строка 6) и формулы р₂ (строка 5) по правилу ВК, наконец, применяя пра­вило МП к формулам (pi Ap₂)-⁴-q (строка 1) и pi Л р₂ (стро­ка 7), пишем в последней строке формулу q.

Используя формальные выводы, как модели обычных рас­суждений, можно не только проверять логическую правильность последних, но решать логические задачи с помощью аппарата правил следования.

Процедура в этом случае аналогична решению словесно-сформулированной задачи с помощью математического аппа­рата.

Пример. Ниже дается словесная формулировка следую­щей логической задачи.(1) Если теорема о сложении скоростей верна и в системе неподвижных шезд свет распространяется по всем направлени­ям с одинаковой скоростью, то на Земле скорость распростра­нения света не по всем направлениям одинакова. (2) Известно, что свет в системе неподвижных звезд распространяется по всем направлениям с одинаковой скоростью, а в опытах установлено, что скорость распространения света и на Земле по всем направо лениям одинакова.

Что отсюда следует? ™В языке логики высказыва-ний посылки, составляющие усло­вие задачи, можно соответственно выразить формулами

(1) (РЛ<?)-*~г,. (2) q Л г,

где р стоит вместо: Теорема о сложении, скоростей верна; q — вместо: В системе неподвижных звезд свет распространяется по всем направлениям с одинаковой скоростью; г—вместо: На Земле скорость света по всем направлениям одинакова.

_}

14. ip Л q)-+~r

15. qAr

16. f

17. ~ (р Л q)

18. q

19. *** р

Применяя к формулам (1), (2) уже известные нам правила следования, мы строим такой, формальный вывод:

посылки? УК

МТ (1, 3);

УК @и

УОК (4, 5).

Таким образом, из посылок, написанных в строках 1—2 вы­вода, мы получаем в качестве следствии Вспоминая, что р стоит вместо: Теорема о сложении скоростей верпа, мы прихо­дим к требуемому ответу на вопрос нашей словесно сформули­рованной задачи, а именно: Теорема о сложении скоростей не­верна.

Приведенное выше определение вывода является эффектив­ным в том смысле, что для любой предъявленной последова­тельности формул (логики высказываний) мы, пользуясь таб­личным методом, всегда в состоянии ответить на вопрос, явля­ется ли данная последовательность формул выводом из данных посылок (исходных формул) или нет. Однако отсутствие ссылки на конечную совокупность правил делает это определение мало­интересным даже с отвлеченно-теоретической точки зрения.

В дальнейшем мы. укажем конечную совокупность логиче­ских правил, с помощью которой можно строить формальные выводы, возможно точно передающие структуру обычных логи­ческих рассуждений, иными словами, построим логическую си­стему (логическое исчисление) естественного вывода. С целью выяснения характерных особенностей логического строения обычных рассуждений проанализируем вначале примеры конк­ретных логических доказательств.

Пример. Доказывается арифметическое предложение

Если простое число k делит пг-п и k не делит тп, то k Зе-лит п.

Доказательство.

Допустим, что

(1) простое число k делит т-п и не делит т.

Тогда из (iy следует, что

(2) k делит гп-п.

В свою очередь из (2) и известного положения: .