II. Используя условия из примера 2 (с. 257), узнать, кто совершил по- ступок, если известно, что только одно из этих утверждений ложно.

III. Методом приведения к совершеииой кнф решить следующую задачу.

Рабочий должен следить за деталями, движущимися мимо него по кон­вейеру, он должен снимать с леиты некоторые детали и пропускать осталь­ные. Бригадир сказал ему, чтобы сегодня он снимал детали, которые удов­летворяют одновременно ряду условий, а именно оии:

а) обладают по крайней мере одной из следующих характеристик — искривлены, заржавлены или не окрашены;

б) или нестандартны, или заржавлены, или то и другое вместе;

в) или искривлены, или не заржавлены, или то и другое вместе;

г) или нестандартны, или не заржавлены, или то и другое вместе;

д) обладают хотя бы одной из следующих характеристик: искривлены, заржавлены или окрашены.

Предложенную в столь неудобной форме инструкцию рабочий упростил до двух характеристик объектов. Какие это характеристики?

§ 15. Дизъюнктивные нормальные формы

Формулы логики высказываний наряду с КНФ могут иметь дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ).

Условимся называть элементарной конъюнкцией формулу, которая имеет вид

Ai А А₂ А ... Л A_ft,

где л^1, a Aj (t^nj—либо переменная, либо отрицание переменной. Например, формула

Р Aq Л~г Ар Л~<7 А г

— элементарная конъюнкция, формула же

{р V <7) Л г А Р

элементарной конъюнкцией не является, так как ее первый конъюнктивный член не есть ни переменная, ни отрицание пере­менной.

Теорема. Элементарная конъюнкция тождественно-ложна тогда и только тогда, когда в нее входит хотя бы одна пара конъюнктивных членов, из которых один есть некоторая пере­менная, а другой— ее отрицание.

Доказательство. В самом деле, элементарная конъюнк­ция, содержащая такую пару, либо имеет вид

Е Л ~ Е Л К,

где Е переменная, а подформула К — элементарная конъюнк­ция (которой может и не быть), либо ей можно придать этот вид в результате применения правила замены по равносильно­сти (2). Так как подформула Е Л ~ Е тождественно-ложна, то согласно (48') и вся элементарная конъюнкция

ЕЛ ~ЕЛК

тождественно-ложная формула, независимо от того, истинна или ложна подформула К.

Наличие переменной и ее отрицания не только достаточное, но и необходимое условие тождественной ложности элементар­ной конъюнкции. Действительно, допустим, что в элементарной конъюнкции такой пары нет. Придадим каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, логическое значение «истина», а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания, — зна­чение «ложь». Тогда каждый из конъюнктивных членов полу­чает значение «истина», а значит, вся элементарная конъюнк­ция имеет значение «истина» и не является тождественно-лож­ной формулой.

Определение. Формула логики высказываний имеет дизъюнктивную нормальную форму, если она имеет вид

В, V В₂ V ... V В_т,

где Bi, В₂, В_т — элементарные конъюнкции и m^l, , Например, формула-

Р V (~<7 А г) V~s V (~р Л~г)

имеет дизъюнктивную нормальную форму.

Любая формула логики высказываний в результате ряда равносильных замен может быть приведена к дизъюнктивной нормальной форме. Формулу, равносильную данной и имеющую дизъюнктивную нормальную форму, будем называть дизъ­юнктивной нормальной формой данной формулы.

Для того чтобы привести формулу к ДНФ, необходимо вначале привести ее к нормальной форме. Затем каждую под­формулу вида (АЛ(В\/С)) согласно равносильности (7) и каждую подформулу вида ((BVC)A А) согласно равносильно­сти (/') заменить формулой ((АЛВ) V (А Л €)),.

Рассмотрим процесс приведения формулы к ДНФ* на? следую* щем примере. Пусть дана формула

(р ~q) -*-> (~ г Л s).

Приводим ее к ДНФ:

(~ (~ Р V ~<7) V С~ ' Л *)) Л (~ (~ г Л 8) V Hp V ~<?)); ((Р Л q) V (~ г Л *)) Л (г V ~s V ~Р V ~<7); (г Л р Л <7) V (г Л ~г Л s) V (~ s Лр Л я) V(~ s Л ~г Л s) V V (-~р Ka°h4 V (—р>Л~г Л s) V (~<7 А Р Л ?) У V (~ч;Л~гЛ«).

Формула не единственным образом представима в Д*НФ. Формула, имеющая ДНФ, тождественно-ложна тогда и только тогда, когда тождественно-ложны все ее дизъюнктивные члены, т. е. когда каждая элементарная конъюнкция содержит шт бы одну пару конъюнктов, из которых один есть некоторая? неп­ременная, а другой — ее отрицание. Таким образом, па виду некоторой формулы в КНФ можно судить о том, тождественно¹* ложна она или нет.

Например, пусть дана формула

~«Р-**)-*((Р V г)-»-V г)».

Приводим, ее к ДНФ:

~ (~ (~ Р V <7) V (~ (Р V г) V (<7 V г))); (~Р V q) Л ~(~ (Р V г) V (<7 V г)); (~Р V ?)A((pVr)A~(?Vr)); (~ Р V <7) Л ((р V г) Л ~<7 Л ~г); (~ р V ?) Л ((~ <7 Л ~г Л р) V (~ я Л ~г Л г))* (~?Л~гЛрЛ ~р) V (~ <7 Л ~г Л р Л я) V V (~<7 Л~г Лг Л~р) V (~<7 Л~г Л г Л?).

Можно видеть, что все дизъюнктивные члены ДНФ данной формулы содержат некоторую переменную одновременно со

знаком отрицания и без него. Следовательно, данная формула тождеств енн о-л ожн а я.

Каждая не тождественно-ложная формула имеет ДНФ, ко­торая называется совершенной.

Определение. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) некоторой формулы называется такая ее ДНФ, которая удовлетворяет следующим условиям:

а) в ней нет двух одинаковых дизъюнктивных членов (оди- наковыми считаются такие дизъюнктивные члены, которые по- лучаются один из другого в результате замены по равносильно- сти (2));

б) ни в одном дизъюнктивном члене нет двух одинаковых конъюнктов;

в) ни в одном дизъюнктивном члене нет таких двух конъюнк- тов, из которых один есть переменная, а другой — отрицание этой переменной;

г) в каждом дизъюнктивном члене содержатся все перемен- ные данной формулы.

Для того чтобы привести формулу к СНДФ„ необходимо:

163. привести ее к ДНФ;

164. на основании равносильностей (2), (4) и (9) устранить из ДНФ повторяющиеся дизъюнкты, т. е. из всех имеющихся одинаковых дизъюнктов оставить один и вычеркнуть остальные;

165. на основании равносильностей (2) и (в) устранить все повторения в дизъюнктивных членах ДНФ, т. е. из всех имею­щихся одинаковых конъюнктов оставить один и вычеркнуть остальные;

166. на основании равносильностей (2), (4) и (50) устранить из формулы те дизъюнктивные члены, которые являются тожде­ственно-ложными элементарными конъюнкциями;

167. ко всем тем дизъюнктивным членам, в которых отсут­ствует какая-нибудь из содержащихся в данной формуле пере­менных Е, на основании равносильности (47) приписать знак конъюнкции, вслед за ним — тождественно-истинную дизъюнк­цию (EV ~Е) и применить правило замены по равносильно­сти (7). Эту процедуру повторять до тех пор, пока не окажется, что в каждый дизъюнктивный член входят все переменные, со­держащиеся в данной формуле;

168. если в получившейся ДНФ снова появились одинаковые дизъюнктивные члены, то.надо устранить повторения.

Пусть, например, требуется привести к СДНФ формулу

(р-М)Л(~<7->р). Вначале приведем ее к ДНФ:

(~ Р V q) Л (q V р); (q Л ~Р) V {q Л Я) V {р Л ~Р) V {р Л ?)•

Устраняя повторения и вычеркивая тождественно-ложные дизъюнктивные члены, получаем формулу

(q Л~р) V q V (р Л q)>

Пополняем второй дизъюнкт недостающей переменной р:

{q Л~р) V (q Л (р V ~р)) V (р Л (q Л ~Р) V (<7 Л Р) V (<7 Л ~Р) V (р Л <7>.

Устраняем возникшие повторения и получаем СДНФ данной формулы:

(<7 Л ~р) V (<7 Л Р)-

В конце § 7 рассматривались формулы, однозначно опреде­ляющие таблицы логических функций. Легко убедиться в том, что каждая такая формула имеет СДНФ.

Гипотезой формулы В называют такую формулу А, что формула А-+-В тождественно-истинна. Если А — гипотеза формулы В, то А Л С — тоже гипотеза формулы В; если А и С — гипотезы формулы В, то А V С — тоже гипотеза В. Дизъюнктив­ные члены СДНФ данной формулы есть различные гипотезы, при истинности которых данная формула истинна.

С помощью СДНФ можно получить обзор всех гипотез дан­ной формулы, которые имеют СДНФ. Но нас обычно интересу­ют лишь самые слабые гипотезы. С этой точки зрения представляют интерес так называемые простые гипотезы. Гипо­теза А формулы В называется простой, если А есть элементар­ная конъюнкция, которая не тождественно-ложна, не содержит повторений и не поглощается никакой другой, более слабой, гипотезой формулы В такого же вида. Простые гипотезы данной формулы можно найти, приводя ее к сокращенной ДНФ.

Определение. Сокращенной ДНФ данной формулы на­зывается такая ее ДНФ, которая удовлетворяет следующим условиям:

а) ни в одном дизъюнктивном члене нет двух одинаковых конъюнктов;

б) ни в одном дизъюнктивном члене нет таких двух конъ- юнктов, из которых один есть переменная, а другой — отрицание этой переменной;

в) нет таких пар дизъюнктивных членов, что каждый конъ- юнкт из одного имеется в другом; т. е., во-первых, нет двух одинаковых дизъюнктивных членов, а во-вторых, нет таких двух дизъюнктивных членов, из которых один поглощается другим;

г) если имеются такие два дизъюнктивных члена, из кото- рых один содержит некоторую переменную, а другой — ее отри- цание (при условии, что другой переменной для которой это же имеет место, в данных дизъюнктах нет), то в этой же ДНФ имеется дизъюнктивный член, который является элементарной

конъюнкцией, построенной из всех конъюнктов данной пары, отличных от упомянутой переменной и ее отрицания.

Для того чтобы привести формулу к сокращенной ДНФ нуж­но произвести следующие преобразования:

1) привести ее к ДНФ;

169. из всех одинаковых дизъюнктивных членов ДНФ оставить только один и в элементарных конъюнкциях тоже устранить все повторения;

170. устранить из ДНФ все тождественно-ложные дизъюнктив­ные члены;

171. если среди дизъюнктивных членов ДНФ имеются два таких, что один содержит некоторую переменную, а другой — ее отрицание, то на основании закона выявления, т. е. равно­сильности (22), добавить новый дизъюнктивный член, представ­ляющий собой конъюнкцию остальных конъюнктов этих двух дизъюнктивных членов, но лишь при условии, что новый дизъ­юнктивный член не тождественно-ложный и отличается от всех уже имеющихся.

Например, если в ДНФ имеются дизъюнктивные члены (р Л q А г) и ( ~ г Л s), то если в ДНФ нет дизъюнктивного члена (р Aq As), добавить его к ДНФ.

В качестве законов выявления мы будем также использо­вать равносильности

С V (В Л ~ С) равносильно С V (В Л ~ С) V В (22а)

и

^{(А Л С) V ~ С равносильно (А Л С) V ~ С V А, (226)}

которые можно рассматривать как такие частные случаи равно­сильности (22), в которых отсутствуют либо формула А, либо формула В.

172. если в новых дизъюнктивных членах ДНФ имеются по­вторения, то устранить их;

173. если среди дизъюнктивных членов ДНФ имеются такие, которые поглощаются другими,, то применяя правило замены по равносильности (20), устранить все поглощаемые дизъюнктив­ные члены.

Получившаяся в результате формула есть сокращенная ДНФ данной формулы, каждый дизъюнкт которой — ее простая ги­потеза. Таким образом, для того чтобы получить все простые гипотезы, т. е. найти те самые слабые допущения, при которых данная формула была бы их следствием, нужно привести фор­мулу к сокращенной ДНФ.

Рассмотрим следующий пример. Пусть дана формула

((Р А Я) V г)-♦>/•.

Приводим ее к сокращенной ДНФ:

~((pA<7)Vr)Vr; (~(рЛ?)Л~г) Vr; ((~р V~<7)A~r)Vr; (~ г Л ~р) V (~ гЛ ~<7) V г; (~rA~p)V (~гЛ~<7) Vr V~p V~<7; г V ~ Р V ~ <7-

Таким образом, данная формула логически следует из гипо­тезы г, или гипотезы ~р, или гипотезы ~q.

Упражнения:

I. Привести к ДНФ формулу

{(рq)-+[~ q h г))+-*■ ~ г.

II. Привести к СДНФ формулу

((р -+q)*f*{r4-*- s)) (~ р Л «).

III. Найти все проЪтые гипотезы формул

174. (Р Я) V (р Л <7).

175. ((рЛ~<7)->'')-»-(гУ<7).

IV. Алхимик, посаженный в тюрьму за ересь, последовательно получил шесть секретных сообщений, которые были закодированы с помощью овощей, вложенных в суп; они касались его намерения превратить свинец в золото.

Первое сообщение. Ваше намерение превратить свинец в золото будет осуществлено; королева утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г.; ваше обвинительное заключение будет передано настоятелю к этому времени.

Второе сообщение. Ваше намерение превратить свинец в золото не будет осуществлено; королева' не утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г.; обвинительное заключение не будет передано настоятелю.

Третье сообщение. Ваше намерение превратить свинец в золото будет осуществлено; королева утвердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г.; обвинительное заключение не будет передано настоятелю.

Четвертое сообщение. То что следует далее, неверно. Или ваше намерение превратить свинец в золото будет осуществлено, или королева ут­вердит вашего зятя настоятелем к 1 апреля 1457 г.; обвинительное заключе­ние не будет передано.

Пятое сообщение. По крайней мере одно из предыдущих сообще­ний истинно.

Шестое сообщение. Полученная вами информация абсолютно на­дежна.

Как мог бы алхимик методом приведения к сокращенной ДНФ наилуч­шим образом упростить всю полученную им информацию? Выразить ответ формулой, содержащей знак эквивалентности (см.: Калбертсон Дж, Т< Математика и логика цифровых устройств, М., 1965, с, 215—216)^