3 См.: Гильберт д. И Аккерман в. Основы теоретической логики. М., 1947, с. 47,

^Г(~Р V ~<? V ~r) Л (q V P V г) Л (<7 V P V ~r) Л

Л (<7 V ~ P V г) Л (<7 V ~ p V ~r) Л (г V p V <7) Л

Л (г V p V ~ q) Л (г V ~ p V <7) Л (г V ~ p V ~ q); (~_PV~<?V~r)A(qVpVr)A(9VpV~r)A

A(?V~pVr)A(?V~pV~r)A(rVpV~?)A

AH~pV~?).

К конъюнкции первого и пятого, четвертого и седьмого конъюнктивных членов получившейся СКНФ несколько раз при­меняем правило замены по равносильности (18) и находим наи­более интересное по содержанию следствие:

(~ р V ~ q V ~ г) Л {q V ~ р V ~ г) Л (<7 V ~ р V. г) Л

Л (г V ~ р V ~ д);

(~pV ~r)A(~P Vr); ~Р,

т. е. что теорема о сложении скоростей неверна.

Упражнения:

I. Выяснить верно ли, что

150. формула ~r V~9 логически следует из формул р и р -» ~ Л г);

151. формула р ->• ~ г логически следует из формул ~р V? и ~ (q Лг)

3) формула ~ (г Л s) логически следует из формул р V q, р->~г и q->~s?

II. Найти все следствия в СКНФ из посылок: Dp V?, р->~/-ир->?;

2) ~p->q, q-*r и ~ г -> р.

152. В студенческой группе возникла следующая ситуация: каждый сту­дент, который умеет играть в шахматы, или имеет спортивный разряд, или хорошо учится, но не то и другое вместе; если студент имеет спортивный раз­ряд, то ои умеет играть в шахматы. Следует ли отсюда, что в группе иет студентов, которые имеют спортивный разряд и в то же время хороШо учатся?

153. Проверить справедливость следующего рассуждения полицейского детектива: Если Джойс ие встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит ие был убийцей, то Джойс ие встре­чал Смита этой иочыо, и убийство имело место после полуночи. Если убий­ство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей.

§ 14. Сокращенная конъюнктивная нормальная форма

Мы видели, что с помощью СКНФ можно получить обзор всех таких следствий из данных посылок, которые сами имеют СКНФ. Однако нас обычно интересуют лишь наиболее силь-.

ные¹ следствия данных посылок. С этой точки зрения представ­ляют интерес так называемые простые следствия. След­ствие В из посылок Аь А₂, ..., А_п называют простым, если В есть такая не содержащая повторений и не тождественно-истин­ная элементарная дизъюнкция, которая не «поглощается» (в смысле «закона поглощения» — равносильности (19)) ника­ким другим более сильным следствием из посылок А_и А₂, .., ..., А„ такого же вида. Простые следствия из данных по­сылок можно найти, приводя их конъюнкцию к сокращенной КНФ.

Определение. Сокращенной КНФ данной формулы назы­вается такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим усло­виям:

а) ни в одном конъюнктивном члене нет двух одинаковых дизъюнктов;

б) ни в одном конъюнктивном члене нет таких двух дизъ- юнктов, из которых один есть переменная, а другой отрицание этой переменной;

в) нет таких пар конъюнктивных членов, что каждый дизъ- юнкт из одного имеется в другом, т. е., во-первых, нет двух одина- ковых конъюнктивных членов, а во-вторых, нет таких двух конъюнктивных членов, из которых один поглощается другим;

г) если имеются такие два конъюнктивных члена, из кото- рых один содержит некоторую переменную, а другой — ее отри- цание (при условии, что другой переменной, для которой это же имеет место, в данных конъюнктах нет), то в той же КНФ имеется конъюнктивный член, который является элементарной дизъюнкцией, построенной из всех дизъюнктов данной пары, отличных от упомянутой переменной и ее отрицания.

Для того чтобы привести формулу к сокращенной КНФ нужно:

1) привести ее к КНФ;

154. из всех одинаковых конъюнктивных членов КНФ оставить только один и в элементарных дизъюнкциях также устранить все повторения;

155. устранить из КНФ все тождественно-истинные конъюнк­тивные члены;

156. если среди конъюнктивных членов КНФ имеются два та­ких, что один содержит некоторую переменную, а другой — ее отрицание, то на основании закона выявления, т. е. равносиль­ности (21), добавить новый конъюнктивный член, представляю­щий собой дизъюнкцию остальных дизъюнктов этих двух конъ­юнктивных членов, но лишь при условии, что новый конъюнктив­ный член не тождественно-истинный и отличается от уже имею­щихся.

Например, если в КНФ имеются конъюнктивные члены (pVqVr) и (~ rVs), но нет конъюнктивного члена (pVqVs),"to следует добавить его. Но если в КНФ имеются конъюнктивные члены (р VrV ~s) и (~ pV qV s), то не следует добавлять конъюнктивного члена (гV ~ s V? Vs), поскольку он тожде­ственно-истинный, а таких согласно п. б) в сокращенной КНФ не должно быть.

В качестве законов выявления мы будем также использовать равносильности:

СЛ(ВУ~С) равносильно С Л (В V ~ С) Л В (21а)

и

(А V С) Л ~ С равносильно (А V С) Л ~ С Л А, - (216)

которые можно рассматривать как такие частные случаи равно­сильности (21), в которых отсутствуют либо формула А, либо фор­мула В. Так, если в КНФ имеются конъюнктивные члены q и (pV~q), то припишем новый конъюнктивный член р, а если имеются конъюнктивные члены (pVqVr) и ~ г, то припишем новый конъюнктивный член (pV<7);

157. если в новых (добавленных) конъюнктивных членах КНФ имеются повторения, то устранить их;

158. если конъюнкты КНФ с помощью равносильностей (2) и (4) можно перестроить так, что с ним будет применим закон поглощения, т. е. равносильность (19), то применяя правило за­мены по этой равносильности, устраняем все поглощаемые конъюнктивные члены.

Приводя формулу к сокращенной КНФ, бывает удобно чере^ довать применение законов выявления и поглощения.

Формула, получившаяся в результате применения пп. 1)—6), имеет сокращенную конъюнктивную нормальную форму и каж­дый ее конъюнкт есть простое следствие исходной формулы.

Для того чтобы получить обзор всех простых следствий из некоторого множества посылок, нужно конъюнкцию этих посы­лок привести к сокращенной КНФ.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Даны посылки p-+~q, ~р-+г и ~(<7Лг). Найти все их простые следствия. Приводим конъюнкцию посылок к КНФ:

(Р -* ~ а) Л (~ р -* г) Л ~ (q Л г); (~ р V ~ q) Л (Р V г) Л (~ q V ~ г).

Производим все выявления:

(~ р V ~ Я) Л (р V г) Л (~ q V - г) Л (~ q V г) Л

Л ip V ~ q) Л (~ Я V ~ <7).

Устраняем повторения в новых конъюнктах!

(~ р V ~Я) А (р V г) Л (~ q V ~ г) Л (~ q V г) Л

Л (р V ~ <7) Л ~<7-

Производим все поглощения:

(р V г) Л ~

Формулы (pVr) и ~<7 являются простыми следствиями дан­ных посылок, т. е. если посылки истинны, то формула (pVr) истинна, a q — ложна.

2. В совершении некоторого поступка подозревают только одного из четырех лиц: К., Л., М. и Н.; К. утверждает, что по­ступок совершил Л., Л. — что поступок совершил Н., М. — что он этого поступка не совершал, Н. тоже говорит, что он этого поступка не совершал. Кто же совершил поступок, если изве­стно, что только одно из этих утверждений истинно?

Пусть высказыванию Поступок совершил К. соответствует переменная р; высказыванию Поступок совершил Л. — перемен­ная </; высказыванию Поступок совершил М. — переменная г; высказыванию Поступок совершил Н. — переменная s. Тогда условие, что поступок мог совершить только один из четырех, можно записать в виде формулы, которая выражает, что ника­кие два из четырех высказываний не могут быть оба истинными}

~ (р Л q) Л~ (р А г) Л ~ (р Л s) Л ~ (<7 Л г) Л ~ (<7 Л s) А

Л ~ (г A s).

Утверждения каждого из четырех означают последователь­но: q, s, ~г и Но так как истинно только одно из них, то никакие два из этих утверждений не являются одновременно истинными. Это условие можно записать следующим образом:

~(<7 Л s) Л ~(<7 Л ~г\ Л ~ (<7 Л ~ s) Л ~ (s Л ~г) А

Л~(«Л~«)Л~(~гЛ~4

Конъюнкцию двух последних формул приводим к КНФ:

~ (Р Л q) А ~(р А г) д ~ (р Л s) Л ~{q А г) А

A ~(q A s) А ~ (/■ Л s) А ~(<7 Л s) А ~(<7 Л ~г) Л ~(<7 Л ~s) Л

Л ~(^s Л ~ /■) Л ~ (5 Л ~ 5) Л ~(~г А (~р V ~<7) Л (~Р V ~г) Л (~ pV~s) Л (~<7 V ~г) Л Л (~ 9 V ~s) Л (~f V ~s) A(~qV ~s) Л (~ <7 V г) Л

Л (~ <7 V s) Л (~ s Vr) Л (~ s V в) Л (г V s).

Далее, устраняя повторения и вычеркивая тождественно-истин-i ный конъюнктивный член, получаем формулу ,

l~ р V ~<?) Л (~ Р V ~г) Л (~р V ~s) Л (~? V ~г) Л Л (~ <7 V ~s) Л (~> V ~s) Л (~ <7 V г) А (~ <7 V s) А

A(~sVr)A(rVs),

9 Зак, 499

267

Применяем закон выявления сначала к 5-му и 8-му конъ* юнктивным членам, затем к 6-му и 9-му, затем я 9-му и 10-му и, наконец, ко 2-му и вновь выявленному 13-му. После сокра< щения повторений в выявленных конъюнктивных членах полу-* чаем формулу:

(~ р V ~ q) А (~ Р V ~ г) Л (~ Р V ~ s) Л (~ q V ~f) Л

Л (~ <7 V ~s) Л<~ г V ~s) Л (~ q V г) А (~? Vs) ЛХ~« V г) Л

Л (г V s) Л~<7 Л~а Л г Л~р.

Производим все поглощения и получаем сокращенную КНФ

~q A~s Л г Л ~Р,

из которой видно, что р, q и s ложны, а г, т. е. высказывание Поступок совершил М. — истинно. <

3. Семья, состоящая из отца, матери, сына, а также старшей и младшей дочери, купила телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке: 1) когда отец смотрит передачу, мать тоже смотрит передачу; 2) дочери, обе или одна из них, смотрят передачу; 3) из двух членов семьи — мать и сын — смотрит передачу один и только один; 4) сын смотрит передачу тогда и только тогда, когда ее смотрит стар­шая дочь, 5) если младшая дочь смотрит передачу, то отец и старшая дочь делают то же. Кто из членов семьи смотрел в этот вечер передачу?

Пусть высказываниям Отец смотрит передачу соответствует переменная р; Мать смотрит передачу — переменная q; Сын смотрит 'передачу — неременная г; Старшая дочь смотрит пере» дачу — переменная щ Младшая дочь смотрит передачу — пере­менная L

Тогда условия задачи выражают формулы]

1) p-+q; 2) sVH 3) q<t*r\ 4) г «-+ s\

б) t-+{p f\s). Конъюнкцию этих формул приводим к КНФ'.

(р-*■ q) A (s V i) Л (q^r) А (/■«->s) A (t-+{p A s))\ (~ Р V q) A is V 0 Л (Я V г) Л (~ q V ~г) Л (~ т V s) Л

Л (~ s V г) А (~ i V р) А (~ ( V s).

Применяя закон выявления ко второму и последнему конъ* юнктам, получаем формулу

(~ Р V q) А (* V О Л <<7 V г) А (~Я У ~г) А< ~r V*) Л {~ * V г) Л

A(~<Vp)A(-/Vs)A«.

Затем производим поглощения — последний конъюнктивный член s поглощает второй, пятый и восьмой конъюнктивные

члены, а к шестому и последнему конъюнктам вновь применяем закон выявления. Получаем формулу

(~р V я) Л (<7 V г) Л (~<7 V~г) Л (~s V г) Л (~< V р) Л s Л г Производим поглощения: последний конъюнкт поглощает второй и четвертый, а к третьему и последнему конъюнктам применяем закон выявления. Получаем формулу

(~PV?) А (~ я V~г) Л (~£ V р$ A ^s Л г Л ~Я-

Вновь производим поглощения: последний конъюнкт погло­щает второй, а к последнему и первому конъюнктам применяем закон выявления. Получаем формулу

(~р V я) Л {~t V р) Л s Л г Л ~<7 Л ~Р-

Производим опять поглощения: последний конъюнкт погло­щает первый, а к последнему и второму применяем закон вы­явления. Получаем формулу

(~*V р)Л s Аг Л ~<7 Л~Р A~f.

Наконец, еще раз производим поглощения и иолу чаем со­кращенную КНФ конъюнкции посылок

s Аг Л~<7Л~р Л~г-

Из последней формулы видно, что старшая дочь и сын смот­рят передачу, а мать, отец и младшая дочь — не смотрят.

Процедуру приведения к сокращенной КНФ можно исполь­зовать для упрощения формул.

Рассмотрим, например, следующую задачу.

В ходе анализа химических свойств некоторого класса ве­ществ экспериментатор обнаруживает последовательно следую­щие закономерности:

159. если вещество обладает свойством А и свойством В, то оно обладет также и свойством С;

160. если имеют место свойства В и D, то имеет место также или свойство А, или свойство С;

161. если вещество обладает свойством В, но не обладает свойством А, то оно обладет также или свойством С, или свой­ством D;

162. если свойство В имеет место, а свойство С отсутствует, то свойство А также отсутствует.

Требуется упростить эту информацию.

Пусть высказываниям Вещество обладает свойством А со­ответствует переменная р; Вещество обладает свойством В — переменная я~> Вещество обладает свойством С—переменная г; Вещество обладает свойством D — переменная s. Тогда обнару­женные закономерности можно записать следующими форму­лами:

1) (РЛ<7)-*г, 2) (яА8)-+(р V г);

3) (Я Л~р)-*(г V s)i 4) (яА~г)->~р. О» 239

Приводим конъюнкцию этих формул к сокращенной КНФ. «Р Л q)-*r) Л ((я Л s)-»(p V г)) Л ((Я Л ~p)-*(r V s)) Л

Л((<7Л~г)-»-~р); (~ (р Л я) V г) Л (~ (<7 Л s) V р V г) Л (~ {<? Л ~р) V г V s) Л

Л (~ (<7A~r) V~p); (~pV~<7Vr)A(~<7V~sVpVr)A(~<7VpVrVs)A

Л (~<7 V г V ~р); (~ р V ~ <7 V г) Л (~ <7 V ~ s V р V г) Л (~ Я V р V г V s); (~pV~<7Vr)A(~<7V~sVpVr)A(~<7VpVrVs)A

Л (~ <? V р V г) Л (~ <7 V г);

~<7Vr.

Таким образом, конъюнкция формул 1), 2), 3) и 4) равно­сильна формуле ~q\/г, которая в свою очередь согласно равносильности (13) равносильна формуле <7->г. Следователь­но, информация, заключенная в 1)—4) равносильна высказы­ванию. Если вещество обладает свойством В, то оно обладает свойством С.

Упражнения:

1. Найти все простые следствия из посылок:

l.pVf ?Vf я~рЛп

2. р q, р->г и ~q V ~г