§ 12, Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма

Возникает вопрос, можно ли установить какую-нибудь зако­номерную связь между структурой формулы и ее семантикой, между ее логической формой и логическим содержанием? Ока­зывается, что такая связь существует, и можно указать простой метод, позволяющий по виду формулы, приведенной к некото­рой стандартной форме, судить о том, тождественно-истинная она или нет.

Условимся называть элементарной дизъюнкцией формулу, которая имеет вид

^{. At V As V ... V А„,}

где а А( (i ^ п) есть либо переменная, либо отрицание

переменной. Например, формула

р V а V ~ f V Р V ~ q V г — элементарная дизъюнкция, формула же

(Р Л q) V г V Р

элементарной дизъюнкцией не является, так как ее первый дизъ­юнктивный член не есть ни переменная, ни отрицание пере­менной.

Теорема. Элементарная дизъюнкция тождественно-истинна тогда и только тогда, когда в ней содержится хотя бы одна пара дизъюнктивных членов, из которых один есть некоторая пере* менная, а другой — ее отрицание.

Доказательство. В самом деле, элементарная дизъюнк­ция, содержащая такую пару, либо уже имеет вид

Е V ~Е V D,

где Е переменная, a D —элементарная дизъюнкция (которой может и не быть), либо ей можно придать этот вид в резуль­тате применения правила замены по равносильности (4). Так как подформула EV~ Е тождественно-истинная, то согласно (49') вся элементарная дизъюнкция

EV~EVD

тождественно-истинная формула, независимо от того, истинна или ложна подформула D.

Наличие переменной и ее отрицания не только достаточное, но и необходимое условие тождественной истинности элементар­ной дизъюнкции. Действительно, допустим, что в элементарной дизъюнкции такой пары нет. Придадим каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, значение «ложь», а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания, значение «истина». Тогда каждый из дизъюнктивных членов получает значение «ложь», а, следовательно, вся элементарная дизъюнкция имеет значение «ложь» и не является тождественно-истинной фор­мулой.

Определение. Формула логики высказываний имеет конъюнктивную нормальную форму (КНФ), если она имеет вид

В, Л В₂ Л . • • Л В_я,

где Bi, В2, B_m — элементарные дизъюнкции и m^l. На­пример, формула

р Л (~ Я V г)Л ~ s Л (~ Р V ~ г)

имеет конъюнктивную нормальную форму.

Любая формула логики высказываний в результате ряда рав­носильных замен может быть приведена к конъюнктивной нор­мальной форме. Формулу, равносильную данной и имеющую конъюнктивную нормальную форму, будем называть конъюнк­тивной нормальной формой данной формулы.

Для того чтобы формулу привести к КНФ, необходимо вначале с помощью известной процедуры привести ее к нормаль­ной форме. Затем каждую подформулу вида (AV(B АС)) со­гласно равносильности (6) и каждую подфорл'у вида ((BAC)VA) согласно равносильности (6') заменить формулой ((А V В) Л (A VC)).

Формула имеет КНФ, если она имеет нормальную форму и в ней нет подформул вида (AV(BAC)) и ((BAC)VA).

Рассмотрим процесс приведения формулы к КНФ на сле­дующем примере. Пусть дана формула

(~ Р Л я) -> (р *-» ~ _г).

Приведем ее вначале к нормальной форме:

~(~Р Л я) V {р +-+ ~ г);

~ (~ Р Л я) V ((~ Р V ~ г) Л ( г V р)У,

(~~pV ~j)V{(~p V~r)A(~~r Vp));

(P V ~q) V ((~P V ~r) A (г V p)). Затем, с помощью равносильности (6) получаем формулу

(pV ~qV ~р V ~г) Л (р V ~<7 V г V р),

которая имеет КНФ.

Формула не единственным образом представима в КНФ._: Например, формула

имеет следующие представления в КНФ: (~Р V<7)A(-<?Vp);

(~ Р V а) Л (~ <7 V Р V г) Л (~ Я V р V ~ г); (Р V ~?) Л (<? V ~ <?) Л fa V ~ Р).

Приводя формулу к КНФ, мы будем в дальнейшем пользо­ваться следующими сокращенными способами преобразования формул.

Так, если знак отрицания стоит перед конъюнкцией [дизъ­юнкцией], содержащей более двух конъюнктов [дизъюнктов], как, например, в формулах ~ (А Л В Л С) [~.(А V В V С)], ~ (А Л В Л С Л D) [~ (А V В V С V D)] и т. д., то мы не будем восстанавливать скобки и дважды, трижды и т. д. применять правило замены по равносильностям (10) [(H)], а сразу будем писать формулы (~ А V ~ В V ~ С) [(~ А Л ~ В Л ~ С)], (~AA~BA~CA~D) [(~А V~B V ~С V ~ D)] и т. д., Т. е. пользоваться обобщенными законами де Моргана:

~ (к_у Л А ₂ Л ••. Л А„) равносильно ~ Ai V ~ А₂ V ... V г* А„; ~ (A_t V А₂ V ... V А„) равносильно ~ А, Л ~ А₂ Л •... Л ~ А„.

. Далее, если в формуле встречаются подформулы вида (АЛ В) V (С Л D), (А Л В) V (CADAE) и т. п., то вместо того, чтобы дважды, трижды и т. д. применять правило замены по равносильности (6) и (6') и писать, например, в первом слу­чае сначала формулу

((А Л В) V С) Л ((А Л В) V D),

а затем

(С V А) Л (С V В) Л (D V А) Л (D V В),

будем сразу писать последнюю формулу, т. е. пользоваться обобщенным законом дистрибутивности дизъюнкции относи­тельно конъюнкции:

(А[ Л ... Л A_m) V (В, Л . • • Л В„) равносильно (B_t V АО Л ... '

... Л (В, V А_от) Л ... Л (В„ V А,) Л ... Л (В„ V А_т).

Кроме того, мы не будем писать перед подформулами двой­ных отрицаний, если последние появятся в ходе преобразований, так как согласно процедуре приведения формулы к КНФ все двойные отрицания должны быть устранены.

Формула, имеющая КНФ, тождественно-истинна тогда и только тогда, когда тождественно-истинны все ее конъюнктив­ные члены, т. е. когда каждая элементарная дизъюнкция содер­жит хотя бы одну пару дизъюнктов, из которых один есть неко­торая переменная, а другой — ее отрицание.

Таким образом, по виду некоторой формулы в КНФ можно судить о том, тождественно-истинна она или нет.

Например, пусть дана формула

Приводим ее к КНФ:

(~ (р~ q) V (а-*■ ~ р)) Л (~ (<f~ Р) V (Р-* ~ Ф)> [~(~р V ~q)V(~qV ~p))A(~(~<7V ~р) V(~pV~?));'

(iP Л q) V (~ q V ~р)) Л ((<7 Л р) V (~ р V ~ q)); (~qV~p\/p)A(~qV~pVq)A{~pV~qVq)A

А (~ Р V ~ q V р).

Можно видеть, что все конъюнктивные члены КНФ данной формулы содержат некоторую переменную одновременно со знаком отрицания и без него. Следовательно, данная формула тождественно-истинная.

Каждая не тождественно-истинная формула имеет КНФ, ко­торая называется совершенной.

Определение. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) некоторой формулы называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим условиям:

а) в ней нет двух одинаковых конъюнктивных членов (оди- наковыми считаются такие конъюнктивные члены, которые по- лучаются один из другого в результате замены по равносиль- ности (4));

б) ни в одном конъюнктивном члене нет двух одинаковых дизъюнктов;

в) ни в одном конъюнктивном члене нет таких двух дизъ- юнктов, из которых один есть переменная, а другой — отрицание этой переменной;

г) в каждом конъюнктивном члене содержатся все пере- менные данной формулы.

Для того чтобы привести формулу к СКНФ, необходимо:

1) известным уже способом привести ее к КНФ;

138. на основании равносильностей (2), (4) и (8) устранить из КНФ повторяющиеся конъюнкты, т. е. из всех имеющихся одинаковых конъюнктивных членов оставить один и вычеркнуть остальные;

139. на основании равносильностей (4) и (9) устранить все по-вторения-в конъюнктивных членах КНФ, т. е. из всех имеющих­ся одинаковых дизъюнктов оставить один и вычеркнуть осталь­ные;

140. на основании равносильностей (2), (4) и (47) устранить из КНФ те конъюнктивные члены, которые являются тождест­венно-истинными элементарными дизъюнкциями;

141. ко всем тем конъюнктивным членам, в которых отсут­ствует какая-нибудь из содержащихся в данной формуле пере­менных Е, на основании равносильности (50) приписать знак дизъюнкции и вслед за ним тождественно-ложную конъюнкцию (ЕЛ~ Е), а затем применить правило замены по равносильно­сти (6). Эту процедуру повторять до тех пор, пока не окажется, что в каждый конъюнктивный член входят все переменные, со­держащиеся в данной формуле;

142. если в получившейся КНФ снова появились одинаковые конъюнктивные члены, то надо устранить повторения.

Пусть, например, к СКНФ нужно привести формулу

Цр-+Ф Л ~(~г Л ~р) Л (~q-*r)) V р. Вначале приведем ее к КНФ:

((~Р V я) Л (г Vp) Л (<7 V г)) V р; [рУ ~рУ q) Л (р У гУ р) Л (р У q У г).

Затем, вычеркиваем первый конъюнктивный член и устраняем повторения во втором. Получаем формулу ,

(р V г) Л (р V Я У г).

Так как в первом конъюнктивном члене отсутствует переменная q, то присоединяем к нему знаком дизъюнкции формулу (qA~a):

(pV rV to Л~<7)) A(pV qV г).

Воспользовавшись законом дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции, получаем формулу

(Р V г V а) Л (р V г V ~q) Л (р V я У г).

Устраняем один из одинаковых конъюнктивных членов и по­лучаем формулу в СКНФ:

(pV г У q) A(pV rV ~4).

Упражнения:

I. Привести к КНФ следующие формулы и проверить, являются они тождественно-истинными или нет:

143. р -> ((р -> д) -> q);

144. ((р -> q) Л (г -> s)) -> ((р Лг)-> <</'Л s));

145. (р ?) -> «р Л г) -> <9 Л г))*

146. (р -> (<? Л г)) <-> ((р -> д) Л (р -> г)):

147. ((р -> 9) V <р -> г)) -> (р ->{,? V г)).