Глава II

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

• § 10. Нормальная форма

Определение: формула логики высказываний имеет нор­мальную форму, если она: а) не содержит знаков -+, ■*-*• и и б) знаки отрицания стоят в ней только при переменных.

Например, формула

((р V ~q) А г) V (((~ г V s) А (~Р V s V г)) Л (s V q))

имеет нормальную форму, а формула

(~(PV q)A~r)V{~qVs)

— не имеет.

Любую формулу А, не имеющую нормальной формы, можно конечным числом применений правила замены преобразовать в формулу А', которая имеет нормальную форму. Процесс та­кого преобразования будем называть процессом приведения формулы к нормальной форме.

Для того чтобы данную формулу привести к нормальной форме, необходимо произвести в ней следующие равносильные замены:

120. каждую подформулу вида (А В) заменить согласно равносильности (17) формулой ((AV В)Л(~А V ~ В));

121. каждую подформулу вида (А -«-*■ В) заменить согласно равносильности (16) формулой ((~ AV В)Л(~ В V А));

122. каждую подформулу вида (А-»В) заменить согласно равносильности (13) формулой (~AVB);

123. каждую подформулу вида ~(АЛВ) заменить согласно равносильности (10) формулой (~AV~ В);

124. каждую подформулу вида ~(AVB) заменить согласно равносильности (11) формулой (~ АЛ ~ В);

125. каждую подформулу вида ~ ~ А заменить согласно рав­носильности (1) формулой А.

Формула имеет нормальную форму, если ни один из пере­численных пп. 1)—6) настоящего предписания к ней не при­меним.

Пусть, например, дана формула

(~p«*-?)->((<7«->r) Vs).

Согласно равносильности (17) получаем формулу

(4~pVq)A( р V ~?))->((?«-► г) Vs).

г

Из нее согласно равносильности (16) получаем формулу

((~ Р V q) А ( р V ~ q)) -> (С(~ qVr)A(~rVq)) V s),

^{затем согласно равносильности (13)—формулу}

~ ((~ Р V q) Л ( pV~q))V (((~ ? V О Л (~ г V q)) V s)

^{и, далее согласно равносильности (10)—формулу}

(-(~PV?)V~( PV ~?)) V(((~? Vr)A(~rV?)) Vs),

после чего, дважды применяя правило замены, согласно равно-сильности (11)—формулу

(( pA~q)V ( Р Л q)) V (((~ qV г) A (~rVq))Vs).

Наконец, трижды применяя правило замены, согласно рав­носильности (1) получаем следующую формулу в нормальной форме:

((Р Л ~q) V (~р Л q)) V(((~? V r)A(~rV ?)) V s),

которую, пользуясь соглашением о бесскобочной записи кратной дизъюнкции, можно записать

(р Л ~ q) V (~ р Л q) V ((~ <7 V г) Л (~ г V q)) V s. Упражнение:

Привести к нормальной форме формулы:

126. ~ (р -*-> ~ <?);

127. (~ p<f>q)-> г;

128. (р 9) -> ((р г)-> (9 •«-> г)).

§11. Проблема разрешения

Итак, каждая формула логики высказываний принадлежит одному из следующих трех классов: 1) истинных при любых логических значениях своих переменных (тождественно-истин­ные формулы); 2) ложных при. любых логических значениях своих переменных (тождественно-ложные формулы), 3) истин­ных при одних логических значениях своих переменных и лож­ных при других (нейтральные формулы).

Формула логики высказываний называется выполнимой формулой, если хотя бы для одного набора логических зна­чений своих переменных она получает значение «истина». Таким образом, тождественно-истинные и нейтральные формулы вы­полнимые, а тождественно-ложные невыполнимые.

Задача, состоящая в отыскании процедуры, позволяющей для любой формулы выяснить, какому из трех перечисленных выше классов она принадлежит, называется семантической проблемой разрешения для формул логики высказыва­ний. В соответствии с этим процедура, позволяющая конечным числом простых действий решить проблему разрешения, назы­вается разрешающей процедурой. Ясно, что процесс построения по данной формуле отвечающей ей таблицы есть разрешающая процедура семантической проблемы разрешения для формул логики высказываний.

Однако использовать процесс построения таблицы в каче­стве разрешающей процедуры семантической проблемы разре­шения практически удобно лишь в тех случаях, когда в формулу входит небольшое число переменных и она не очень длинная. Следует учитывать, что число строк в таблице быстро растет с увеличением числа входящих в формулу переменных. Напри­мер, при трех переменных число строк равно 8, при шести —64, а при десяти — уже 1024. Стремясь избежать построения гро­моздких таблиц, ищут другие, более удобные, разрешающие процедуры.

Заметим, что для того чтобы получить разрешающую про­цедуру, достаточно найти способ, позволяющий отличить тожде­ственно-истинные формулы от всех остальных. В самом деле, если в результате применения такой процедуры к формуле А выясняется, что она тождественно-истинна, то проблема разре­шения решена. Если же выясняется, что она не тождественно-истинна, то данную процедуру нужно применить к формуле l~ А. Если в результате ее применения к ~ А, выяснится, что t~ А тождественно-истинная формула, то значит, формула А тождественно-ложна. Если же ~ А так же как А не тождест­венно-истинна, — значит, формула А нейтральная, т. е. при од­них значениях переменных она истинна, а при других ложна.

Ниже описана формальная процедура, с помощью которой для любой формулы логики высказываний, не прибегая к по­строению таблицы, можно решить вопрос, тождественно-истинна она или нет.

Будем говорить, что некоторая пропозициональная перемен­ная входит в формулу, приведенную к нормальной форме, регу­лярно, если она входит в нее одновременно с отрицанием и без отрицания. Если переменная входит в формулу, приведенную к нормальной форме, только с отрицанием или только без отри­цания, то будем говорить, что она входит в формулу нерегу­лярно.

Разрешающая процедура заключается в следующем:

1) приводим формулу к нормальной форме;

129. в формуле, приведенной к нормальной форме, выделяем переменные, которые входят в нее нерегулярно;

130. вместо всех нерегулярно входящих переменных и отри­цаний нерегулярно входящих переменных подставляем на всех местах, где они встречаются в нормальной форме, букву Л, т. е, подставляем Л вместо переменной или вместо отрицания пере­менной;

131. применяем правило замены по равносильностям (48), (48'), (50) и (50') ко всем подформулам получившейся формулы до тех пор, пока остаются поводы для его применения. В ре­зультате длина формулы будет сокращаться и могут появиться новые нерегулярно входящие переменные. С ними поступаем таким же образом, т. е. согласно пп. 3) и 4) Предусмотренные в пп. 2)—4) преобразования повторяем до тех пор, пока не по­лучим формулу, не содержащую нерегулярно входящих пере­менных;

5) рассматриваем следующие две формулы, которые полу- чаются из формулы, не содержащей нерегулярно входящих переменных, если:

а) вместо одной из регулярно входящих переменных на всех местах подставить букву И и применить правило раЁносильной замены согласно равносильностям (43), (47) —(50);

6) вместо той же самой переменной на всех местах подста- вить букву Л и применить правило равносильной замены со- гласно равносильностям (44), (47)—(50),

К формулам а) и б), если это возможно, снова применяем пп. 2)— 4), а затем согласно п. 5) из формул а) и б) получаем соответственно формулы аа), аб) и ба), бб) и т. д. до тех пор, пока не исчерпаем возможности применения пп. 2)—5).

Если в результате применения данной процедуры к произ­вольной формуле А все заключительные формулы будут И, то формула А тождественно-истинная, если же хотя бы одна за­ключительная формула есть Л, то формула А не тождественно-истинная.

Проиллюстрируем изложенное на следующих двух при­мерах.

1. Пусть дана формула, уже имеющая нормальную форму, (Pi A (~ р₂ V р₃ V (Р4 A (р₅ V (р₆ Л ~ Pi Л ~р₇))))) V

V (((~ р₆ Л ((р₈ Л р₉ Л ~ р₅) V (р₇ Л ~ р₈ Л ~ р₉))) V ~р,)Л

Л р2 Л ~ р₃).

Тождественно-истинная она или нет?

Нерегулярно входящей в этой формуле является только пе­ременная Р4- Подставляем вместо р₄ букву Л и, применив пра­вило замены сначала по равносильности (48'), а затем по рав­носильности (50), получаем формулу

(Pi А (~ р₂ V р₃)) V (((~ р₆ A ((р₈ Л р₉ Л ~ р₅) V

V (р₇ Л ~ Ре Л ~ р₉))) V ~ Pi) Л р₂ Л ~ р₃).

Теперь появилась новая нерегулярно входящая переменная р₆. Подставляем вместо ~ ре букву Л и применив правило за­мены по равносильности (48'), а затем по равносильности (50'), получаем формулу

(Pi А (~ р₂ V р₃)) V (~ Pi Л Рг Л ~ Рз),

в которой уже нет нерегулярно входящих переменных.

В соответствии с п. 5) подставляем вместо р\ буквы И. и Л и рассматриваем получившиеся формулы:

а) (ИЛ (~р₂ V р₃)) V (~ И Л Рг Л ~ Рз),

из которой согласно равносильностям (47'), (43), (48') и (50) получаем формулу

~Рг Vp₃

и

б) (Л Л (~ Рг V Рз)) V (~ Л Л Рг Л ~ рз).

из которой согласно равносильностям (48'), (44), (47') и (50')' получаем формулу

рг Л ~ Рз-

В формуле а) обе нерегулярно входящие переменные, после замены их буквой Л, дадут формулу Л. Этого достаточно, чтобы утверждать, что приведенная вначале формула не тож­дественно-истинная.

2. Пусть дана формула

^{(Р (<7 - г)) ((р - а) (р г)).}

Является ли она тождественно-истинной? Приведем ее к нормальной форме:

~ (~ Р V (~ q V г)) V (~ (~ р V a).V (~ р V г));

(~ ~ р Л ~ (~ <7 V г)) V (( Р Л ~ а) V ~ р V г);

(~~рЛ ~ ~<7 Л ~r) V (( рЛ ~<7) V ~pVr);

(рЛ?Л ~r) V((pA ~?)V ~pVr).

Здесь нет нерегулярно входящих переменных, поэтому вме­сто регулярно входящей переменной р согласно п. 5) подстав­ляем буквы И и Л и получаем формулы:

а) (ИЛ?Л~г)У(ИЛ~<7)У( И V г);

Л ~ г) V (~ q V г);

б) (Л Л <7 Л ~ /") V (Л Л ~ <7) V (~ Л V г).

Сразу находим, что формула б) равносильна И. Формула же а) порождает согласно п. 5), формулы аа) и аб):

аа) (HA~r)V~HVr; ~rVr,

которая при любых подстановках дает И и

аб) (ЛЛ~г)У~ЛЛ/г,

которая равносильна И.

Так как все заключительные формулы — И, то исходная фор­мула тождественно-истинная.

Упражнение:

Применив разрешающую процедуру к следующим формулам, установить,

являются они тождественно-истинными, тождественно-ложными или ней­тральными:

132. р->(<7->(р Л ?));

133. р Л (~ р V q);

134. (рЛ<7)~ (Р -*~Я)'>

135. ~(p->(pV?));

136. (p^q)-> ((q «->»-> (р ч-> г));

137. ~((р->(<7-0-<7))->(Р->»■))•