I. Построить, если возможно, формулы, двойственные следующим:

I. (р •*-*■ q) ->■ ((q -Фг) А (р V г));

2- (((pAq)Vr)A4*-+(((p Vq)Ar) V s); 3. ~ ((р -Ф q) (~ р-Ф~ q)).

II. Используя равносильности (10), (11), (33) и (34), обосновать следую- щее соотношение: ~А* равносильно A'_s где А* и А' означают то же, что иа с. 234—235.

Ш. Установить, какие из следующих логических знаков^ ■<-, -f>, *f-, t я I образуют двойственные napH_s

§ 9. Тождественно-истинные и тождествеиио-ложиые формулы

До сих пор мы имели дело с формулами, которые при одних логических значениях своих переменных были истинными, а при других — ложными. Но существуют формулы, которые при лю­бых наборах логических значений переменных получают в за­ключительном столбце таблицы логическое значение «истина». Такие формулы называют тождественно-истинными формулами или логическими тождествами.

Рассмотрим, например, формулу

Р-+Р

и построим ее таблицу:

р	р-*р
и	и
л	и

Мы видим, что независимо от того, принимает пропозицио­нальная переменная р значение «истина» или «ложь», формула р-*- р имеет значение «истина». Так, высказывания Если Ленин-град большой город, то Ленинград большой город; Если сегодня пасмурный день, то сегодня пасмурный день и Если 12 простое число, то 12 простое число — истинны независимо от того ис­тинно или ложно фактически, что Ленинград большой город и сегодня пасмурный день, и является ли действительно 12 про­стым числом.

Построим теперь для формулы

р V ~р

ее таблицу:

р	~р.	pV ~р
и	1 л	и
л	1 и	в

Мы видим, что независимо от того, принимает переменная р значения «истина» или «ложь», формула р У ~р имеет значение «истина». Например, высказывания Волга впадает в Каспийское море или Волга не впадает в Каспийское море; 12 делится на 5 без остатка, или неверно, что 12 делится на 5 без остатка — истинны независимо от того, впадает Волга в Каспийское море и делится ли 12 на 5 без остатка.

Каждая тождественно-истинная формула выражает какой-то логический закон. Формула р->р есть известный логический закон тождества, а формула рХ/^р— закон исклю­ченного третьего (закон исключенного среднею)

Рассмотрим еще два примера тождественно-истинных фор­мул. Формула

р-*(<7-*р)

имеет таблицу:

р	Я	<7->Р	Р->(<7-> р)
и	и	и	и
л	и	л	и
и	л	и	и
л	л	и	и

а формула

{(p-*q)/\(q-*r))-*{p-*r)

(закон гипотетического с и л л о г и з м а)— таблицу:

р	я	г	Р-+Я	<7->г	(Р -> Я) Л (Я -> г)		((р-><7)Л (?->/•)) ->(Р-*/-)
и	и	и	и	и	и	и	и
л	я	и	и	и	и	и	и
и	л	и	л	и	л	и	и
л	л	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л	и
л	и	л	и	л	л	и	и
и	л	л	л	и	л	л	и
л	л	л	и	и	и	и	и

Таким образом, существуют формулы, которые истинны при любых логических значениях своих переменных. Ясно, что все тождественно-истинные формулы равносильны друг другу. По­скольку соответствующие этим формулам сложные высказыва­ния истинны при любом конкретном содержании и независимо от фактической истинности элементарных высказываний, из ко­торых они состоят, говорят, что они являются аналитически или логически истинными в ыс к а з ы в а н и я м и. Тож­дественно-истинные формулы и соответствующие конкретные высказывания всегда истинны потому, что в их логической структуре (логической форме) отражаются объективные связи, которые носят общий и закономерный характер.

Существуют также формулы, которые при любых наборах логических значений переменных получают в заключительном столбце своей таблицы логическое значение «ложь», Они называются то ж деств ен н о-ложными "(п р о т и в о р е ч h^j в ы м и) формулами.

Рассмотрим, например, формулу

РЛ~Р,

которая имеет таблицу:

р	~р	рл ~р
и	л	л
л	и	л

Так, высказывания Ленинград расположен в дельте Невы а неверно, что Ленинград расположен в дельте Невы; Этот лист бумаги белый и неверно, что этот лист бумаги белый; 2—про­стое число и неверно, что 2—простое число — ложны незави­симо от того, где расположен Ленинград, каков цвет данного листа бумаги и считается ли 2 простым числом.

Рассмотрим далее формулы

р ч-> ~ р и ~PA~(~pVq),

которые имеют таблицы:

		р	~р	Р -*—>. л/ р
		и	л	Л
		л	и	Л
р	Q	~ р	~pV q	~(~pVq)	~рЛ ~ (~ pV?)
и	и	л	и	л	л
л	н	и	и	л	д
и	л	л	л	и	л
л	л	и	и	Л	л

Например, высказывания Он умеет играть в шахматы, если и только если неверно, что он умеет играть в шахматы и Не­верно, что это число четное и неверно, что это число не является четным или оно делится на 3 — ложны независимо от того, умеет тот, о ком идет речь, играть в шахматы и делится ли данное число на 2 и на 3.

Ясно, что все тождественно-ложные формулы равносильны ДРУ^Г другу. Отрицание тождественно-истинной формулы есть тождественно-ложная формула, и наоборот. Так, если формулы pV"-P и ~(рЛ~р) тождественно-истинны, то формулы s~ (pV ~ р) и л>~(рЛ ~ р) тождественно-ложны.

Если теперь мы обозначим заглавной буквой И формулу, которая тождественно-истинна, а заглавной буквой Л формулу, которая тождественно-ложна, то будут иметь место следующие равносильности:

~и	равносильно	Л;	(43)
~ л	равносильно	. И	(44)
	равносильно	А-	(45)
А*-»-Л	равносильно	-А	(46)
АЛИ	равносильно	А	(47)
ИЛА	равносильно	А	(4Г)
АЛЛ	равносильно	Л	; (48)
ЛЛА	равносильно	Л	(48')
А V И	равносильно	И	(49)
И V А	равносильно	И	(490
Л V А	равносильно	А	(50)
Л V А	равносильно	А. (50')

Ясно, что если формула А тождественно-истинна (тождест­венно-ложна), то любая ее таблица с любым перечнем пропози­циональных переменных Ei, Е₂, ..., Е„ во всех строках заклю­чительного столбца будет иметь значение «истина» («ложь»).

Знание о том, что какие-то формулы тождественно-истинны, позволяет судить о тождественной истинности других формул. Например, можно доказать следующую теорему.

Теорема. Если формулы А -* В и В -* С тождественно-истинны, то тождественно-истинна формула А -> С.

Доказательство. Пусть E_t, Е₂, Е„ перечень всех, пропозициональных переменных, входящих в А, В и С. Построим таблицы формул А->В, В->С и А-*-С с данным перечнем пе­ременных. Предположим теперь, что формула А->С не тожде­ственно-истинна и при некотором наборе логических значений переменных Е_ь Е₂, ..., Е„ получает в заключительном столбце своей таблицы логическое значение «ложь». Ясно, что при дан­ных значениях переменных формула А — истинна, а формула С — ложна. Но тогда, если при этом же наборе логических значений переменных формула В истинна, то ложна формула В->С, а если формула В ложна, то ложна формула А->В. Одно и другое противоречит условиям теоремы, и, следова­тельно, формула А—>С тождественно-истинна.

Докажем, наконец, следующую теорему.

Теорема. А равносильно В тогда и только тогда, когда формула А В тождественно-истинна^

Доказательство. Пусть А равносильно В. Тогда, если при некотором наборе логических значений переменных Е_ь Е₂, Е„ (где Еь Е₂, .... Е„ — совокупность всех переменных, входящих в А и В) формула А истинна, то формула В тоже истинна. Но в этом случае согласно таблице для эквивалентно­сти истинна и формула А •*-»■ В. Если же при некотором наборе логических значений Е_ь Е₂, .... Е„ формула А ложна, то В тоже ложна и согласно таблице для эквивалентности формула А *-* В истинна.

Обратно, пусть формула А В тождественно-истинна. Тог­да согласно равносильности (26) тождественно-истинны фор­мулы А-*В и В-+А. Если при некотором наборе логических значений Е_ь Е₂, Е„ формула А истинна, то согласно таб­лице для эквивалентности формула В не может быть ложной, так как в этом случае была ложна формула А-*- В. Если же при некотором наборе логических значений переменных формула А ложна, то формула В не может быть истинной, так как в этом случае была бы ложна формула В-+А. Таким образом, А рав­носильно В.

Упражнения:

I. Установить, какой из следующих четырех формул: А, ~А, И или Л равносильны формулы:

114. А-*И. »

115. А -> Л.

116. И -> А.

4. Л->А. Б. А И. 6. А -фЛ.

II. Доказать, что

117. если тождественно-истинны формулы А и А->В, то тождественно-истинна формула В;

118. если тождественно-истинны формулы А->В и А->~В. то тожде­ственно-истинна формула ~ А;

119. если тождественно-истинны формулы AVB, А->-С, B-»-D, то тожде­ственно-истинна формула С У D.

III. Построить такую формулу А, чтобы

1) формула

(р -> {Л -> ~ я)) -> ((р А я) V А)

была тождественно-истинной;

2) формула

i(~r V (р А ~ Я)) -> Л) А ~ (г А ((~ Я -> ~ Р) А А)) была тождественно-ложной.