Глава 1

ТАБЛИЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 1. Высказывания и формы высказываний

Высказыванием называют предложение, выражающее суждение. Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то о данном высказывании говорят, что оно истинно. Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Например, предложения: Ленинград — большой го­род; Все деревья — растения и Если 2<3, то 2+К.З+1 яв­ляются истинными высказываниями, а предложения Париж сто­лица Англии; Некоторые киты — рыбы и Если 7 простое число, то 7 четное число являются ложными высказываниями. Будем считать, что: а) всякое высказывание истинно или ложно и б) ни одно высказывание не является сразу истинным и лож­ным.

Истинность и ложность называют логическими, или истинностными, значениями высказываний. Если высказы­вание истинно, то говорят, что оно имеет логическое значение истина, а если высказывание ложно, то говорят, что оно имеет логическое значение ложь.

Слова: не; неверно, что; и; или; если..., то; тогда и только тогда, когда; либо ..., либо; несовместно; ни .... ни; не .... но; но, не и их ближайшие синонимы называют логическими союзами (связками), слова для всех ... имеет место, что; для некоторых ... имеет место, что и их ближайшие синонимы называют кванторами. Логические союзы и кванторы назы­вают логическими постоянными. Они служат для вы­ражения мыслей как в повседневных рассуждениях, так и в научных доказательствах. Логика занимается установлением точного смысла этих слов и общих законов их употребления.

Высказывания, не содержащие логических постоянных, на­зывают элементарными высказываниями. Ими яв­ляются, например, следующие предложения: (а) Аристотель—¹ воспитатель Александра Македонского; (б) Аристотель старше Александра Македонского: (в) 5<7 и (г) 5—четное число; элементарные высказывания (а), (б), (в) имеют логическое значение истина, а (г) — логическое значение ложь.

Высказывания, которые содержат логические постоянные, называют сложными высказываниями. Например, с помощью логического союза если..., то из элеметарных выска­зываний (а) и (б) можно образовать сложное высказывание; Если Аристотель — воспитатель Александра Македонского, то

Аристотель старше Александра Македонского, а из (в) и (г)'—* сложное высказывание: если 5 < 7, то 5 — четное число.

Сложные высказывания тоже истинны или ложны; так, пер­вое из приведенных выше сложных высказываний истинно, а второе — ложно. Логическое значение сложного высказывания зависит от логического значения высказываний, входящих в его состав. Например, когда логическим союзом если ..., то связы­вают истинные элементарные высказывания (а) и (б), полу­чают истинное сложное высказывание: Если (а), то (б), а когда тем же логическим союзом связывают истинное и ложное эле­ментарные высказывания (в) и (г), получают сложное высказы­вание Если (в), то (г), которое ложно. Но если те же самые истинные элементарные высказывания (а) и (б) связать логи­ческим союзом либо либо¹, то сложное высказывание Либо (а), либо (б) будет ложным. Если же истинное и ложное эле­ментарные высказывания (в) и (г) связать логическим союзом и, а затем перед получившимся сложным высказыванием поста­вить логический союз неверно, что, то высказывание Неверно, что (в) и (г) будет истинным сложным высказыванием. Таким образом, логическое значение сложного высказывания опреде­ляется логическим значением входящих в его состав элементар­ных высказываний и теми логическими постоянными, с помощью которых оно построено.

Рассмотрим теперь неполные высказывания ... — человек, ... есть простое число и т. п. Если в эти неполные высказывания вместо точек подставлять единичные термины (собственные имена, описания отдельных предметов и пр.), то будут полу­чаться истинные и ложные высказывания. Так, если в первом из них точки заменить собственным именем Сократ, а во вто­ром— цифрой 5, то неполные высказывания превратятся в истин­ные элементарные высказывания Сократ — человек и 5 есть простое число. Если же в первом из них точки заменить собст­венным именем Жучка, а во втором — цифрой 6, то они превра­тятся в ложные элементарные высказывания Жучка — человек и 6 есть простое число.

Вместо точек для указания тех пробелов в неполных выска­зываниях, при заполнении которых они превращаются в выска­зывания, мы будем употреблять буквы х, у, г, ..., которые на­зывают предметными переменными, и писать х—че­ловек, у есть простое число и т. д. Неполные высказывания, которые содержат предметные переменные, называют форма­ми высказываний..

Формы высказываний х—человек, у есть простое число вы­ражают не суждения, а условия, которым одни объекты удов­летворяют, а другие нет. С помощью каждой из таких форм

' Этот союз употребляется здесь в смысле: либо одно, либо другое, но не то и другое вместе.

можно определить класс предметов, для которых выполняется выражающееся в них условие. Если термин, обозначающий предмет, при подстановке вместо предметной переменной дает истинное высказывание, то предмет принадлежит данному классу, если же при такой подстановке получают ложное вы­сказывание, то —не принадлежит. Например, с помощью формы высказывания х— человек из множества всех живых существ можно выделить кла'сс таких, которые обладают свойством быть человеком, а с помощью формы высказывания у есть простое число из множества целых положительных чисел можно выде­лить класс чисел, обладающих свойством быть простым числом.

Существуют формы высказываний с двумя предметными переменными (с двумя пробелами); например, х старше у

(...старше ); х> у (. ..> ) и т. п. Если вместо всех

предметных переменных (мест, отмеченных точками и черточка­ми) подставить единичные термины, то получим истинные или ложные высказывания. Если в первом примере вместо х и у подставить собственные имена Маяковский и Есенин, а во вто­ром примере — цифры 3 и 2, то получим истинные высказывания Маяковский старше Есенина и 3>2. Если же в этих примерах вместо х и у подставить соответственно Есенин и Маяковский, 2 и 3, то получим ложные высказывания Есенин старше Маяков­ского и 2>3.

Формы высказываний с двумя предметными переменными выражают условия, которым одни упорядоченные пары объектов удовлетворяют, а другие — не удовлетворяют. С помощью каж­дой из них можно определить класс упорядоченных пар объек­тов, связанных соответствующим отношением. Например, с помощью формы высказывания х старше у из множества всех людей можно выделить класс упорядоченных пар, которые свя­заны отношением старше, а с помощью формы высказывания х > у из множества рациональных чисел выделить класс упоря­доченных пар, находящихся в отношении >. Существуют фор­мы высказываний с тремя, четырьмя и большим числом пред­метных переменных. Например, по три предметных переменных содержат формы высказываний х находится между у и z, г есть сумма чисел х и у и т. п. Из первой истинное высказывание получается при подстановке вместо х, у и г соответственно соб­ственных имен Бологое, Ленинград, Москва, а из второго при подстановке цифр 2, 3, 5. Формы высказываний с тремя и боль­шим числом предметных переменных выражают условия, кото­рым удовлетворяют одни тройки, четверки и т. д. предметов и не удовлетворяют другие, они определяют классы упорядо­ченных троек, четверок и т. д. предметов.

Если в форме высказывания, содержащей несколько пред­метных переменных, осуществить подстановку только для одной из них, то получится форма высказывания с меньшим числом предметных переменных. Например, форма высказывания х сов* ременник у после подстановки вместо предметной переменной у собственного имени Пушкин превращается в форму высказыва­ния х современник Пушкина.

С помощью логических союзов формы высказывания можно связывать как друг с другом, так и с высказываниями, напри­мер, формы высказываний х > у, y~>z можно связать логиче­ским союзом и, в результате получим сложную форму выска­зываний х> у и y>z. Она выражает новое условие, которому удовлетворяют одни тройки чисел, и. не удовлетворяют другие.

Одна и та же предметная переменная может входить в форму высказывания два, три и большее число раз. Например, пере­менная у входит в форму высказывания х > у и у ~> г дважды. Осуществляя подстановку, необходимо следить за тем, чтобы вместо одной и той же предметной переменной на всех местах, где она входит в данную форму высказывания, подставлялось од­но и то же собственное имя. Например, из формы высказывания х> у и у > г в результате подстановки можно получить истин­ное высказывание 5 ><?«<?> 2, но нельзя получить высказыва­ния 5>4 и 3>2.

Итак, в результате подстановки единичных терминов вместо всех предметных переменных форма высказывания превра­щается в истинное или ложное высказывание. Но формы выска­зываний могут превращаться в высказывания и в результате присоединения к ним кванторов. Если, например, перед формой высказывания Если х — металл, то х проводит электричество, содержащей единственную предметную переменную х, поставить квантор для всех ... имеет место, что, с указанием, что он отно­сится к этой переменной, то форма высказывания превратится в истинное высказывание Для всех х имеет место, что если х — металл, то х проводит электричество. Сходным образом, поста­вив перед формой высказывания х — простое число и х > 10¹⁰, квантор для некоторых ... имеет место, что с переменной х по­лучаем истинное высказывание Для некоторых х имеет место, что х —простое число и х > 10¹⁰.

Кванторы «связывают» предметные переменные в том смыс­ле, что вместо переменной, находящейся в области действия квантора, нельзя уже больше подставлять единичные термины. Если с помощью кванторов «связать» все переменные, содержа­щиеся в данной форме высказывания, то образуется истинное или ложное высказывание.