§ 39. Аксиоматический метод

Развитие дедуктивных методов построения научных теорий тесно связано с аксиоматическим методом. Эта связь настолько тесная, что часто термины «дедуктивный метод» и «аксиомати­ческий метод» рассматривают как синонимичные, что не совсем точно. Сближение этих терминов имеет исторические основания, когда образцом дедуктивно построенной считалась аксиомати­зированная геометрия Эвклида, а остальные науки стремились с большим или меньшим успехом походить на нее. В настоящее время широкое распространение в логике получила теория на­турального вывода, являющаяся особой формой дедуктивных доказательств, в которой формализуются некоторые стороны обычных рассуждений. Однако значение аксиоматического ме­тода не уменьшилось, и он с известным успехом получает рас­пространение в теоретических разделах ряда естественных наук, например в биологии, квантовой механике и др.

Для понимания сущности аксиоматического метода следует обратить внимание на то обстоятельство, что в достаточно раз* витой научной теории всегда можно найти группу понятий, кото­рые используются для определения других понятий этой теории, Это так называемые фундаментальные понятия данной теории, значение которых полагается известным и в данной теории не требующим определений. Например, в механике Ньютона таким понятием будет понятие силы, в геометрии Эвклида — понятия точки, прямой, плоскости. В дедуктивных теориях они назы­ваются первичными понятиями теории.

Сходную зависимость можно обнаружить и между утвержде­ниями, в которых заключено научное содержание теории. Среди них можно найти такие высказывания, истинность которых слу­жит обоснованием истинности ряда других высказываний, что также дает право рассматривать их как фундаментальные или первичные утверждения данной теории, разумеется, только от­носительно ряда производных от них утверждений. Их примером могут служить научные законы, из которых как следствия по­лучают более частные положения. Учитывая эту особенность законов, в физике используют так называемый метод принципов для построения физической теории, т. е. по правилам дедукции извлекают из принципов утверждения о свойствах реальных физических объектов.

При аксиоматическом методе естественно складывающаяся зависимость одних понятий и утверждений от других получает свое развитие и становится принципом построения теории.

В общем случае построение осуществляется следующим образом: прежде всего выбирают некоторое число исходных понятий без объяснения их смысла, полагая его известным. В дальнейшем эти понятия используются для определения всех других понятий, которые необходимо будет ввести в теорию по мере ее развития. Эти последние называются определяемыми понятиями данной теории. Вводя новые понятия, строго следуют правилу, что ни одно понятие не может быть употреблено в теории без предварительного его определения с помощью пер­вичных понятий или тех, которые раньше уже были определены в теории. Итак, никаких других понятий, кроме первичных и определяемых, аксиоматическая теория не содержит.

Подобным же образом поступают и в отношении выражений теории, которую хотят аксиоматизировать. Некоторое их число выбирается в качестве первичных или аксиом. Истинность аксиом полагается известной и в пределах данной теории никак не устанавливается. Никакое другое утверждение не может быть введено в теорию, если его истинность не установлена на основе имеющихся аксиом и прежде доказанных утверждений. В отличие от аксиом, доказываемые утверждения теории назы­вают теоремами. Итак, никаких других утверждений, кроме аксиом и теорем, аксиоматизированная теория не содержит.

Аксиомы и первичные, понятия образуют базис теории. Сле­дует обратить внимание на то, что, хотя первичные понятия могут быть введены особым списком, они, как правило, появ­ляются внутри аксиом, т. е. те понятия, из которых состоят аксиомы, как правило, являются первичными. Отмечая это об­стоятельство, иногда говорят, что система аксиом является не­явным определением первичных понятий теории.

Выбирая список первичных понятий, следует иметь в виду, что их должно быть достаточно для определения всех необхо­димых для развития теории понятий.

При выборе аксиом стремятся, чтобы их список не был слиш­ком обширным, а сами они были структурно простыми выраже­ниями. Иногда в списке аксиом данной теории может находиться всего лишь одна аксиома.

Очевидно, что одних только аксиом, первичных понятий и определений недостаточно для того, чтобы начать получать в теории новые утверждения или доказывать уже известные тео­ремы. Для этого необходимо знать принципы, позволяющие совершать указанные операции. Поэтому очередным шагом после выбора аксиом и первичных терминов является введение правил доказательства. Обычно число их невелико, а содержа­ние несложно. Оно состоит в указании операций, с, помощью которых можно доказать любое истинное в данной теории ут­верждение, а также в их описании. Только после того, как введены правила, аксиоматизация теории заканчивается, и можно приступать к доказательству теорем и выведению новых утверждений.

Аксиоматизация научных теорий имеет большую познава­тельную ценность. Она позволяет эффективно и на строго логи­ческой основе решать проблему истинности положений теории как проблему их доказуемости. Действительно, при соблюдении всех правил доказательства имеется полная гарантия, что из истинных аксиом мы получим в качестве следствий новые истин­ные положения теории.

Наконец, вопрос о том, принадлежит ли некоторое содержа­тельное истинное положение к данной теории, с точки зрения аксиоматизации решается как вопрос доказуемости его логиче­скими средствами данной теории: в случае доказуемости оно необходимо принадлежит этой теории.

При аксиоматизации теории, как правило, сохраняется боль­шая свобода выбора как числа аксиом, так и конкретных поло­жений. Это же касается и первичных понятий. Одна и та же теория может иметь различную аксиоматику. Однако эта свобода не имеет ничего общего с субъективным произволом и конвенционализмом, так как в своей основе она есть выражение творческого характера познания и способствует наиболее эф­фективному решению творческих задач.

Недоказуемость аксиом в пределах данной теории также не свидетельствует в пользу произвольного характера их истинно­сти. Аксиоматизация научной теории, как правило, становится возможной лишь тогда, когда в ней уже установлены и провере­ны практикой многие положения, и некоторые из них становятся аксиомами. Следует обратить внимание на тот факт, что аксио­мы фиксируют наиболее общие и, следовательно, важные отно­шения между понятиями теории и поэтому в содержательном аспекте им могут соответствовать наиболее важные, фундамен­тальные положения.

Не следует забывать, что аксиоматизированная теория не существует особняком, вне системы научного знания, она соот­носится с другими теориями или входит в состав более широких, в которых ее аксиомы могут быть доказаны, как теоремы, а , исходные понятия — определяемыми. Наконец, истинность ак­сиом, правильность аксиоматизации вообще обосновываются практической приложимостью всей системы в целом и ее содер­жательной интерпретацией.

Аксиоматический метод построения научных теорий особенно плодотворно проявил себя в логике и математике. С изменением характера этих дисциплин, особенно логики, менялся и сам аксиоматический метод. Особое значение имело развитие фор­мальных методов в этих науках, которое изменило представле­ние об аксиоматизации и ее возможностях.

В истории аксиоматического метода можно выделить два этапа: этап «содержательной» аксиоматики и этап формализо­ванной аксиоматики.

«Содержательная* аксиоматизация характеризуется тем, что ведущим является ориентация на конкретное содержание аксио­матизируемой теории. Она проявляется в том, что формально­логическая сторона метода оставалась незамеченной в контексте содержательных установок, главные из которых: требование интуитивных критериев истинности для аксиом, ясности для пер­вичных понятий и убедительности для доказательства. Поэтому доказательство даже в пределах одной теории имело характер каждый раз заново воссоздаваемого процесса, зависевшего в значительной степени от содержания теорем, подлежащих дока­зательству. В нем имелись невыявленные посылки и пропущен­ные звенья. Тем не менее такое логически несовершенное дока­зательство было вполне удовлетворительным, если обладало убедительностью. Зависимость от субъективно-психологических предпосылок существенно снижала ценность аксиоматического метода и порождала "ряд трудных проблем, например проблему парадоксов. Примером содержательно аксиоматизированной теории является упоминавшаяся ранее геометрия Эвклида. Она характеризуется невыявленностью логического аппарата теории в виде сформулирования тех общих правил, которые определяют ход умозаключений, стремлением дать интуитивное определение первичным понятиям, господством наглядности как выражением стремления сделать доказательство убедительным.

Теоретическое несовершенство метода «содержательной» аксиоматики, ставшее очевидным к концу XIX в., привело к попыткам переосмыслить его сущность на базе новых достижений математической логики. Аксиоматический метод тесно связы­вается с идеей формализованных языков и пониманием доказа­тельства как формальной процедуры.

Формализованные языки суть такие системы символов, кото­рые характеризуются строго однозначным описанием словаря (т. е. элементов этого языка) и наличием особых структурных правил, называемых синтаксисом, относительно составления осмысленных выражений из элементов этого языка. Особен­ностью синтаксических правил является то, что благодаря им только по внешнему виду выражения можно определить, является ли оно осмысленным в данном языке или нет. В том случае, если его построение произведено в соответствии с правилами син­таксиса, но является осмысленным. Таким образом, обращаться к содержательным критериям осмысленности нет необходимости.

Аксиоматизация на почве формализованного языка состоит теперь в том, что в качестве аксиом выбирают некоторые пра­вильные выражения, их принимают в качестве истинных, а за­тем по точно сформулированным правилам формального дока­зательства, путем преобразования одних правильных выраже­ний в другие получают следствия из аксиом.

Для формализованных аксиоматических систем лишен смысла вопрос об их конкретном содержании. Является ли эта теория формализованной арифметикой, или геометрией, или какой-то иной дисциплиной решается посредством интерпрета­ции. В общем смысле интерпретация — это приведение пра­вильных выражений формализованной аксиоматической систе­мы во взаимно-однозначное соответствие истинным выражениям какой-нибудь содержательной теории. Если такое соответствие между элементами аксиоматизированной системы и элементами содержательной теории найдено, формализованная теория по­лучает подтверждение, а ее выражение приобретают содержа­тельный характер.

Система аксиом, определения и правила вывода аксиомати­зированной системы должны удовлетворять ряду методологиче­ских условий. Для правил вывода они сводятся к требованию строгой и однозначной формулировки, а также к требованию достаточности. Для определений важны два требования: устра­нимости и непротиворечивости.

Смысл требования устранимости определений сводится к тому, что всякое выражение теории, содержащее определяемое понятие, может быть заменено эквивалентным ему выражением, в котором это понятие отсутствуем но зато содержатся только первичные понятия теории.

Если введение определений и определяемых понятий не приводит к возникновению противоречий в теории, т. е. к ситуации, когда в ней становятся выводами как утверждение А, так и утверждение не-А, то они отвечают требованию непротиво­речивости. Аксиоматическая система должна быть непротиво­речивой, полной и независимой.

Система аксиом какой-нибудь теории является непротиворе­чивой, если из нее в соответствии с принятыми правилами нельзя вывести двух утверждений, одно из которых было бы отрицанием другого. Это — важнейший постулат, в зависимости от которого решается вопрос о ценности аксиоматизированной системы. Оче­видно, что система аксиом, приводящая к противоречиям, не обладает ценностью.

Полнота системы аксиом означает, что при данных правилах принятых аксиом достаточно, чтобы на их основе доказать или опровергнуть любое выражение, которое можно сформулировать на языке теории, к которой принадлежит эта система аксиом. Это тоже важное требование, однако, несмотря на его кажу­щуюся естественность, существуют теоретически важные непол­ные системы, например арифметика натуральных чисел.

Независимость аксиом — наименее важное из перечисленных требований; она заключается в том, что аксиомы должны под­бираться так, чтобы ни одна из них не была следствием из ка­кого-либо числа остальных аксиом. В противном случае, такая аксиома является просто теоремой и подлежит устранению из аксиоматического списка. Реализация принципа независимости существенно упрощает процесс доказательства и делает его бо­лее строгим.