- •Формальная логика
- •Издательство Ленинградского университета Ленинград 1977 Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Ленинградского университета
- •Рецензенты: рроф. А. В. Дроздов и кафедра философии Ленинградского педагогического института имени а. И. Герцена
- •§ 1. Марксистская философия о мышлении
- •§ 2. Мышление и язык
- •§ 3. Определение формальной логики
- •1 Слово «некоторые» употребляется в логике не в смысле «только некоторые», а в смысле «некоторые, а может быть и все».
- •2 Слово «предмет» употребляется в логике в том смысле, что вообще может служить объектом нашего рассуждения, размышления,
- •1) Все цветы суть растения. Все тюльпаны суть цветы.
- •2) Все материалисты в философии суть атеисты. Все марксисты суть материалисты в философии.
- •8 В изучении логических структур очень важно приобретение навыков в решении логических задач. С этой целью рекомендуется' книга проф. А.. И. Уемова «Упражнения и задачи по логике», м., 1961,
- •§ 4. Логика и психология
- •§ 5. Из истории логики
- •6 Маркс к. Н Энгельс ф. Соч., т. 20, с. 138.
- •§ 6. Практическое значение формальной логики
- •§ 7. Структура формальной логики
- •Основные логические формы и методы мышления
- •Глава I понятие § 8. Об определении и структуре понятия
- •1 Есть мысленное отражение в форме непосредственного единства общих существенных признаков предметов.
- •7 Слово «понятие» многозначно, мы его будем употреблять лишь в указанном смысле.
- •§ 9. Основные методы образования понятий
- •§ 10. Соотношение между содержанием и объемом понятия
- •§ 11. Виды понятии
- •§ 12. Формально-логические отношения между понятиями по содержанию и по объему
- •§ 13. Обобщение и ограничение понятий
- •Суждение
- •§ 14. Сущность суждения и его строение
- •§ 15. Суждение и предложение
- •§ 16. Суждение и вопрос
- •13 В риторических вопросах по существу иет места неопределённости; они имеют смысл в качестве категорических суждений.
- •§ 17. Деление суждений по качеству и количеству
- •14 В таких эпистемических требованиях фиксируется неполнота знания о некотором предмете и содержится команда дополнить знания недостающими сведениями о нем.
- •§ 18. Объединенная классификация суждений по качеству и количеству
- •§ 19. Распределенность терминов в категорических суждениях
- •§ 20. Отношения между суждениями
- •§ 21. Деление суждений по модальности
- •§ 22. Сложные суждения
- •Глава III
- •§ 23. Общие замечания
- •§ 24. Закон тождества
- •17 Л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т. 29, с. 233.
- •18 Маркс к. ИЭнгельс ф. Соч., т. 20, с. 530.
- •§ 25» Закон противоречия
- •§ 26. .Закон исключенного третьего '
- •21 Л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т. 11, с. 246,
- •§ 27. Закон достаточного основания
- •Глава IV
- •§ 28. Определение умозаключения
- •Б) 1. Стекло прозрачно. 2. Алмаз не стекло.
- •3. Алмаз непрозрачен.
- •1) Без нагревания металла нет его трения.
- •2) Всякий нагревающийся металл есть расширяющийся. Всякий металл, подвергающийся трению, есть нагревающийся.
- •3) Если металл нагревается, то он расширяется.
- •§ 29. Непосредственные умозаключения
- •2) Если сужение е истинно, то суждение о той же материи —
- •3) Если суждение о ложно, то суждение е той же материи—ложно. Суждение о «Некоторые приматы ие млекопитающие» — ложно.
- •4) Если суждение / ложно, то суждение а той же материи тоже
- •2) Если дано суждение s е р, то дано неявно суждение не-р t s Дано суждение s е р «Ни одна птица не есть млекопитающее»
- •§ 30. Простой категорический силлогизм
- •3) Если дано суждение s о р, то неявно дано суждение не-р I s Дано суждение s о р «Некоторые рыбы не летают».
- •§ 31. Сокращенные, сложные и сложносокращенные категорические силлогизмы
- •§ 32. Условные, разделительные и условно-разделительные силлогизмы
- •1) Если а, то в. 2) Если а, то в.
- •§ 33. Индуктивные умозаключения
- •5„ Есть р
- •См.: л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т. 29, с. 162.
- •24 П а в л о в и. П. Поли. Собр. Соч., т. 11. М., 1946, с. 357.
- •§ 34. Аналогия
- •31 См.: Леви-Брюль л. Сверхъестественное в первобытном мышлении. М., 1937, с. 44—45.
- •32 См.: Жданов ю. А. Очерки методологии органической химии. М., 1960, с. 227.
- •33 Крупская н. К. Как Ленин работал над Марксом. М., 1933, с. 8,
- •Глава V
- •§ 35. Методы классификации объектов исследования
- •40 Л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т. 4, с. 76.
- •42 Маркс к. И Энгельс ф. Соч. Т. 20, с. 13—14. V
- •§ 37. Доказательство
- •§ 38. Доказательство (продолжение: паралогизмы, софизмы и парадоксы)
- •43 Карийский м. И. Отрывок из литографированного издания «Ло- гика», 1884—1885 г. — в кн.: Избр. Труды русских логиков XIX в. М., 1956, с. 183.
- •44 Аристотель. Аналнтнкн. М., 1952, с. 180.
- •§ 39. Аксиоматический метод
- •§ 40. Индуктивные методы установления причинной связи явлений
- •45 Маркс к. ИЭнгельс ф. Соч., т. 20, с. 544.
- •46 Об этом см., например; Маркс к. И Энгельс ф. Соч., т, 20, с 544.
- •47 Л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т. 10, с. 165.
- •48 Л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т. 18, с. 160.
- •Наблюдаемые случаи Предшествующие обстоятельства, при которых наступает интересующее явление Исследуемое явление
- •§ 41. Гипотеза
- •49 Маркс к- иЭнгельсФ. Соч., т. 20, с. 555.
- •60 Л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т, 29, с, 195.
- •§ 42. Вероятностные методы в логике
- •62 Л е н и н в. И. Поли. Собр. Соч., т. 1, с. 136.
- •Часть вторая символическая логика
- •Глава 1
- •§ 1. Высказывания и формы высказываний
- •§ 2. Язык логики высказываний
- •1 От propositio (лат.) — высказывание: логику высказываний называют, также пропозициональной логикой.
- •CeNpqApKrNs
- •§ 3. Семантика логических знаков
- •Отрицание
- •Дизъюнкция
- •Импликация
- •Эквивалентность
- •Исключающая дизъюнкция
- •§ 4. Таблицы формул логики высказываний
- •§ 5. Равносильные формулы
- •I. Установить частным случаем какой из равносильностей (I)—(22) являются следующие пары формул:
- •II. С помощью таблиц обосновать следующие равносильности:
- •III. Проверить, являются ли равносильными следующие формулы:
- •§ 6. Правило равносильной замены
- •I. Пользуясь одним только свойством транзитивности отношения равносильности с помощью (1)—(22), доказать равносильность следующих формул:
- •II. Используя (1)—(27) и правило замены, доказать следующие равносильности:
- •§ 7. Полные системы логических знаков
- •III. Показать, что знака | достаточно для построения формулы, опреде- ляющей произвольную логическую функцию.
- •I. Построить, если возможно, формулы, двойственные следующим:
- •§ 9. Тождественно-истинные и тождествеиио-ложиые формулы
- •Глава II
- •§11. Проблема разрешения
- •§ 12, Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма
- •II. Привести к скнф следующие формулы:
- •§ 15. Логическое следование и логические следствия
- •3 См.: Гильберт д. И Аккерман в. Основы теоретической логики. М., 1947, с. 47,
- •I. Выяснить верно ли, что
- •§ 14. Сокращенная конъюнктивная нормальная форма
- •II. Используя условия из примера 2 (с. 257), узнать, кто совершил по- ступок, если известно, что только одно из этих утверждений ложно.
- •III. Методом приведения к совершеииой кнф решить следующую задачу.
- •§ 15. Дизъюнктивные нормальные формы
- •Глава III
- •§ 16. Понятие логического вывода
- •6 Ленин в, и, Поли, собр. Соч., т. 29, с, 172.
- •K делит m или п.
- •§ 17. Производные правила
- •§ 18. Чисто прямое доказательство
- •§19. Слабое косвенное доказательство
- •§ 20. Квазисильное косвенное доказательство
- •17 Mclus tollendo ponens (лат.) — способ утверждения посредством отрицания.
- •§ 21. Сильное (классическое) косвенное доказательство
- •19 Они рассматриваются ниже в § 21.
- •§ 22. Полнота классического исчисления высказываний
- •28 См. Выше, с. 289.
- •§ 23. Аксиоматическое представление логики высказываний
- •Глава IV
- •42 Полужирные прямые буквы s, р, м здесь и в дальнейшем используются в качестве метапеременных для силлогистических переменных.
- •Глава V
- •46 Отсюда и название этих переменных. В дальнейшем мы обычно опу- скаем прилагательное «предметная» («индивидная») перед существительным «переменная», если не возникает недоразумений.
- •47 Формулы логики высказываний называют также пропозициональными формулами.
- •48 Ниже в определении в дальнейшем мы обычно опускаем прилагатель- ное «предикатная» перед существительным «формула», когда из контекста ясно, о каких формулах идет речь.
- •Р, Fx, Gx, Rxy, Sxx, Uxyz.
- •Часть II. Зх —a-*—VxA
- •Глава VI
- •I. Показать, что в системе м° (или ее натуральном варианте) доказуема формула вида
- •II. Доказать в системе м (или ее натуральном варианте) следующие формулы:
- •III. Показать, что системы м° и Af' дополняют друг друга до Ма в сле- дующем смысле: присоединив к системе м в качестве аксиом формул вида
- •§ 1. Марксистская философия о мышлении —
- •Часть вторая
2) Если сужение е истинно, то суждение о той же материи —
истинно.
Суждение Е «Ни одна империалистическая война не является справедливой» — истинно.
Суждение О «Некоторые империалистические войны несправедливы» — истинно.
3) Если суждение о ложно, то суждение е той же материи—ложно. Суждение о «Некоторые приматы ие млекопитающие» — ложно.
Суждение А «Все приматы ие млекопитающие» — ложно.
4) Если суждение / ложно, то суждение а той же материи тоже
ложно.
Суждение А «Во всех капиталистических государствах средства производства принадлежат всему народу» — ложно.
2. Умозаключение модальности. В основе этих умозаключений — отношение модальности суждений. При формулировании одной посылки таких умозаключений мы опираемся на одно из следующих положений:
что необходимо, то действительно;
что необходимо, то возможно;
что действительно, то возможно;
что невозможно, то не действительно;
что невозможно, то не необходимо;
что недействительно, то не необходимо.
Суждение / «В некоторых капиталистических государствах средства производства принадлежат" всему народу» — ложно.
Другой посылкой в таких умозаключениях является категорическое суждение, одинаковое по виду модальности с основа-нием первой посылки. Отсюда следующие схемы умозаключений!
1) S необходимо должно быть P-+S действительно есть Р. S необходимо должно быть Р.
S (действительно) есть Р.
2) S необходимо должно быть P->S может быть Р. S необходимо должно быть Р.
S может быть Р.
8) S не есть P-+S не необходимо должно быть Р. S не есть Р.
S не необходимо должно быть Р.
4) S есть P->S может быть Р. S есть Р.
S может быть Р.
Б) S не может быть P-*S не есть Р. S не может быть Р.
S не есть Р.
6) S не может быть P-*S не должно быть Р. S не может быть Р.
S не должно быть Р.
Примеры, соответствующие этим схемам:
1) S необходимо должно быть P->S действительно есть Р. Сумма углов треугольника (S) необходимо должна быть рав- ной двум прямым углам (Р).
Сумма углов треугольника действительно равна двум прямым углам.
2) $ необходимо должно быть P-*-S может быть Р.
Сумма углов треугольника S необходимо должна быть равной двум прямым углам (Р).
Сумма углов треугольника может быть равной двум прямым углам.
3) S не есть P->S не необходимо должно быть Р. • Число жителей данного города (S) не равно миллиону (Р).
Число жителей данного города не необходимо должно быть равно миллиону.
4) S есть P->S может быть Р.-
Глагол может изменяться по временам.
Глагол (S) есть часть речи, изменяющаяся по временам.
5) S не может быть Р -> S не есть Р.
Растение (S) не может быть живущим без влаги (Р).
Растение не есть живущее без влаги.
• 6) S не может быть Р -> S не должно быть Р. Растение (S) не может жить без влаги.
Растение не должно жить без влаги.
3. Умозаключение превращения основано на изменении ка- чества суждения и на том факте, что истинным является утверж- дение о совместимости субъекта суждения либо с данным поня- тием Р, либо с противоречащим ему понятием не-Р. Это значит, что они основаны на следующих положениях, выражающих свойства противоречащих понятий: ,., -
а) S есть P-+S не есть не-Р;
б) S не есть P-*-S есть не-Р;
в) S есть He-P->-S не есть Р;
г) 5 не есть не-Р->-5 есть Р.
Отсюда схемы умозаключения превращения:
(1) S есть P-*-S не есть не-Р. S есть Р.
S не есть не-Р.
Пример:
S есть P->S не есть не-Р. Золото (S) есть металл (Р).
Золото ие есть не-металл.
(2) 5 не есть Р-»-5 есть не-Р. S не есть Р.
5 есть не-Р.
Пример:
S не есть P->S есть ие-Р. Золото (S) не есть жидкость (Р).
Золото есть ие жидкость.
(3) 5 есть не-Р -> 5 не есть Р. 5 есть не-Р.
S не есть Р.
Пример:
S есть не-Р -> S не есть Р. Ртуть (S) является нетвердой (Р).
Ртуть не является твердой.
(4) S не есть He-P-»-S есть Р. S не есть не-Р.
— S есть Р.
Пример:
S не есть не-Р -> S есть Р. Капиталисты не суть не-эксплуататоры.
Капиталисты суть эксплуататоры.
4. Умозаключение обращения основано на законе обращения суждений. В одной посылке этих умозаключений выражается зависимость между отношением субъекта к предикату и предиката к субъекту, т. е. зависимость между категорическими суждениями одинаковой материи, отличающимися местоположением ее частей — субъекта и предиката.
Другими словами, в ней утверждается одно из следующих соотношений:
S а Р-+Р i S;
S е Р^Р е S;
(3) S / Р-»Р i S,
где а является знаком общеутвердительного суждения, е—общеотрицательного, at — частноутвердительного.
При объемной интерпретации отношений субъекта и предиката в суждении в каждом из трех соотношений дается ответ на вопрос об отношении объема предиката к объекту субъекта \ в одном из трех видов категорических суждений: в суждениях А, £ и /.
Определенный ответ на вопрос об отношении предиката к субъекту в частноотрицательном суждении невозможен: утверждаемое в нем наличие части объема субъекта вне объема предиката совместимо с любой из трех возможных ситуаций: 1) с возможностью включения всего объема предиката в объем субъекта, 2) с возможностью включения только части объема предиката 1
j в объем субъекта и 3) с несовместимостью объемов субъекта и предиката. Наглядно представить это можно в виде соответствующих круговых схем, которые даны в главе о суждении.
Вторая посылка в умозаключениях обращения является утверждением о тождестве структуры некоторого конкретного суждения со структурой основания одного из вышеуказанных • соотношений. Отсюда следующие схемы этих умозаключений:
(\)SaP-+PiS (2)SeP-+PeS (3) S I P-»P i S S a P ^ S e P t S i P
P i S PeS ' P iS '
Примеры, соответствующие этим схемам:
(1) Если дано суждение S а Р, то дано неявно суждение Р I 8. Дано суждение S а Р «Все цветы — растения».
Дано неявно суждение PIS «Некоторые растения — цветы».
(2) Если дано суждение S е Р, то дано неявно суждение Р е S. Дано суждение S е Р «Ни одни прямоугольный треугольник
не равносторонний».
Дано неявно суждение Р е S «Ни одни равносторонний треугольник не прямоугольный».
(3) Если дано суждение S i Р, то дано неявно суждение Р i S. Дано суждение S i Р «Некоторые металлы не тонут в воде».
Дано неявно суждение «Некоторые не тонущие в воде вещества суть металлы».
5. Умозаключение противопоставления предикату. В умозаключениях данного вида заключениями являются суждения, отвечающие на вопрос об отношении понятия, противоречащего предикату, к субъекту исходного суждения. Они основаны, с одной стороны, на том, что из двух противоречащих понятий одно и только одно необходимо присуще любому субъекту в качестве предиката, а с другой стороны, на утверждении, что если весь объем или часть объема субъекта содержится в объеме предиката, то часть объема предиката необходимо содержится в объеме субъекта. Следовательно, они основаны на следующих соотношениях, каждое из которых является одной из посылок в разновидностях этих умозаключений:
(1) S а Р-*не-Р е S;
(2) S е Р не-Р / S;
(3) S о Р-*не-Р i S.
Общий смысл этих соотношений состоит в том, что если дано суждение, которое слева от знака «-»-», то неявно дано суждение, которое справа от знака «->-». Это последнее получается неизбежно, если осуществить превращение суждения, стоящего слева от знака «-»-», а суждение, полученное в результате превращения, обратить,
Если дано частноутвердительное суждение SiP, то невозможно будет определенно ответить на вопрос об отношении понятия, противоречащего предикату, к субъекту этого суждения. В частноутвердительном суждении говорится, что часть объема входит в объем* предиката, а это логически совместимо как с утверждением, что другая часть входит в объем понятия, противоречащего предикату данного суждения, так и с тем, что она не входит в объем этого понятия.
Вторая посылка в умозаключениях противопоставления предикату является утверждением того, что дано суждение
4 Зак. 499
97
определенной материи, тождественное по структуре с суждением, которое слева от знака «-»-», а в заключении утверждается, что дано суждение, тождественное по структуре с суждением, стоящим справа от знака «-*». Отсюда следующие схемы умозаключений противопоставления предикату:
I) S а Р-*не-Р е S 2) S е Р-»не-Р i S S а Р S е Р
не-Р е S не-Р i S
3) S о Р-»не-Р i S S о Р
не-Р i S
Соответствующие примеры:
1) Если дано суждение S а Р, то неявно дано суждение не-Р е S Дано суждение S а Р «Все розы — цветы».
Дано неявно суждение не-Р е S «Никакие не-цветы не есть розы».