2.2.2. Дифференциальное уравнение энергии.

Это уравнение является математическим выражением закона сохранения энергии в процессе теплоотдачи и устанавливает зависимость

t=f(x,y,z,τ)

т. е. позволяет определить температурное поле в движущейся жидкости.

Для вывода уравнения энергии выделим из движущегося объема жидкости элементарный объем

dV=dxdydz

Из окружающей среды путем теплопроводности в элементарный объем в dV за время dτ согласно дифференциального уравнения теплопроводности (19) поступит теплота

(80)

Аналогично тому как мы с вами выводили дифференциальное уравнение теплопроводности поступившая в элементарный параллепипед теплота пойдет на изменение его энтальпии dQ=dI (среда движется)

Изменение энтальпии, рассматриваемого параллепипеда за время dτопределиться как:

(81)

Однако в предыдущем случае мы имели дело с твердым телом. В жидкости, в отличие от твердого тела, объёмза время переместиться в пространстве по некоторой траектории со скоростью .Поэтому координаты рассматриваемого объёма будут изменяться во времени:

x=f(τ); y=f(τ); z=f(τ) и следовательноизменение t элемента dV за время dτ будет характеризоваться полной производной:

(82)

изменение координат по времени есть ничто иное как проекции скорости на оси координат

таким образом уравнение (82) примет вид:

(83)

Отметим, что полную производную субстанциональной (индивидуальной) производной. Частную производную называют местным или локальным изменением температуры, а - конвективным изменением температуры.

Приравнивая значения dQ=dI получим искомое дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в движущейся жидкости.

(84)

Данное уравнение (84) называется законом энергии, т. к. оно выражает закон сохранения энергии.

В том случае, когда ω_x=0; ω_y=0; ω_z=0 то конвективная составляющая в уравнении (84) исчезает и уравнение принимает вид дифференциального уравнения теплопроводности для твердых тел.

Для одномерного случая уравнение принимает вид:

(85),

а для одномерного стационарного случая имеем

(86)

В уравнении (84) наряду с t входят проекции переменной скорости ϖ. Это показывает, что температурное поле в потоке жидкости существенно зависит от поля скоростей. В связи с этим необходимо при изучении конвективного теплообмена включить в круг исследуемых вопросов и гидростатические условия протекания процесса.

Наличие температурного поля в свою очередь изменяет плотность среды в следствии чего жидкость приходит в движение. Видим, что помимо влияния поля скоростей на температурное поле наблюдается и обратное влияние.

Поэтому необходимо добавить к уже имеющимся дифференциальным уравнением теплообмена и энергии уравнение движения жидкости.

2.2.3. Дифференциальное уравнение движения жидкости.

Дифференциальное уравнение движения является выражением закона сохранения импульса и устанавливает зависимость скорости движения жидкости от пространственных координат и времени.

Для вывода этого уравнения используем основной закон механики (второй закон Ньютона): равнодействующие всех сил, действующих на тело равна произведению массы на ускорение.

(86)

где - векторная сумма всех сил действующих на тело.

- полное произведение по скорости (по сути ускорения)

ρd- ничто иное как масса

Теперь, опираясь на основной закон механики выделим уравнение движения жидкости. Выделим в общем объёме жидкости элемент параллелепипед со сторонами dx;dy;dz=dV

На рассматриваемый параллелепипед в общем случае действуют 3 силы:

- сила тяжести

- сила давления

- сила вязкого трения с соседними параллелепипедами

Давление для начала пренебрегаем силами вязкого трения и получим уравнение движения невязкой жидкости в проекции на ось x (например газ – его вязкость мала)

(87)

Рассмотрим проекцию всех сил на ось x, в этом случае уравнение основного закона механики примет вид:

(86 а)

Ось x мы с вами направим вниз, поэтому проекция силы тяжести на неё будет: ρgdV (где g- ускорение свободного падения, ρdV - масса параллелепипеда)

Если в данной точке пространства имеем давление p, то сила, действующая на верхнюю грань нашего параллелепипеда будет pdydz, а сила действующая на противоположную грань будет .

Проекция на ось x равнодействующей силы давления будет:

Аналогично можно получить уравнение движения в проекциях на оси y и z. Однако заметьте, что в проекциях на них сила тяжести равна 0

(88)

(89)

Полученные нами уравнение (87), (88) и (89) является уравнение движения идеальной. т.е. невязкой жидкости и носят название уравнение Эйлера.

Для получения уравнения движения реальной, вязкой жидкости необходимо учесть силы внутреннего вязкого трения между слоями жидкости, движущейся с разными скоростями.

Согласно закона Ньютона, касательные напряжения “S”, возникают между перемещающимися с различной скоростью слоями жидкости пропорционально градиенту скорости:

(90)

где µ- динамическая вязкость (из справочника)

Рассмотрим плоский ламинарный поток жидкости, двигающийся в направлении оси x. При этом скорость ω_x меняется лишь в направлении оси y. В этом случае силы трения возникают только на боковых гранях.

Т.к. около левой грани скорость движения ω_x меньше, чем в самом элементе, сила трения будет равна “-Sdxdz” и направлена против движения и равна

Равнодействующая этих сил будет:

(91)

Подставим эти значения в уравнение (90):

(91)

(еще раз дифференцируем (90) по dy)

Уравнение (91) справедливо для одномерного случая. Если скорость изменяется в направлении всех осей, то равнодействующая сил вязкого трения, приложенных к рассматриваемому параллелепипеду dV определяется как:

Если движущаяся среда имеет const вязкость, то окончательно выражение примет вид:

Уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье - Стокса) можно получить, если к правым частям уравнений Эйлера (88), (89) и (87) прибавить силу вязкостного трения

(91)

(92)

(93)

Все члены этого уравнения имеют размерность :

ρg- сила трения

∂p/∂x- сила давления

- сила сопротивления

- сила инерции

В развернутом виде дифференциальное уравнение движения (Навье - Стокса) в проекции на ось х имеет вид:

(91а)

Для проекций на оси y и z вы это уравнение развернете сами.