2.2. Метод вращений Гивенса

Пусть iиj– некоторые целые индексы, такие что, а– некоторое вещественное число. Рассмотрим матрицу

,

отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на пересечении ее строк и столбцов находятся величиныи. МатрицаGназывается матрицей поворота (или матрицей вращения Гивенса): умножениеGна вектор соответствующей размерности приведет к его повороту на угол[10]. На рис. 2.1 изображен пример поворота вектора для случая трехмерного пространства.

Рис. 2.1. Поворот трехмерного вектора после умножения его на матрицу вращения

На практике аппарат вращений Гивенса часто применяется для обнуления одной компоненты вектора или столбца другой матрицы. Пусть требуется обнулить j-тый компонент вектораx. Обозначим для краткости. Для того, чтобы обнулить, требуется выполнение следующих условий:

(2.10)

Система (2.10) имеет решение, при :

. (2.11)

При реализации аппарата вращений Гивенса средствами вычислительной техники для хранения матриц вращения достаточно двух целочисленных переменных для хранения пары и двух вещественных переменных – для.

2.3. Декомпозиция алгоритмаGmres

В ходе анализа перезапускаемого метода обобщенных минимальных невязок был выявлен ряд подзадач, выполняющихся неоднократно: умножение матрицы на вектор, вычисление скалярного произведения векторов, нахождение нормы вектора, нормирование вектора, нахождение взвешенной суммы векторов. Наиболее трудоемкой среди перечисленных операций является умножение матрицы на вектор.

Выполнение перечисленных операций занимает большую часть времени работы алгоритма GMRES. Поэтому ожидается, что при увеличении эффективности использования вычислительных ресурсов и ресурсов памяти вычислительной машины при выполнении этих операций, повысится эффективность метода в целом. Достигнуть этого можно, применив при выполнении перечисленных операций аппарат параллельных вычислений.

2.4. Предобуславливание в методеGmres

Работу по усовершенствованию GMRES-алгоритма ведут многие современные математики. Были внесены еще ряд предложений (кроме перезапуска), помогающие избежать переполнения памяти и уменьшить вычислительные затраты. Один из подходов заключается в ограничении дляGMRESпоиска походящего подпространства среди некоторых многомерных подпространств Крылова [6].

Наиболее неприятный недостаток многих проекционных методов, в том числе и перезапускаемого метода GMRES, является возможность возникновения эффекта стагнации – неуменьшения нормы невязки приближенного решения в ходе итерационного процесса. Появление эффекта стагнации сильно зависит от спектральных свойств матрицы коэффициентов таких, как распределение собственных значений, величина угла между собственными векторами и даже от направления вектора начального приближения. Как правило, свойства матрицы исходной системы неизвестны, но, тем не менее, часто пытаются улучшить эти свойства при помощи методики предобуславливания [5].

Предобуслаливание СЛАУ заключается в трансформировании исходной системы в другую, матрица которой будет обладать лучшими свойствами в смысле сходимости итерационного метода. Другими словами, вместо системы (1.1) решается другая

, (2.12)

где ,и– некоторые невырожденные матрицы. Система (2.12) называется предобусловленной. В случае если, то предобуславливание называется правым, если, то предобуславливание называется левым, а если, то предобуславливание называется двусторонним.

Несмотря на то, что к настоящему моменту теория предобуславливания вызывает большой интерес, нахождение хорошего предобуславливателя осуществляется «методом проб и ошибок». Для практических целей сформулированы следующие рекомендации при составлении предобуславливателя:

• матрица Bдолжна быть близка к матрицеA;

• матрица Bдолжна быть легко вычислима;

• матрица Bдолжна быть легко обратима [6].

Введение этапа предобуславливания в алгоритм перезапускаемого GMRESуменьшает вероятность возникновения эффекта стагнации, однако не может гарантировать его отсутствия. Предобуславливание в методе не является обязательным для систем с хорошими спектральными свойствами и небольшой обусловленностью.