1.2. Методы подпространства Крылова

Методы подпространства Крылова получили широкое распространение в конце XXв. и в настоящее время продолжают активно развиваться. В этом разделе приведен обзор наиболее известных из них.

1.2.1. Метод полной ортогонализации

Метод полной ортогонализации (FullOrthogonalizationMethod, илиFOM) относится к классу методов проекционного типа, в которомLвыбирается равнойK. Искомое решение проектируется на подпространство Крылова, где в качествевыступает нормированный вектор начальной невязки

. (1.8)

В силу того, что базисыVиWвыбираются одинаковыми, для их построения используется ортогонализация Арнольди. В этом случае матрицаимеет верхнюю хессенбергову форму и, следовательно, оказывается легко обратимой. Решение СЛАУ с такой матрицей сводится кгауссовскому исключению строки последующему обратному ходу по верхнетреугольной матрице [6].

Сомножитель в формуле (1.7) может быть заменен нав силу (1.8). Таким образом, формула (1.7) может быть преобразована к виду

. (1.9)

Метод полной ортогонализации обладает серьезным недостатком: заранее неизвестно, какой должна быть размерность подпространства m, чтобы найденное решениеимело достаточную точность. Однако существует возможность оценить уменьшение нормы невязки без явного нахождения решения [6].

На практике чаще всего размерность подпространства mвыбирается заранее. Рациональнее задаватьmнебольшим в сравнении с порядком СЛАУ. После нахождения приближения к решению на очередной итерации проверяется, достигнута ли требуемая точность. Если точность достигнута не была, процесс повторяется, причем в качестве начального приближения берется найденное в ходе последней итерации приближение к решению. Изложенная схема носит название перезапускаемого FOM [6].

Процесс ортогонализации вектора требует значительных вычислительных затрат, быстро растущих с увеличением размерности количества векторов. На практике для СЛАУ больших размерностей рекомендуется выполнять как можно меньше процедур ортогонализации. Поэтому метод полной ортогонализации для систем большой размерности не применяется.

1.2.2. Метод сопряженных градиентов

Один из первых методов проекционного типа, появившийся в начале 1950-х годов, стал метод сопряженных градиентов (ConjugateGradientMethod, илиCG).CGотносится к классу тех проекционных методов, для которых, а задача проектирования в его случае сводится к минимизации функционала.

Структура метода сопряженных градиентов основана на процессе построения как элементатаким образом, чтоминимально. Этот минимум гарантировано существует, только еслиAсимметричная положительно определенная матрица. Условие минимизации ошибки эквивалентно построению ортогонального базиса из невязок [5, 7].

На каждой итерации уточняется произведением итерационного параметрана вектор поправки:

, (1.10)

а вектор невязки пересчитывается, исходя из выражения:

. (1.11)

Итерационный параметр выбирается из условия ортогональности невязок, т.е. , отсюда

. (1.12)

Для построения вектора поправки используется невязка

. (1.13)

Следствием соотношения (1.13) является то, что

(1.14)

в силу ортогональности к. Тогда (1.12) преобразуется в. А учитывая, чтоиортогональны по построению из выражений (1.11) и (1.13) получаем

. (1.15)

Изложенный выбор делаетиортогональными всем предыдущими(i=1, … , j) соответственно.

Кратко изложенные соотношения можно представить в виде следующего алгоритма:

Входные данные: A,b, ;

Вычисление невязки и установление;

, пока не достигнута требуемая точность

увеличить j.

Оценить сходимость метода CGможно, используя полиномы Чебышёва [5]:

для симметричных положительно определенных матриц, где – число обусловленности матрицы системы.

Метод сопряженных градиентов применим, если матрица Aсимметрична и положительно определена. Получить приближенное решение с его помощью можно за несколько итераций, причем метод продолжает быстро работать при больших размерах матрицыA. Однако в силу ошибок округления в ходе решения свойство положительной определенности матрицы коэффициентов может быть утеряно, что может привести к нестабильности вычислений и даже сбою методаCG. В таком случае уменьшение нормы невязки на каждом шаге уже не будет гарантировано [7].