50

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ» Институт Автоматики и вычислительной техники Кафедра Прикладной математики Направление Прикладная математика и информатика МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ Программа: Математическое и программное обеспечение вычислительных машин и компьютерных сетей Тема: Организация и исследование эффективных вычислений для решения задач аэроакустики на кластерных архитектурах СтудентА-13м-08 ____________ Буренков С. А. группа подпись фамилия, и., о., Научный Руководительдоцент к.т.н. ___________ Шамаева О. Ю. должность звание подпись фамилия, и., о., Магистерская диссертация допущена к защите Зав.кафедройпрофессор __________ Еремеев А. П. звание подпись фамилия, и., о., Дата_________ МОСКВА 2014 г.

Аннотация

В настоящей работе была предложена, реализована и исследована параллельная модификация метода обобщенных минимальных невязок для систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач авиационной акустики. Представлены обзор и сравнение проекционных методов решения систем линейных уравнений. Проведен анализ, и разработана параллельная модификация метода обобщенных минимальных невязок. Приведены оценки теоретического ускорения, которое может быть достигнуто при выполнении модификации на вычислительных системах с распределенной памятью, и выполнено сравнение с экспериментальным ускорением. В качестве модельной задачи выбрана задача аэродинамического обтекания профиля.

Abstract

Parallel modification of the Generalized Minimal Residuals method for linear algebraic equations arising in solving the problems of aviation acoustics was proposed, implemented and studied in this paper. An overview and comparison of projection methods for solving systems of linear equation were provides. The modification of the generalized minimal residuals method was developed and analyzed. Estimates of theoretical acceleration, which can be achieved by performing the modification on computer systems with distributed memory, were presented and compared with the experimental acceleration. Aerodynamic flow of profile problem was chosen as a model problem.

Оглавление

Магистерская диссертация допущена к защите 1

Введение 4

Глава 1. Проекционные методы решения слау 8

1.1. Принцип построения проекционных методов 9

1.2. Методы подпространства Крылова 12

1.2.1. Метод полной ортогонализации 12

1.2.2. Метод сопряженных градиентов 13

1.2.3. Метод минимальных невязок 16

1.2.3. Метод обобщенных минимальных невязок 16

1.3. Сравнение проекционных методов 17

1.4. Постановка задачи магистерской диссертации 18

1.5. Выводы по главе 1 19

Глава 2. Перезапускаемый метод gmres 20

2.1. Ортогонализация Арнольди 21

2.2. Метод вращений Гивенса 24

2.3. Декомпозиция алгоритма GMRES 25

2.4. Предобуславливание в методе GMRES 25

2.5. Выводы по главе 2 27

Глава 3. Разработка параллельной модификации метода gmres 28

3.1. Основные классы параллельных вычислительных систем 28

3.2. Классификация моделей параллельного программирования 29

3.3. Формат хранения разреженных матриц 32

3.4. Разделение данных 34

3.5. Исследование обменных взаимодействий в модели передачи сообщений 36

3.6. Особенности параллельной модификации метода GMRES 41

3.6.1. Распределение данных по исполнителям 42

3.6.2. Выполнение параллельных операций 42

3.6.3. Объединение результатов расчетов 44

3.7. Теоретическая оценка трудоемкости 44

3.8. Выводы по главе 3 46

Глава 4. Исследование параллельной модификации перезапускаемого gmres 47

4.1. Задача аэродинамического обтекания профиля 47

4.2. Исследование эффективности параллельной модификации перезапускаемого GMRES 51

4.3. Выводы по главе 4 57

Заключение 58

Список литературы 60

Приложение 62

Введение

Авиации принадлежит значительная роль в решении широкого спектра современных жизненно важных задач. Роль воздушного транспорта в России невозможно переоценить: в таких регионах, как Европейский Север, Сибирь, северо-восточная и островная часть Дальнего Востока авиация была и еще долго останется единственным магистральным видом транспорта, обеспечивающим связь с остальной территорией страны. На долю воздушного транспорта приходится более 40% общего пассажирооборота в междугородном и международном сообщении. Если же рассматривать только международные пассажирские перевозки, то здесь на долю авиации приходится 80% [1]. Кроме того, авиационная промышленность является одной из ведущих системообразующих отраслей оборонного промышленного комплекса страны.

Несмотря на длительное и активное развитие авиастроения, перед конструкторами летательных аппаратов все еще стоит ряд проблем, требующих решения. Это и обеспечение безопасности авиаперевозок, и автоматизация систем управления полетами, и создание двигателей, работающих на альтернативном топливе, и другие. Помимо этого, растущая потребность в увеличении грузоподъёмности летательных аппаратов и скорости их полёта приводит к увеличению тяги силовых установок, в результате чего резко возрастает звуковая мощность, создаваемая летательными аппаратами. Увеличение интенсивности эксплуатации самолётов гражданской авиации привело к тому, что в зонах размещения аэропортов жители оказались под неблагоприятным воздействием высоких уровней шума. Поэтому, одной из наиболее актуальных проблем современной авиации является проблема снижения шума, так как с каждым годом требования, предъявляемые к уровню шума, производимого летательными аппаратами, ужесточаются. Ее решению посвящен раздел газовой динамики – аэроакустика, или авиационная акустика. В рамках аэроакустики изучаются звуковые поля, генерируемые воздушным потоком или привносимые в течение внешними источниками возмущений.

Последние 40 лет прикладная аэроакустика активно развивается, интерес к ней постоянно растет в связи с ведущимися во всем мире широкомасштабными исследованиями, направленными на снижение шума, в авиационной и автомобилестроительной промышленности, а также ряде других высокотехнологичных отраслей производства. Выполнение экологических норм требует постоянного совершенствования авиационной техники и, соответственно, решения широкого спектра задач аэроакустики.

Основной шум производят двигатель и планер самолетов. При разбеге и взлете доминирует шум двигателя. При крейсерском полете и посадке шум, вызываемый обтеканием воздухом элементов планера, приближается по уровню к шуму двигателя. В турбореактивных двигателях компрессор гонит воздух в камеру сгорания, сжимая его до давления 6-7 атмосфер. Воспламенение топлива рождает струю раскаленных газов, которая, пройдя через турбину и вырываясь с огромной скоростью из сопла, создает реактивную тягу. Из-за огромной скорости реактивной струи, взаимодействующей с окружающим воздухом, возникает шум. Кроме того, шумят механические детали, например, компрессор, лопатки которого тоже создают сильную турбулентность. Появление турбулентности во многом зависит от формы и размеров элементов авиационного двигателя [2]. Проводить проверку новой конструкции авиационного двигателя исключительно с помощью физического эксперимента дорого и опасно, поэтому практикуется предварительное построение математических моделей создаваемых конструкций и окружающих их процессов для выявления и анализа разнообразных характеристик, в том числе и аэроакустических.

Наиболее распространенным способом изучения акустических явлений в авиационной промышленности является изучение процессов, происходящих при обтекании воздушным потоком поверхностей планера и двигателя самолета. Построение математических моделей этих процессов и изучение физических характеристик – нетривиальная задача в силу сложной геометрии поверхностей и профилей и требуемой высокой точности. Кроме того, сложность аэроакустических исследований усугубляется сильным перепадом рассматриваемых масштабов, а также не до конца изученными механизмами генерации звука. Эти особенности находят свое отражение в вычислительной аэроакустике, в которой непременным требованием является качество численных метрик и их высокая точность [3].

На практике интерес представляют результаты моделирования процессов обтекания широкого перечня деталей летательных аппаратов: от корпуса и крыльев, до лопаток компрессора двигателя. В процессе решения задачи производят дискретизацию задачи и переходят от обтекания трехмерной поверхности к обтеканию совокупности двумерных поверхностей. Решение задачи аэродинамического обтекания некоторого объекта заключается в определении динамических характеристик обдувающего объект потока. Среди них давление; число Маха; осевая, окружная и радиальная скорости, плотность, энтропия, турбулентная вязкость, температура и другие [4].

В настоящее время существуют различные программные средства для моделирования обтекания профиля. В работе описан программный комплексCobra, разработанный в Центральном институте авиационного моторостроения им. П.И.Баранова, средствами которого можно решить задачу обтекания воздушным потоком двумерных и трехмерных поверхностей. Значительную долю вычислений в ходе решения задачи обтекания профиля занимает решение больших систем алгебраических уравнений (СЛАУ) с разреженной матрицей коэффициентов, размерность которых составляети выше.

Цель данной работы – разработка и исследование программного модуля для решения СЛАУ, возникающих при решении различных задач газовой динамики и, в частности, авиационной акустики. Ожидается, что внедрение указанного модуля в программный комплекс Cobraповысит его эффективность и позволит расширить круг решаемых комплексом задач.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы 61 страница.

В первой главе описаны общие принципы построения проекционных методов решения СЛАУ. Приведен их краткий обзор и сравнение, а также выявлен наиболее подходящий метод применительно к задачам авиационной акустики.

Во второй главе изложен последовательный алгоритм перезапускаемого метода GMRES, проведена его декомпозиция. Описаны основные этапы алгоритма.

В третьей главе представлен обзор современных параллельных вычислительных систем и моделей параллельного программирования. Предложены формат для хранения разреженных матриц и способ распределения данных по исполнителям. Выполнено исследование разных видов обменных взаимодействий. Предложена и реализована параллельная модификация перезапускаемого метода обобщенных минимальных невязок. Получена теоретическая оценка его ускорения.

В четвертой главе описана тестовая задача аэродинамического обтекания профиля, в ходе решения которой необходимо решить СЛАУ большой размерности. Выполнено исследование эффективности разработанной в рамках этой работы параллельной модификации перезапускаемого GMRESпри решении вышеуказанной системы.

В приложение вынесен программный код разработанной параллельной модификации перезапускаемого метода GMRES.