Глава 1. Проекционные методы решения слау

Применение численных методов в научно-технических задачах становятся неотъемлемой частью современных технологических решений. Существует множество областей исследований, где использование аппарата вычислительного эксперимента является единственным способом решения задачи. Моделирование все более сложных процессов в различных областях науки и техники стало стандартным подходом. Моделирование, как правило, подразумевает решение дифференциальных уравнений, сводящееся на практике, чаще всего, к решению СЛАУ.

Наиболее привлекательными для решения современных СЛАУ оказались итерационные методы. Большинство из них сводится к проведению своего итерационного процесса над некоторым приближением к решению. Если метод сходится для взятых системы и начального приближения, то с каждой новой итерацией получаемое решение ближе к точному. Итерационный процесс проводится до тех пор, пока решение, полученное на очередной итерации, не будет удовлетворять некоторому критерию точности. Общий недостаток итерационных методов – зависимость от начального приближения. Из-за этой зависимости, вообще говоря, нет гарантии, что метод сойдется (достигнет достаточно близкого к точному решение) за конечное число шагов. Однако для многих итерационных методов доказано, что они сходятся при любом начальном приближении к точному решению при выполнении определенных условий.

За последние 30 лет итерационные методы существенно преобразились – появились методы, которые позволяют решать системы с несимметричными матрицами, используют эффективное распараллеливание матрично-векторных умножений и строятся на основе проектирования в подпространствах Крылова. Они не требуют нахождения оптимальных итерационных параметров и обязательной априорной информации о спектре исходной матрицы. Созданные в начале XXв. классические итерационные методы работают с ними, выполняя роль переобуславливателей для вариационных методов [5].

В данной главе рассматривается задача решения СЛАУ

(1.1)

с квадратной невырожденной матрицей и ненулевым векторомbразмерностиn, составленными из действительных коэффициентов. В силу невырожденности матрицы у системы (1.1) существует единственное точное решение. Невязкой системы (1.1) называется вектор. Под решением СЛАУ (1.1) с точностьюв данной работе понимается нахождение вектораxтакого, что.

1.1. Принцип построения проекционных методов

Пусть заданы два подпространства и. Требуется найти такой вектор, который обеспечивал бы решение исходной системы, оптимальное относительно подпространстваL, т.е. чтобы выполнялось условие Петрова-Галеркина:

(1.2)

Сгруппировав обе части равенства по свойствам скалярного произведения и заметив, что , условие (1.2) может быть переписано в виде

, (1.3)

т.е. . Такая задача называется задачей проектирования решенияxна подпространствоKортогонально к подпространствуL.

В более общей постановке задача выглядит следующим образом. Для исходной системы (1.1) известно некоторое приближение к решению. Требуется уточнить его поправкойтаким образом, чтобы. Условие Петрова-Галеркина в этом случае можно записать в виде

.

Пусть . Введем в подпространствахKиLбазисыисоответственно. Тогда условие Петрова-Галеркина (1.3) выполняется тогда и только тогда, когда

(1.4)

При введении матричных обозначений для базисов иможно записать, где– вектор коэффициентов. Тогда (1.4) можно записать в виде

, (1.5)

откуда и

. (1.6)

Таким образом, решение должно уточняться в соответствии с формулой

, (1.7)

из которой вытекает важное требование: в практических реализациях проекционных методов подпространства KиLи их базисы должны выбираться так, чтобы матрицабыла либо малой размерности, либо имела простую структуру, удобную для обращения.

Из (1.5) также вытекает соотношение

,

т.е. представляет собой проекцию на подпространствоKразности между точным решением и начальным приближением.

Пусть имеется набор пар подпространств таких, чтои. Тогда последовательное применение описанного процесса ко всем таким парам приведет к решению, удовлетворяющему исходной системе (1.1). Соответственно, в общем случае алгоритм любого метода проекционного класса может быть записан следующим образом [6]:

Начало

Выбор пары подпространств KиL

Построение для KиLбазисовVиW

Продолжать до достижения сходимости

При построении и реализации проекционных методов важную роль играют так называемые подпространства Крылова, часто выбираемые в качестве подпространства K. Подпространством Крылова размерностиm, порожденным векторомvи матрицейA, называется линейное пространство

.

В качестве вектора vобычно выбирается невязка начального приближения, тогда выбор подпространстваLи способ построения базисов подпространств полностью определяет вычислительную схему метода.

Проекционные методы, которые в качестве Kиспользуют подпространство Крылова, называются методами подпространства Крылова и относятся к классу вариационных методов.

Существуют три основных подхода к выбору подпространства L. Используя каждый из этих подходов можно условно разделить методы подпространства Крылова на три большие группы:

1. выбор приводит к методам, для которых невязка ортогональна текущему подпространству Крылова;

2. выбор – к методам, в которых минимизируется невязка;

3. если построить , то мы получаем методы, для которых невязка ортогональна подпространству Крылова транспонированной матрицы.