1.2.3. Метод минимальных невязок

Идеи, лежащие в основе метода сопряженных градиентов, были обобщены для класса симметричных матриц, не являющихся положительно определенными, и оформлены в методе минимальных невязок (MinimalResiduals, илиMINRES). Как и метод сопряженных градиентов,MINRESстроит ортогональный базис, однако норму невязки минимизируют уже в другом пространстве – в. Для симметричных систем такая ортогонализация приводит к трехчленным рекуррентным соотношениям, так как в данном случае каждый последующий вектор базиса выражается через два предыдущих, и нет необходимости проверять ортогональность всех векторов.MINRES– вариант методаCG, не использующийLU-разложение, способное привести к сбою алгоритма [5, 8].

1.2.3. Метод обобщенных минимальных невязок

Метод обобщенных минимальных невязок (GeneralMinimalResiduals, илиGMRES) по праву считается одним из самых эффективных численных методов решения несимметричных систем. Он гарантирует неувеличение нормы невязки в ходе итерационного процесса, который строится таким образом, что подпространстваKиLсвязаны соотношением, причем в качествеKиспользуется подпространство Крыловас выбором . Ортогональный базис вKстроят, как правило, с помощью ортогонализации Арнольди [5, 6, 9].

Проектирование (1.7), характерное для всех методов проекционного типа, заменено на эквивалентную задачу минимизации функционала на пространствеK:

(1.16)

Метод обобщенных минимальных невязок популярен из-за наличия ряда преимуществ: он ошибкоустойчив, допускает эффективное распараллеливание, не требует нахождения параметра релаксации, обладает суперлинейной скоростью сходимости. Однако в чистом виде для больших систем метод не используется из-за чрезвычайно больших затрат памяти. Зато широкое распространение получила перезапускаемая версия метода, использующая и хранящая в ходе решения mвекторов, причем. Такой подход позволяет решать большие СЛАУ, при этом хранить в памяти потребуетсявещественных чисел. Уменьшение размерности пространства может привести к стагнации метода – процессу, при котором с каждой следующей итерацией норма невязки уменьшается незначительно, либо не уменьшается вовсе. Тем не менее, существуют механизмы для устранения эффекта стагнации [9]. Их описание дано в разделе 2.4 настоящей работы.

1.3. Сравнение проекционных методов

На основании приведенного обзора выполнено сравнение рассмотренных выше проекционных методов, целью которого было определить наиболее подходящий метод для решения СЛАУ, возникающих в задачах авиационной акустики. В качестве критериев сравнения были выбраны ограничения на матрицу коэффициентов, устойчивость метода и трудоемкости базовой операции метода.

Таблица 1.1. Сравнение проекционных методов решения СЛАУ

	FOM	CG	MINRES	GMRES(m)
Требование симметричной матрицы A	нет	да	да	нет
Требование положительно определенной матрицы A	нет	да	нет	нет
Возможность возникновения сбоя в ходе решения	нет	да	да	нет
Трудоемкость основной операции	Ортогонализация вектора	Скалярное умножение векторов	Умножение матрицы на вектор	Умножение матрицы на вектор

В силу своей специфики, прикладные задачи авиационной акустики в большинстве своем сводятся к большим СЛАУ, не обладающим, вообще говоря, специальными свойствами. Поэтому, на основании сопоставления методов, приведенном в таблице 1.1, можно сделать вывод, что наиболее подходящим для решения СЛАУ, возникающих в аэроакустических задачах, является перезапускаемый метод обобщенных минимальных невязок.