
- •Аннотация
- •Abstract
- •Глава 1. Проекционные методы решения слау 8
- •Глава 2. Перезапускаемый метод gmres 20
- •Глава 3. Разработка параллельной модификации метода gmres 28
- •Глава 4. Исследование параллельной модификации перезапускаемого gmres 47
- •Введение
- •Глава 1. Проекционные методы решения слау
- •1.1. Принцип построения проекционных методов
- •1.2. Методы подпространства Крылова
- •1.2.1. Метод полной ортогонализации
- •1.2.2. Метод сопряженных градиентов
- •1.2.3. Метод минимальных невязок
- •1.2.3. Метод обобщенных минимальных невязок
- •1.3. Сравнение проекционных методов
- •1.4. Постановка задачи магистерской диссертации
- •1.5. Выводы по главе 1
- •Глава 2. Перезапускаемый методGmres
- •2.1. Ортогонализация Арнольди
- •2.2. Метод вращений Гивенса
- •2.3. Декомпозиция алгоритмаGmres
- •2.4. Предобуславливание в методеGmres
- •2.5. Выводы по главе 2
- •Глава 3. Разработка параллельной модификации методаGmres
- •3.1. Основные классы параллельных вычислительных систем
- •3.2. Классификация моделей параллельного программирования
- •3.3. Формат хранения разреженных матриц
- •3.4. Разделение данных
- •3.5. Исследование обменных взаимодействий в модели передачи сообщений
- •3.6. Особенности параллельной модификации методаGmres
- •3.6.1. Распределение данных по исполнителям
- •3.6.2. Выполнение параллельных операций
- •3.6.3. Объединение результатов расчетов
- •3.7. Теоретическая оценка трудоемкости
- •3.8. Выводы по главе 3
- •Глава 4. Исследование параллельной модификации перезапускаемогоGmres
- •4.1. Задача аэродинамического обтекания профиля
- •4.2. Исследование эффективности параллельной модификации перезапускаемогоGmres
- •4.3. Выводы по главе 4
- •Заключение
- •Список литературы
- •Приложение
1.2.3. Метод минимальных невязок
Идеи,
лежащие в основе метода сопряженных
градиентов, были обобщены для класса
симметричных матриц, не являющихся
положительно определенными, и оформлены
в методе минимальных невязок (MinimalResiduals, илиMINRES).
Как и метод сопряженных градиентов,MINRESстроит ортогональный
базис, однако норму невязки минимизируют
уже в другом пространстве – в.
Для симметричных систем такая
ортогонализация приводит к трехчленным
рекуррентным соотношениям, так как в
данном случае каждый последующий вектор
базиса выражается через два предыдущих,
и нет необходимости проверять
ортогональность всех векторов.MINRES– вариант методаCG, не
использующийLU-разложение,
способное привести к сбою алгоритма
[5, 8].
1.2.3. Метод обобщенных минимальных невязок
Метод
обобщенных минимальных невязок (GeneralMinimalResiduals,
илиGMRES) по праву считается
одним из самых эффективных численных
методов решения несимметричных систем.
Он гарантирует неувеличение нормы
невязки в ходе итерационного процесса,
который строится таким образом, что
подпространстваKиLсвязаны соотношением,
причем в качествеKиспользуется подпространство Крылова
с выбором
.
Ортогональный базис вKстроят, как правило, с помощью
ортогонализации Арнольди [5, 6, 9].
Проектирование
(1.7), характерное для всех методов
проекционного типа, заменено на
эквивалентную задачу минимизации
функционала
на
пространствеK:
(1.16)
Метод
обобщенных минимальных невязок популярен
из-за наличия ряда преимуществ: он
ошибкоустойчив, допускает эффективное
распараллеливание, не требует нахождения
параметра релаксации, обладает
суперлинейной скоростью сходимости.
Однако в чистом виде для больших систем
метод не используется из-за чрезвычайно
больших затрат памяти. Зато широкое
распространение получила перезапускаемая
версия метода, использующая и хранящая
в ходе решения mвекторов, причем.
Такой подход позволяет решать большие
СЛАУ, при этом хранить в памяти потребуется
вещественных чисел. Уменьшение размерности
пространства может привести к стагнации
метода – процессу, при котором с каждой
следующей итерацией норма невязки
уменьшается незначительно, либо не
уменьшается вовсе. Тем не менее, существуют
механизмы для устранения эффекта
стагнации [9]. Их описание дано в разделе
2.4 настоящей работы.
1.3. Сравнение проекционных методов
На основании приведенного обзора выполнено сравнение рассмотренных выше проекционных методов, целью которого было определить наиболее подходящий метод для решения СЛАУ, возникающих в задачах авиационной акустики. В качестве критериев сравнения были выбраны ограничения на матрицу коэффициентов, устойчивость метода и трудоемкости базовой операции метода.
Таблица 1.1. Сравнение проекционных методов решения СЛАУ
|
FOM |
CG |
MINRES |
GMRES(m) |
Требование симметричной матрицы A |
нет |
да |
да |
нет |
Требование положительно определенной матрицы A |
нет |
да |
нет |
нет |
Возможность возникновения сбоя в ходе решения |
нет |
да |
да |
нет |
Трудоемкость основной операции |
Ортогонализация вектора
|
Скалярное умножение векторов
|
Умножение матрицы на вектор
|
Умножение матрицы на вектор
|
В силу своей специфики, прикладные задачи авиационной акустики в большинстве своем сводятся к большим СЛАУ, не обладающим, вообще говоря, специальными свойствами. Поэтому, на основании сопоставления методов, приведенном в таблице 1.1, можно сделать вывод, что наиболее подходящим для решения СЛАУ, возникающих в аэроакустических задачах, является перезапускаемый метод обобщенных минимальных невязок.