1.8. Исследование сау с использованием пакета matlab

MATLAB – это интерактивная среда для научных и инженерных вычислений. В состав MATLAB входят основная программа (ядро) и специализированный пакеты прикладных программ (toolboxes), состоящие из так называемых M- файлов, расширяющих функциональные возможности основной программы. Один из этих пакетов, Control System Toolbox, в сочетании с основной программой даёт возможность использовать MATLAB для анализа и синтеза систем управления.

Комплект инструментальных средств Control System Toolbox - набор функций MATLAB для моделирования, анализа и проектирования автоматических систем управления. Функции в этом комплекте инструментальных средств работают с широко распространенной классической передаточной функцией и "современными" методами управления в пространстве состояний. С помощью этих инструментальных средств можно моделировать и анализировать системы как в дискретной, так и в непрерывной области. Графики временных характеристик и корневого годографа могут быть быстро вычислены и построены.

Далее рассмотрим, как MATLAB оперирует с передаточными функциями, алгебраическими полиномами, вычисляют полюсы и нули передаточных функций и т.д.

Поскольку передаточная функция имеет вид отношения двух полиномов, мы сначала рассмотрим, как MATLAB оперирует с алгебраическими полиномами. При этом не будем забывать, что в передаточной функции должны быть заданы оба полинома – и в числителе, и в знаменателе.

Полиномы в MATLAB представляются в виде вектор-строк, состоящих из коэффициентов в убывающем порядке степеней. Например, полином задаётся так, как показано на рис. 1.36. Ввод данных осуществляется в основном окне MATLAB, ранее представленном на рис.1.1.

Обратите внимание, что даже если коэффициент при ка­кой-то степени равен нулю, он все равно включается в представление полинома p{s).

Если р есть вектор-строка, состоящая из коэффициентов p(s) в порядке убывания сте­пеней, то функция roots(p) определяет вектор-столбец, содержащий корни этого полино­ма.

И наоборот, если p — вектор-столбец, содержащий корни полинома, то функция poly(r) дает вектор-строку из коэффициентов полинома в убывающем порядке степеней. На рис. 1.36 показано, как с помощью функции roots вычисляются корни полинома р(s) = = s³ + 3s²+ 4. На рис. 1.36 показано также, как можно восстановить полином по его кор­ням с помощью функции poly.

Умножение полиномов производится с помощью функции conv. Предположим, что мы хотим получить полином n(s) в развернутой форме, где n(s) = (3s² + 2s + 1 )(s + 4). Эта процедура выполняется так, как показано на рис. 1.37. В результате умножения получаем полином n(s) = 3s² + 14s² + 9s + 4.

Рис.1.36. Ввод полинома P{s) = s³ + 3s² + 4 и вычисление его корней

Рис.1.37 Использование функций conv и polyval для умножения

полиномов (3s² + 2s + 1 )(s + 4) и вычисления значения произведения

Для вычисления значения полинома при заданном зна­чении переменной используется функция polyval. Как показано на рис. 1.37, полином n(s) имеет значение п(-5) = -66.

В пособиях по применению MATLAB модели линейных стационарных систем рас­сматриваются в качестве объектов, позволяя манипулировать ими как единым целым. При использовании аппарата передаточных функций модели систем создаются с помо­щью функции tf. Применение функции tf проиллюстрировано на рис. 1.38(а). Благодаря возможностям объектно-ориентированного программирования, присущим MATLAB, модели систем обладают свойствами объектов, которые легко можно изменять; аналогично, функции, применяемые для работы с объектами, принято называть методами Например, если имеете две модели систем,

,

то вы можете сложить их с помощью оператора «+»:

.

Рис. 1.38 (а) Функция tf; (б) Применение функции tf для образования передаточных функций объектов и их сложение с помощью

оператора «+»

Соответствующая программа MATLAB приведена на рис. 1.38 (б), где sys1 представляет передаточную функцию , а sys2 - . Вычисление полюсов и нулей передаточной функции производится при работе с ней, как с объектом, путём применения функций pole и zero. Это проиллюстрировано на рис. 1.39.

Рис. 1.39. (а) Функции pole и zero; (б) Применение функций pole и zero для вычисления полюсов и нуля линейной системы

Предположим, что мы получили математиче­ские модели объекта управления, регулятора и, возможно, многих других элементов сис­темы, таких как датчики и исполнительные устройства, причем эти модели представлены в виде передаточных функций. Дальнейшая цель состоит в том, чтобы объединить все эти элементы в единую структуру, создав тем самым систему управления. С помощью MATLAB можно выполнить все необходимые преобразования структурной схемы.

Простейшую разомкнутую систему управления можно получить, соединив последо­вательно объект управления и регулятор, как это показано на рис. 1.40. Как с помощью MATLAB определить передаточную функцию, связывающую R{s) и Y(s), будет проде­монстрировано дальше.

Рис. 1.40. Разомкнутая система управления

Рассмотрим пример последовательного соединения Элементов. Пусть объект управления задан передаточной функцией G(s) = 1/500s², а регулятор имеет пе­редаточную функцию G_c(s) = (s + 1)/(s + 2). На рис. 1.41 изображено последовательное соеди­нение двух систем с передаточными функциями G₁(s) и G₂(s), а также проиллюстрирован смысл функции series (последовательное соединение), а на рис. 1.38 показано, как с ее помощью определяется произведение G_c(s)G(s). Результирующая передаточная функция имеет вид

,

где sys есть обозначение передаточной функции в программе MATLAB.

Рис. 1.41. Обозначение передаточной функции:

а - Структурная схема; б - Функция series

В структурных схемах очень часто встречается параллельное соединение элементов. В таких случаях для определения передаточной функции соединения используется функция parallel. Смысл этой функции поясняет рис. 1.43.

Рис. 1.42 Применение функции series

Рис. 1.43. (а) Структурная схема; (б) Функция parallel

Мы можем ввести в рассмотрение сигнал обратной связи, замкнув контур единичной обратной связью, как показано на рис. 1.44. В этом случае E_a(s) есть изображение по Лапласу сигнала ошибки, a R(s) — эталонного входа. Передаточная функция замкнутой системы определяется выражением

.

С помощью функции freedback мы имеем возможность упростить структурную схему, вычислив передаточную функцию замкнутой системы. Эта функция применима как к одноконтурным, так и к многоконтурным системам управления.

Рис. 1.44. Система управления с единичной обратной связью

Часто встречается случай, когда замкнутая система имеет единичную обратную связь, как показано на рис. 1.44. Применение функции freedback в данном случае проиллюстрировано на рис. 1.45.

Рис. 1.45. (а) Структурная схема; (б) Применение функции feedback в

случае единичной обратной связи

На рис. 1.46 изображена система с неединичной обратной связью и проиллюстрировано применение к ней функции freedback. Если в аргументах этой функции не указан знак обратной связи sign, то по умолчанию она предполагается отрицательной.

Рис. 1.46. (а) Структурная схема; (б) Функция feedback