Принцип равных влияний.

Рассмотрим задачу

общая формула погрешностей (1)

Обратная задача теории погрешностей:

Каковы должны быть погрешности аргументов, чтобы погрешность функции не превышала заданной точности .

Будем считать, что каждое входное данное имеет одну и туже погрешность

Представление данных в эвм.

Гипотетическая ЭВМ будет содержать t разрядов мантиссы.

В двоичной форме .

всегда для того, чтобы не хранить не значащих разрядов в ячейках памяти.

Пример.

Проблемы:

1. Диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен:

   1. Только рациональные числа, т. е. степени числа 2.

   2. Из-за ограниченности разряда мантиссы и порядка числа существует так называемая машинная бесконечность. Кроме того существует машинный нуль и машинное .

2. Погрешность арифметических операций.

Определение 2.

Машинная бесконечность – максимально большое представимое в ЭВМ число.

Машинный нуль – минимальное положительное представимое в ЭВМ число.

Машинное эпсилон – относительная погрешность представления числа в ЭВМ.

Пример.

Рассмотрим пятиразрядную гипотетическую ЭВМ.

Представлено число:

Рассмотрим двоичную запись нормализованного числа:

при условии, что округление по дополнению в ЭВМ.

Нелинейные уравнения.

– линейное уравнение.

– алгебраическое уравнение (при не существует аналитического решения).

– трансцендентное уравнение, содержит трансцендентные функции (тригонометрические, логарифмические, экспоненциальные).

Алгоритм половинного деления.

– корень уравнения.

Определение 3.

Будем называть корень уравнения корнем кратности k, если:

Метод половинного деления:

1. 

2. 

   1. Если , то .

   2. Иначе .

3. Критерий окончания

Лекция № 3.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Постановка задачи о приближенном решении уравнения .

Найти – заданная точность.

Этапы нахождения :

1. Локализация корней – выделение отрезков, в которых содержится корень уравнения. Способы локализации:

   1. Табличный.

   2. Графический.

2. Уточнение корня – вычисление корня с заданной точностью.

Определение 1.

Отрезок будем называть отрезком локализации корня, если внутри только один корень уравнения.

Определение 2.

Будем называть методы прямыми, если за конечное число шагов метод позволяет найти точное решение, при условии отсутствия погрешности.

Пример.

Определение 3.

Под итерационными методами будем понимать методы, получающие бесконечную последовательность приближений к решению.

Определение 4.

Будем называть итерационный метод сходящимся, если .

Метод простой итерации (мпи).

Т абличный способ:

Графический способ:

– итерационная функция.

– произвольная точка отрезка локализации.

Теорема 1.

О достаточном условии сходимости метода простой итерации.

Пусть – исходное уравнение, – отрезок локализации , и .

Тогда, если , то МПИ сходится при любом начальном приближении и справедливы оценки:



– расчётная формула МПИ.



Замечание.

Оценка называется априорной и показывает, что .

Оценка называется апостериорной оценкой и показывает связь абсолютной погрешности вычислений с разностью .

Критерий окончания МПИ.

Пример.

метод сошёлся.

Универсальный алгоритм приведения уравнения к виду,

удобному для итерации.

на отрезке локализации должна быть знакопостоянна.

Знак должен совпадать со знаком производной на .

О птимальное значение параметра .

– минимальное значение функции .

Метод простой итерации с оптимальным выбором параметра.

Критерий окончания

Пример.

метод сходится.

Метод Ньютона (метод касательных).

Расчётная формула метода Ньютона:

Лекция № 4.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Метод секущих.

Основывается также на замене произведения разностью отношений, z является точкой итерационной последовательности.

Точки и называются стартовыми точками и выбираются любыми из области локализации.

Пусть – простой корень уравнения, функция дважды непрерывно дифференцируема и вторая производная в точке корня равна 0, тогда при произвольном выборе начальных приближений и из окрестности корня метод секущих с порядком .

Трудоёмкость метода секущих меньше трудоёмкости метода Ньютона.