Экзаменационная программа
.docУТВЕРЖДАЮ
Зав. кафедрой ММ Амосов А.А.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ:
«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Семестр 20010/20011
1.Определения абсолютной и относительной погрешностей. Оценки абсолютной и относительной погрешностей арифметических операций. Понятие верной цифры. Вывод общей формулы погрешностей.
2.Постановка задачи приближенного вычисления корня и основные этапы ее решения.
Метод простой итерации. Теорема о сходимости метода. Приведение уравнения к виду, удобному для итераций.
3. Метод Ньютона. Теорема о сходимости метода Ньютона.
4. Модификации метода Ньютона: упрощенный метод Ньютона, метод ложного положения, метод секущих.
5. Обусловленность задачи поиска корня, интервал неопределенности.
6.Обусловленность задачи решения систем линейных уравнений. Число обусловленности матрицы. Оценка погрешности решения по погрешностям входных данных.
7.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Стратегии выбора ведущего элемента в методе Гаусса. Трудоемкость метода Гаусса.
8.LU-разложение матрицы. Теорема о возможности применения LU- разложения (без доказательства). Применение метода LU- разложения для решения задач вычислительной алгебры.
9. Метод Холецкого решения систем линейных уравнений.
10.Метод прогонки. Теорема о возможности применения метода прогонки.
11.Метод простой итерации для систем общего вида. Сходимость, оценки погрешности.
12.Метод Зейделя для систем общего вида. Сходимость, оценки погрешности. Метод релаксации.
13.Каноническая форма записи расчетных формул итерационных методов. Необходимое и достаточное условие сходимости итерационных методов.
14.Методы решения систем нелинейных уравнений.
15. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. Постановка задачи. Вывод нормальной системы метода. Выбор степени аппроксимирующего многочлена.
16. Постановка задачи интерполяции. Теорема о существовании и единственности интерполяционного многочлена.
17. Многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции. Минимизация погрешности интерполяции.
18. Многочлены Ньютона с конечными и разделенными разностями. Оценка погрешности.
19. Интерполяционный сплайн степени m. Различные виды граничных условий.
20. Построение линейного и кубического сплайнов. Оценка погрешности приближения функции кубическим сплайном.
21. Численное дифференцирование. Вычисление первой и второй производной, оценка погрешности. Построение формул высокого порядка точности.
22. Обусловленность формул численного дифференцирования.
23. Приближенное вычисление интегралов. Вывод квадратурных формул центральных прямоугольников и трапеций. Априорная оценка погрешности.
24. Приближенное вычисление интегралов. Вывод квадратурной формулы Симпсона. Оценка погрешности.
25. Правило Рунге практической оценки погрешности. Адаптивные процедуры численного интегрирования.
26.Квадратурные формулы Гаусса.
27. Построение квадратурных формул для вычисления интегралов от функции двух переменных.
28. Постановка задачи Коши. Дискретная задача Коши. Метод Эйлера. Оценка погрешности метода Эйлера.
29.Задача Коши. Метод разложения в ряд Тейлора.
30.Задача Коши. Модификации метода Эйлера второго порядка точности. Геометрическая интерпретация методов. Оценка погрешности.
31.Задача Коши. Методы Рунге-Кутты. Вывод формул. Оценка погрешности.
32.Задача Коши. Понятия устойчивости, аппроксимации и сходимости численных методов.
33. Явные одношаговые методы. Локальная и глобальная погрешности. Оценка погрешности по правилу Рунге. Организация программы с автоматическим выбором шага.
34.Нуль-устойчивость численных методов решения задачи Коши.
35. А-устойчивость численных методов решения задачи Коши. Понятие об абсолютной устойчивости численных методов решения задачи Коши.
36. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений. Задача Коши для уравнения m-го порядка.
37. Многошаговые методы. Вывод формул явного метода Адамса-Башфорта. Порядок аппроксимации метода.
38. Многошаговые методы. Вывод формул неявного метода Адамса-Моултона. Порядок аппроксимации метода.
39. Методы прогноза-коррекции решения задачи Коши.
40.Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Физический смысл и основные теоремы о свойствах решения.(без доказательства)
41.Метод конечных разностей решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения разностной схемы.
42. Метод конечных разностей решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка. Принцип максимума для разностной схемы.
43. Метод конечных разностей решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка. Априорная оценка решения.
44. Метод конечных разностей решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка. Теоремы об устойчивости, аппроксимации и сходимости разностной схемы.
45.Метод конечных разностей для случая переменного коэффициента k(x). Аппроксимация граничных условий 2-го рода со вторым порядком точности.
46. Метод баланса решения краевой задачи.
47. Вариационная постановка краевой задачи. Метод Ритца.
48. Проекционная постановка краевой задачи. Метод Галеркина.
49. Метод конечных элементов решения одномерной краевой задачи.
50. Метод пристрелки решения краевой задачи.
Лектор потока доцент Амосова О.А.