Лекции (2010)

Лекция № 1.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК).

Постановки задач.

Имеем дискретное множество точек x0 , x1, ... , xn и в этих точках заданы

f0 , f1, ..., fn .

f x x – аппроксимация.

x C0 0 x C1 1 x ... Cm m x – обобщѐнный многочлен.k x – базисные функции:

1.Многочлены 1, x, x2 , ... , xk ;

2.Тригонометрические sin nx, cos nx ;

3.Экспоненциальные ekx .

Существует два способа приближения:

1.Приближение в «среднем» применяется в случае, если известно, что данные получены с ошибками (метод сглаживает неточности).

2.Приближение методом интерполяции применяется для точных данных.

1 | С т р а н и ц а

В реальных задачах МНК применяется до степеней m 5 . В силу плохой обусловленности системы МНК. Качество приближения вычисляется по величине СКО.

Теорема 1.

Многочлен СКО существует и единственен.

m

Рассматриваем Pm x a j x j .

j 0

Докажем, что однородная нормальная система МНК имеет только нулевое решение, т. е. Pm x 0 .

Докажем, что Pm x действительно минимизирует СКО.

m

Рассмотрим произвольный многочлен Qm x bj x j .

j 0

3 | С т р а н и ц а

4 | С т р а н и ц а

Выбор степени m.

1.Дискретная функция приближается по МНК.

– заданная точность.

m

m 0 0

...

mm* m* m* оптимальна.

2.Дискретная функция приближается по МНК.

участок

нормализации

1 2 3 ... m* m

Рис. 4. Выбор наилучшей степени m.

6 | С т р а н и ц а

Лекция № 2.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

Многочлен Лагранжа.

Теорема 1.

Интерполяционный многочлен существует и единственен.

многочлен Лагранжа n-ой степени, содержит n+1 слагаемое и удовлетворяет условиям интерполяции:

Ln xi yi , i 0,1,..., n

y

R 11 f 11 L1 11 0.03

R 14 0.027

7 | С т р а н и ц а

Минимизация погрешности интерполяции.

Многочлены Чебышева Tn x 2xTn 1 x Tn 2 x .

9 | С т р а н и ц а