Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Численные методы

Файл:

Лекции (2010)

.pdf

Скачиваний:

114

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Лекция № 5.

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Формулы интерполяционного типа.

x dx

In f

In :

I In

f x Pm x Rm x

f x dx

Pm x dx

Rm x dx

N 1

P0 x

N 2

Pi x f

i 1

fi 1

x x

i 1

fi 1

fi fi 1

fi 1 fi

Ini,трап i

fi 1dx i

x xi 1 dx hfi 1

xi 1

f f

n 1

I трап h

i 1

Оценка погрешности формулы трапеций через интегрирование остаточного члена интерполяции:

M 2

x x

i 1

max

f x

i,трап

R1 dx

xi 1

f x Pm x Rm

f x Pm x

m x

t x x

i 1

R1i,трап

x xi 1 x xi

t h dt

x xi

x xi 1 h t h 0

i 1

t h dt

t 3

t 2

i xi 1 , x0

h3 ,

1,трап

M 2i

Остаточный член квадратурной формулы трапеций имеет вид

20 | С т р а н и ц а

Составная квадратурная формула имеет следующую погрешность:

M 2

h2 b a

Rтрап

i 1

N 3

i 1

fi 1

fi 2 fi

fi 1

x f

x x

i 1

Симпсона

4 f

i 1

n 1

fn 4 f 1

Симпсона

i 1

RСипсона

M 4 b a

2880

N 4

(Правило трѐх восьмых)

I		h	f xi 1	3 f xi 1
	пр. 3/ 8	h
		8	i

h
		3 f xi

3

h			f x

			i
3

Сведѐм в единую таблицу наиболее часто употребляемые формулы. Для центральных прямоугольников:

n		M 2	b a h2
I h fi 1/ 2	R
		24
i 1

Формула трапеции:

f fn
I h	2

n 1		M		b a h2
fi	R		2
fi	R	12
i 1		12

Формула Симпсона:

	h				n
I		f	0	fn	4 fi 1/ 2
	6
					i 1

n 1		M		b a h4
fi	R		4
fi	R	2880
i 1		2880

Определение 1.

Формула называется точной для многочленов степени m, если интеграл по квадратурной формуле вычисляется точно (без погрешности) для любой степени, меньшей m (алгебраической степени квадратурной формулы). Но формулы центральных прямоугольников и Симпсона выбывают из этого соображения, так как основаны на симметричных точках.

21 | С т р а н и ц а

Объяснение второго порядка точности по h в формуле прямоугольников:

x f x

f x

x x

f i

x x

1/ 2

i 1/ 2

f x dx f

h f

x xi 1/ 2 2

f i

x xi 1/ 2 3

xi 1

i 1/ 2

xi 1

Пример.

Вычислить интеграл от дискретно заданной функции.

					xi	0	0.25	0.5	0.75	1
					f xi	0.841	0.959	0.997	0.855	0.411

					Для ф-лы	x0	x1/ 2	x1	x3/ 2	x2
					Симпсона
h 0.5
I Симпсона		0.5		0.811 0.411 4 0.959 0.855 2 0.997 ...
I Симпсона				0.811 0.411 4 0.959 0.855 2 0.997 ...
	6
I Трапеции 0.25 0.841 0.411 / 2 0.959 0.997 0.855 0.859
Исходная функция f x sin ex
Оценим априорную погрешность.
f x sin ex
f x ex cos ex
f x e2 x sin ex ex cos ex
M 2 5
R	5 0.252		0.026
R	12		0.026
	12
I 0.859 0.026

центральных

22 | С т р а н и ц а

Правило Рунге (двойного пересчёта).

	b		x dx
I f			x dx
	a
I I h Ch p
		n						0 I h / 2
				h			p	0 I h / 2
		h / 2		h					n
I In				C
I In				C
				2
h		2	1 2		p			h	h / 2
C						In			In
C						In			In
2

h	h		p		p h	p		p
In	C			Ch			2
		2
					2

Правило Рунге:

h		2	I h / 2	I h
C			n	n
C			2 p 1
	2		2 p 1

Уточнение по Рунге.

Значение интеграла с более высокой степенью точности:

I	I h / 2	I h	I h / 2
	n	n
	2 p 1
	2 p 1		n

Формулы Ньютона-Котеса (формулы интерполяционного типа) строились в предположении, что точки таблицы значений функции расположены равномерно на отрезке интегрирования.

Постановка задачи:

Даны N+1 точек. Необходимо построить квадратурную формулу, точную для многочленов наиболее высокой степени.

xi	N
I f x dx Aj f x j
xi 1	j 0

Pm t a0 a1t ... amt m

23 | С т р а н и ц а

Лекция № 6.

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Квадратурные формулы Гаусса.

Рассмотрим отрезок 1;1 и построим квадратуру Гаусса с одним узлом.

f x dx A0 f x0

A0 , x0 – неизвестные.

	1			1
	1dt t			1		2 A0	1	A 2
	1dt t			1		2 A0
	1
									0
			t 2		1
	1		t 2					t0 0
	tdt					0 A0 t0
	tdt		2			0 A0 t0
1					1
1					1
1
f x dx 2 f 0
1
Таблица весов и квадратур Гаусса на 1;1 :

																Число узлов
						1							2						3				4
													1
	t0					0													3		3			2
																			3		3			2	30

														3					5		7			35
														3					5		7			35
																			5
	A0					2							1						5		1			30
																					1			30
																			9
																					2			36
																					2			36
													1
	t1																		0		3			2
																									30


													3								7			35
													3								7			35
																			8
	A1												1						8		1			30
																					1			30
																			9
																					2			36
																					2			36

	t2																			3	3			2
																				3	3			2	30
																			5		7		35		30
																			5		7		35

																			5
	A2																		5		1			30
																					1			30
																			9
																					2			36
																					2			36

	t3																				3			2
																					3			2	30
																					7		35		30
																					7		35

	A3																					1		30
	A3																				2			36
b						N		b a		N	a b					b a
						N		b a		N	a b					b a
f x dx Ai f xi									Ai		f						ti	,
f x dx Ai f xi									Ai		f						ti	,
a					i 0			2	i 0			2			2
где Ai		и ti				– узлы и веса квадратурной формулы Гаусса.

24 | С т р а н и ц а

Теорема 1.

Для квадратурной формулы Гаусса справедлива следующая оценка:

R N M 2 N 2 b a 2 N 3 , N	N 1 ! 4
		.
	2N 3 2N 2 ! 3

25 | С т р а н и ц а

		Кубатурные формулы.
b a			y
f x, y dxdy
0	0	b
П 0; a 0, b

1 способ.

Разобьѐм прямоугольник П точками.

xi	ih,	i 0,1,..., N1
y j	jh,	j 0,1,..., N2
	f x, y dxdy f xi 1/ 2 , y j 1/ 2 h2
Пi , j
b a		N1	N2
f x, y dxdy h2 fi 1/ 2, j 1/ 2
0 0		i 0	j 0

0	a	x

i,j+1 i+1,j+1

Пi, j i,j i+1,j

2 способ (метод последовательного интегрирования). Кубатурная формула трапеций.

	y j 1 xi 1		y j 1	f xi	, y f xi 1, y

f x, y dxdy		f x, y dxdy	h			dy
					2
Пi , j	y j	xi	y j

h42 f xi , y j f xi , y j 1 f xi 1, y j f xi 1, y j 1 – элементарная формула трапеции.

1	2	2	2	2	2	1
1	4	4	4	4	4	1
1	4	4	4	4	4	1
1	4	4	4	4	4	1
1	4	4	4	4	4	1
1	4	4	4	4	4	1
1	2	2	2	2	2	1

f x, y dxdy			h2	Mi, j f xi , y j
f x, y dxdy			4	Mi, j f xi , y j
П			4	i, j
1		2	2	1
	2	4	4	2
	2	4	4	2
M					– матрица весов кубатурной формулы.

2		4	4	2
	1	2	2	1
	1	2	2	1

26 | С т р а н и ц а

Кубатурная формула Симпсона.

			y j 1		xi 1		h	y j 1							h	2	f xi , y j 4 f xi , y j 1/ 2
								f xi , y 4 f xi 1/ 2 , y f xi 1 , y dy
f x, y dxdy					f x, y dxdy
f x, y dxdy					f x, y dxdy		6								36
П	i , j		y	j	x		6	y	j						36
	i , j			j	i				j					f xi 1 , y j 4 f xi 1 , y j 1/ 2 f xi 1 , y j 1
f xi , y j 1		4 f xi 1/ 2 , y j 16 f xi 1/ 2 , y j 1/ 2 4 f xi 1/ 2 , y j 1												f xi 1 , y j 4 f xi 1 , y j 1/ 2 f xi 1 , y j 1
						1		4		2	4	2	4	1
						4		16		8	16	8	16	4
						2		8		4	8	4	8	2
						4		16		8	16	8	16	4
						2		8		4	8	4	8	2
						4		16		8	16	8	16	4
						1		4		2	4	2	4	1
				2 2 N2		2 N1
f x, y dxdy			h1		M i, j f xi , y j
f x, y dxdy			9		M i, j f xi , y j
П			9		j 0	i 0

27 | С т р а н и ц а

Адаптивные процедуры численного интегрирования.

b		x dx
I f		x dx
a
In I
h0 начальный шаг
Разобьѐм отрезок a;b на N отрезков.
h0 N b a
xi ; xi 1
Применяем формулу трапеции.
R	Iih0 / 2 Iih0
R
i		3
		3
Если		R		, то переходим к следующему отрезку, причѐм если	R		, то
Если		R		, то переходим к следующему отрезку, причѐм если	R		, то
		i	N		i	N
			N			N

увеличиваем шаг hi 2hi 1 .

Иначе уменьшаем шаг hi hi 1 / 2 и повторяем те же действия.

28 | С т р а н и ц а

x x , P x

i 1

P x y

1 i

Лекция № 7.

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

Вывод основных формул.

Из определения:

y xi

y xi 1

y xi

– правая разностная производная;

y xi

y xi 1

– левая разностная производная;

y xi

y xi 1 y xi 1

– центральная разностная производная.

Пример.

y ex

0.2

0.4

0.6

1.22140

1.49182

1.82212

y 0

1.22140 1

1.10700

0.2

Определение 1.

Погрешностью аппроксимации называется величина вида i

y xi

yi 1 yi

для

правой разностной производной. Аналогично для двух других формул.

Найдѐм порядок аппроксимации, используя разложение по формуле Тейлора.

y x

y x y x h

y xi

i 1

g t

g t0

g t0 t t0

g t0 t t0 2

...

y xi h y xi

y xi

для правой разностной производной имеет 1-ый порядок точности по h.

max

M 2

h, M

max

y x

Левая разностная производная имеет тоже 1-ый порядок точности по h. Центральная разностная производная имеет 2-ой порядок точности по h.

Можем добиться любого порядка точности:

Pn x yi yi x xi 1!h

yi 1 yi

2 yi x xi x xi 1

2!h2

yi 1 yi

29 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Численные методы

#
28.06.20142.38 Кб21Библиотека Gauss.pas
#
28.06.201497.96 Кб43Задания типовых расчётов.pdf
#
28.06.201435.74 Mб50Инженерные расчеты в MathCAD (Макаров Е.Г.).djvu
#
28.06.20141.12 Mб114Лекции (2010).pdf
#
28.06.20141.68 Mб127Лекции.doc
#
28.06.2014131.07 Кб24Поиск экстремума неявной функции.doc
#
28.06.2014281.48 Кб145Типовые расчёты.docx
#
28.06.201436.86 Кб35Экзаменационная программа.doc