Краткое содержание темы:

В медико-социальных исследованиях, наряду с абсолютными и относительными, широко используются средние величины. Средняя величина – это совокупная обобщающая характеристика количественных признаков, она обычно обозначается буквой М или Х. Средние величины существенно отличаются от статистических коэффициентов:

1. Коэффициенты характеризуют признак, встречающийся только у некоторой части статистического коллектива, так называемый альтернативный признак, который может иметь или не иметь место (рождение, смерть, заболевание, инвалидность).

Средние величины охватывают признаки, присущие всем членам коллектива, но в разной степени (вес, рост, дни лечения в больнице).

2. Коэффициенты применяются для измерения качественных признаков. Средние величины — для варьирующих количественных признаков.

Применение средних величин в медико-социальных исследованиях широко используется при изучении физического развития. Кроме того, средние величины применяются:

1. Для характеристики организации работы лечебно-профилактических учреждений и оценки их деятельности:

а) в поликлинике: показатели нагрузки врачей, посещаемость поликлиники, среднего числа посещений на 1-м году жизни, среднего числа детей на участке, среднего числа посещений при определенном заболевании и т. д.;

б) в стационаре: среднего числа дней работы койки в году; средней длительности лечения при определенных заболеваниях и т. д.;

в) в органах санэпиднадзора: средней площади (или кубатура) на 1 человека, средних норм питания (белки, жиры, углеводы, витамины, минеральные соли, калории) в дневном рационе возрастных групп у детей и взрослых и т. д.

2. Для определения медико-физиологических показателей организма в норме и патологии в клинических и экспериментальных исследованиях.

3. В специальных демографических и медико-социальных исследованиях.

Для расчета средней величины необходимо построить вариационный ряд — т. е. ряд числовых измерений определенного признака, отличающихся по своей величине.

Вариационные ряды бывают следующих видов:

а) ранжированный, неранжированный;

б) сгруппированный, несгруппированный;

в) прерывный, непрерывный.

Ранжированный ряд — упорядоченный ряд; варианты располагаются последовательно по нарастанию или убыванию числовых значений.

Неранжированный ряд — варианты располагаются бессистемно.

Прерывный (дискретный) ряд — варианты выражены в виде целых (дискретных) чисел (окна в избе).

Непрерывный ряд – варианты могут быть выражены дробными числами.

Несгруппированный ряд – каждому значению варианты соответствует определенное число частот.

Сгруппированный ряд (интервальный) – варианты соединены в группы, объединяющие их по величине в пределах определенного интервала.

В статистике принято выделять следующие виды средних величин: мода (Мо), медиана (Ме) и средняя арифметическая (М). Мода – величина варьирующего признака, наиболее часто встречающаяся в совокупности. В вариационном ряду - это варианта, имеющая наибольшую частоту встречаемости. Обычно мода является величиной, довольно близкой к средней арифметической, совпадает с ней при полной симметрии распределения. Медиана – варианта, делящая вариационный ряд на две равные половины. При нечетном числе наблюдений медианой является варианта, имеющая в вариационном ряду порядковый номер (n + 1): 2. Средняя арифметическая величина (М) – в отличие от моды и медианы опирается на все произведенные наблюдения, поэтому является важной характеристикой для всего распределения.

В зависимости от вида вариационного ряда используется тот или иной способ расчета средней. Средняя арифметическая для простого ряда, где каждая варианта встречается один раз, вычисляется по формуле: М = , где - знак суммы, V –отдельные значения вариант, n –число наблюдений. Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле: М= , где - знак суммы, V –отдельные значения вариант, n –число наблюдений, р – частота встречаемости вариант. Одним из наиболее простых и достаточно точных способов расчета средней арифметической является способ моментов, основанный на том, что алгебраическая сумма отклонений каждой варианты вариационного ряда от средней арифметической равна нулю. М= А + i , где А – условно принятая средняя или мода, а - отклонение каждой варианты от условно принятой средней, р – частота встречаемости вариант, n –число наблюдений, i – интервал или расстояние между соседними вариантами. Основные свойства средней величины: 1) имеет абстрактный характер, так как является обобщающей величиной: в ней стираются случайные колебания; 2) занимает срединное положение в ряду (в строго симметричном ряду); 3) сумма отклонений всех вариант от средней величины равна нулю. Данное свойство средней величины используется для проверки правильности расчета средней. Она оценивается по уровню колеблемости вариационного ряда. Критериями такой оценки могут служить: амплитуда (разница между крайними вариантами); среднее квадратическое отклонение, показывающее, как отличаются варианты от рассчитанной средней величины; коэффициент вариации.

Среднеквадратическое отклонение ( ) наиболее точно характеризует степень разнообразия варьирующего признака, без чего нельзя достаточно полно охарактеризовать явление. Для простого вариационного ряда (р =1) среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле . Для взвешенного вариационного ряда по формуле:

, где d = V – M - отклонение каждой варианты от средней арифметической. При числе наблюдений меньше 30 в знаменателе этих формул берется не n, а n – 1 (так называемое в статистике число степеней свободы). При числе наблюдений более 30 уменьшение знаменателя на единицу не имеет практического значения, т.к. существенно не сказывается на конечном результате. Значительно упрощает вычисления расчет среднего квадратического отклонения по способу моментов.

где, величина называется моментом первой степени, а - моментом второй степени.

Методика расчета среднего числа пораженных кариесом зубов у 14-летних юношей по способу моментов

Число зубов(V)	1	2	3	4	5	6	7	8
Частота встречаемости признака (p)	2	4	6	6	8	4	2	1	Σ р = n =33
а	- 4	- 3	- 2	- 1	0	+1	+2	+3
ар	- 8	-12	-12	-6	0	+4	+4	+3	Σ ар=-27
а2р	32	36	24	6	0	4	8	9	Σ а2р=119

Этапы расчета средней арифметической по способу моментов:

1. За условно принятую среднюю (или моду) А принимают варианту, чаще других повторяющуюся в вариационном ряду, например, А = Мо = 5.

2. Определяем а – условное отклонение от условной средней; для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю а = (V – А).

3. Умножаем условное отклонение (а) на частоту встречаемости каждой варианты (р) и получаем произведение (а×р).

4. Получаем сумму Σ а×р = -27

5. Определяем интервал между группами вариант i =1

6. Определяем момент первой степени

7. _{Рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов}

М= А + i

_{Таким образом, можно сделать вывод, что в среднем у 14-летних юношей поражено кариесом 4,2 зуба.}

Для нашего примера среднеквадратическое отклонение равно:

Степень разнообразия (колеблемости) признака в вариационном ряду можно оценить по коэффициенту вариации (отношение среднего квадратического отклонения к средней величине, умноженное на 100%); при вариации менее 10% отмечается слабое разнообразие, при вариации 10—20% — среднее, а при вариации более 20% — сильное разнообразие признака. Сυ = = %

Из теории статистики и эмпирических исследований известно, что выборка, репрезентативно отражающая генеральную совокупность, как правило, обладает следующими свойствами:

• в пределах M ± 1 сконцентрировано 68.3 % вариантов генеральной совокупности;

• в пределах M ± 2 сгруппировано 95.5% вариантов генеральной совокупности;

• в пределах M ± 3 расположено 99.7% вариантов генеральной совокупности. Таким образом, M ± 3 _{охватывает почти весь вариационный ряд.}

Указанная закономерность, получившая название нормального распределения, является одной из ключевых в вариационной статистике, и её следует запомнить. Термин “нормальное распределение” введен в биологическую лексику Гальтоном в 1889 году. Однако ещё задолго до этого оно было хорошо известно математикам, которые это распределение часто называют законом Гаусса – Лапласа. Как видно из рисунка 6, нормальное распределение, или распределение Гаусса – Лапласа, графически может быть отображено симметричной колоколообразной кривой, вершиной которой является свойственная генеральной совокупности средняя величина. При нормальном типе распределения число случаев наблюдений с различной величиной признака располагается симметрично по отношению к середине ряда: от меньшего значения признака к большему его значению. При этом наибольшее число случаев наблюдений приходится на середину ряда.

Распределение вариантов в конкретной выборке далеко не всегда полностью совпадает с нормальным. Наиболее типичными несоответствиями являются: асимметрия, то есть смещение вершины распределения относительно среднего значения, и эксцесс - выраженная плоско - или островершинность распределения [Лакин,1990 и др.]. При асимметричном распределении наибольшее число случаев наблюдений скапливается не на уровне середины ряда, а сдвигается в сторону меньшего значения признака (правосторонняя асимметрия) или в сторону большего значения признака (левосторонняя асимметрия), или же скапливается по концам ряда (двугорбое бимодальное распределение). Правосторонняя асимметрия характерна, например, для распределения такого признака, как число детей в семье. Как известно, в большинстве семей имеется 1-2детей. С увеличением числа детей в семьях соответственно уменьшается число семей. Однако в большинстве случаев всё же можно использовать тесты, основанные на предположении о нормальности распределения. Дело в том, что при возрастании объёма выборки форма выборочного распределения средней арифметической приближается к нормальной. Отсюда следует, что для статистического анализа всегда предпочтительнее иметь многочисленную выборку (n>30).

Рисунок 6. Диаграмма нормального распределения

В медицине с величиной М ± 1σ связано понятие нормы; отклонения от средней (в любую сторону) больше, чем на 1σ, но меньше, чем на 2σ, считаются субнормальными (выше или ниже нормы), а при отклонении от средней больше, чем на 2σ, варианты считаются значительно отличающимися от нормы (патология).

Мерой точности и достоверности результатов выборочных статистических величин являются средние ошибки представительности (репрезентативности). Ошибку средней находят по формулам:

m = ± - для большой выборки, а для малой выборки, где (n<30) средняя ошибка средней арифметической - m = ± , так как чем меньше выборка, тем больше ошибка. Полученный результат записывается как М ± m, это означает, что средняя генеральной совокупности находится в пределах от М - m до М + m.

Совершенно очевидно, что наилучшим методом для повышения точности исследования является увеличение объёма наблюдений. Иными словами, ошибка статистического параметра, вычисленного по данным выборки, будет тем меньше, чем больше число наблюдений, составляющих эту выборку.

Мерой достоверности среднего показателя, наряду с его ошибкой, являются доверительные границы и достоверность разности между двумя средними величинами.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ:

ЗАДАНИЕ №1. Определить моду и медиану вариационного ряда. На основе приведенных данных вычислите: среднюю арифметическую по способу моментов, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, среднюю ошибку средней арифметической