Метод равенства частных критериев.
Равноценными считаются критерии, когда отсутствует информация о важности этих критериев, и в то же время они не соизмеримы, то есть имеют разную физическую размерность.
Решается задача
где
,
Если изобразить это графически, то мы получим:
Решение не является эффективной точкой.
Получено решение, являющееся эффективной точкой.
В общем случае решение может не являться эффективной точкой(не принадлежать области компромиссов), может вообще не быть решений.
Пример.
Решим следующую задачу:
Решается задача
,
где
,
.
Найдем вначале множество
,
для этого найдем такие
,
для которых функции
равны.
Решая квадратное уравнение, получаем:
.
Следовательно:
Найдем теперь
.
Ответ:
.
Метод квазиравенства частных критериев оптимальности.
Исходная задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче
где
,
Мы задаем некоторую
«уступку»
,
чтобы разность критериев не превышала
по абсолютной величине заданной
.
Пример.
Решим следующую задачу:
эта задача сводится к:
,
где
,
.
Возьмем для примера
величину уступки
.
Решим неравенство
.
После упрощения получаем:
После решения вышеуказанного неравенства получаем:
Найдем теперь
.
Ответ:
.
Метод гарантированного результата или метод минимакса.
Этот метод заключается в том, что исходная задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче
полученное решение и будет приниматься за решение исходной задачи многокритериальной оптимизации.
Пример.
Решим следующую задачу:
эта задача сводится к задаче
,
.
Найдем точки пересечения двух функций.
Решая квадратное уравнение, получаем:
.
Ответ:
- гарантированная
точка, является эффективной.
Поиск оптимально - компромиссного решения в области компромиссов.
На практике, находя область компромиссов( множество эффективных точек ), часто приходится определять предпочтительную эффективную точку с точки зрения лица, принимающего решения. Такая точка называется оптимально – компромиссным решением.
При этом значения
частных критериев оптимальности для
двух различных точек
и
являются противоречивыми, то есть
существует набор таких частных критериев
оптимальности, что
и существует множество
индексов
:
где
Замечание: Данное условие записано для случая, когда все частные критерии оптимальности стремятся к минимуму.
Чтобы узнать, какая из двух точек предпочтительнее, необходимо получить дополнительную информацию. Один из подходов к получению этой дополнительной информации состоит в использовании принципа справедливого компромисса.
Решение
предпочтительнее, чем решение
,
если общее абсолютное (или относительное)
уменьшение по одному или нескольким
частным критериям при переходе от
к
и превосходит общее абсолютное (или
относительное) увеличение по остальным
критериям.
Принцип абсолютной уступки:
где
это справедливо при одинаковой размерности.
Если размерность разная, то вводится нормирующий коэффициент:
где
- коэффициенты, приводящие
к одинаковой размерности.
Принцип относительной уступки:
Точка
предпочтительнее
,
если суммарный относительный уровень
уменьшения по критериям, принадлежащим
множеству
больше суммарного относительного уровня
превышения по критериям, принадлежащим
области
.
Содержание
11. Задачи векторной оптимизации. 92
11.1 Основные понятия и определения. 92
11.2 Методы решения задач многокритериальной оптимизации. 95
11.2.1 Метод "обобщенного критерия". 95
11.2.1.1 Основные виды сверток. 95
11.2.1.2 Линейная свертка и ее свойства. 96
11.2.1.3 Методы определения весовых коэффициентов. 97
11.2.2 Решение задач векторной оптимизации при наличии дополнительной информации о важности частных критериев оптимальности. 104
11.2.2.1 Метод выделения главного критерия. 104
11.2.2.2 Метод последовательной оптимизации с учетом жесткого приоритета. 106
11.2.2.3 Метод последовательных уступок. 107
11.2.2.4 Метод равенства частных критериев. 108
11.2.2.5 Метод квазиравенства частных критериев оптимальности. 110
11.2.2.6 Метод гарантированного результата или метод минимакса. 111
11.2.3 Поиск оптимально - компромиссного решения в области компромиссов. 112