2. Методы решения задач многокритериальной оптимизации.

   1. Метод "обобщенного критерия".

      1. Основные виды сверток.

Определение.

Сверткой критериев называется преобразование векторного критерияв скалярный:

обычно называют свёрткой или обобщенным критерием. Понятно, что свертка критериев приводит к однокритериальной задаче оптимизации.

(11.2.0 )

Этот подход, пожалуй, на сегодня является наиболее распространенным среди других для решения многокритериальных задач. Его популярность основана, по крайней мере, на двух факторах :

• "решаемости" преобразованной задачи ;

• во многих случаях реальной возможности свертывания критериев в скалярный без особых потерь в содержании задачи.

Предварительно необходимо все критерии привести к сопоставимому безразмерному виду, то есть произвести их нормализацию. О наиболее распространенных способах нормализации было сказано в главе 1.

Итак, как и выше, исходная задача ( 11.1 .0 ) заменяется задачей ( 11.2 .0 ), поэтому возникает справедливый вопрос: как соотносятся решения этих задач ?

У постановщика задачи здесь могут быть два принципиально различных подхода:

1. переход от постановки ( 11.1 .0 ) к ( 11.2 .0 ) производится путем тщательного анализа, в результате которого постановка ( 11.2 .0 ) полностью заменяет исходную постановку, получением решения задачи ( 11.2 .0 ) завершается работа;

2. признается, что постановка ( 11.2 .0 ) не полностью заменяет постановку ( 11.1 .0 ), поэтому решение задачи ( 11.2 .0 ) анализируется в первую очередь на эффективность.

Для этой цели применяется критерий эффективности, о наиболее употребляемом критерии упоминается в разделе 11.2.2.1

Заметим, что метод обобщенного критерия, как и все методы этого раздела, в лучшем случае, позволяет получить одно или несколько эффективных решений.

Наиболее распространенными свертками являются :

1)

при имеем наиболее употребительную из всех линейную свертку:

2)

3)

Этот список можно было бы продолжить, он постоянно пополняется, но на сегодняшний день наиболее употребительной является линейная свертка :

2. Линейная свертка и ее свойства.

Популярность линейной свертки обусловлена тем, что с одной стороны часто нормализованные критерии обладают свойством аддитивности, с другой стороны коэффициенты можно рассматривать как "удельные веса" критериев, отражающие их важность. И, наконец, для выпуклых задач / всеивыпуклы / конструктивный характер носиттеорема Карлина:

В выпуклой задаче ( 11.1 .0 ) оптимальна по Парето, если существует вектор,

такой, что

(11.2.0 )

и обратно, если оптимальная по Парето, то найдется вектор, удовлетворяющий ( 11.2 .0 ).

Конструктивность этой теоремы можно рассматривать с двух позиций:

1. найти , решив задачу однокритериальной оптимизации:

полученные согласовать с поставщиком задачи, в некоторых случаях такое решение может его устроить. Кроме того , такой подход можно рассматривать как метод получения эффективного решения.

Замечание.

Отсюда не следует, что таким образом мы можем получить все эффективные решения.

2) предварительный анализ задачи иногда позволяет заключить, что эффективные решения образуют некоторую область , которой соответствует достаточно широкий диапазон , откуда следует, что с большой вероятностью для ,осознанно задаваемых поставщиком задачи, будет получено эффективное решение.

Поучительным будет рассмотрение с этих позиций нашего примера ( 11.1 .0 ) :

Применим свертку: .

Решим задачу однокритериальной оптимизации:

Здесь удается применить классический метод, приводящий к простой системе уравнений:

Мы знаем из первой главы, что точка является эффективной. Кроме того, в первой главе мы выяснили, что множеством эффективных точек является отрезок. Применим линейную свертку, фиксировав. Получаем однокритериальную задачу:

Решением будет , откуда видим, что взяв любое, получаем.

Выше было сказано , что значения характеризуют важность критериев. В нашем примере, пусть, то есть в этом случае признаем, чтосущественно менее важно, так как.

Эффективным решением будет :

Теперь пусть, наоборот, критерий признаем существенно более важным, чем, это мы выразим, взяв.

Эффективным решением будет :

Получили , как и следовало бы ожидать, существенно ближе к точке минимума, чем, во втором случае наоборот:существенно ближе к точке минимума, чем.

Существует несколько приемов , позволяющих по постановке задачи определять значения или как часто их называют - весовых коэффициентов.