Элементы теории игр.
Основные понятия и определения.
В рассматриваемых ранее статистических задачах оптимизации выбор решения осуществлялся одним лицом . В реальной жизни существуют задачи, где принятие решения осуществляется несколькими участниками.
Математическая дисциплина, исследующая ситуации , в которых принятие решений зависит от нескольких участников , называется « теорией игр ».
Область приложения теории игр включает математику, экономику, политику, военную стратегию.
Лица, принимающие решения, называются игроками, а целевая функция - платежной функцией. Под игроком могут выступать группы лиц(фирмы, страны и т.д. ).
Выигрыш каждого игрока определяется платежной функцией.
Игра представляет собой совокупность известных всем игрокам правил, которые определяют, что может делать игрок и каковы последствия и выигрыши в результате каждого отдельного их действия.
Ход игры - это действие игрока , заключающееся в выборе одного из вариантов.
Партия - это некоторая определенная совокупность ходов, сделанная игроками.
Существенной чертой любой игры является то, что выигрыш каждого игрока зависит обычно не только от сделанных им ходов, но и от ходов других участников.
Каждый игрок, учитывая свою зависимость от остальных участников, должен выбрать стратегию.
Стратегия - это набор правил, формулируемых до игры, которые определяют выбор варианта в любой из могущих возникнуть ситуаций.
Классификация игр.
Игры классифицируются:
по числу игроков;
по числу стратегий;
по свойствам платежных функций;
по характеру предварительных переговоров между игроками до игры.
Классификация игр по числу игроков.
Различают игры с двумя, тремя и более участниками.
Когда число игроков не меньше трех, то могут создаваться коалиции - группы из двух или более игроков , имеющих общую цель и координирующих свои стратегии.
Классификация игр по количеству стратегий.
Различают конечные и бесконечные игры. Мы будем рассматривать конечные игры.
Классификация игр по свойствам платежных функций.
Различают:
игры с нулевой суммой - когда общая сумма выигрышей игроков равна нулю.(в игре двух лиц выигрыш одного равен проигрышу другого, то есть на лицо прямой конфликт между игроками );
игры с ненулевой суммой(Например, игры двух участников с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. В общей игре с ненулевой суммой имеют место, как правило, и конфликты, и согласованные действия игроков).
Классификация игр по характеру предварительной договоренности.
Различают кооперативные и некооперативные игры.
Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимнообязывающие соглашения о своих стратегиях.
Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной.
Описание игр.
Существует ряд способов описания и анализа игр:
описание в виде дерева игры для игры в развернутой форме.
При таком описании игры указывается:
какие ходы могут делать игроки;
какой информацией во время игры они располагают;
какие варианты можно выбирать;
какими могут быть предельные размеры платежей в конце игры.
Игра в развернутой форме является игрой с полной информацией, если в ней нельзя делать одновременно несколько ходов и если участникам известны выборы, сделанные при предшествующих ходах, включая и случайные ходы. Примерами игр с полной информацией являются шахматы, игра в крестики и нолики.
Пример .
Дерево игры для игры в развернутой форме - на примере упрощенной игры двух лиц в покер.
В этой игре ставка каждого игрока равна 5 у.е. Набор карт в руках игроков может быть «старшим» (С) или «младшим» (М) .
У игрока 1 имеются две возможности: либо раскрыть карты (Р), либо повышать игру (В). При раскрытых картах старшая выигрывает банк, если карты игроков равны, то банк делится пополам. Если игрок повышает игру, то он вкладывает в банк еще 5 у.е.
Игрок 2 либо пасует(П) , либо уравнивает(У). Если он пасует, то игрок 1 выигрывает банк при любых картах. Если игрок уравнивает(вносит еще 5 у.е.),то, если одинаковые карты, то банк делится пополам, если нет- то банк достается тому, у кого «старшая».
Ход 1 - определение ставок и сдача карт(случайный ход).
Ход 2 - игрок 1 либо раскрывает карты, либо повышает игру.
Ход 3 - игрок 2 либо пасует , либо уравнивает.