2. Решение задач векторной оптимизации при наличии дополнительной информации о важности частных критериев оптимальности.

Если среди частных критериев оптимальности можно выделить один наиболее предпочтительный из всех остальных , то в этом случае свёртывание векторного критерия может быть осуществлено с помощью метода выделения главного критерия.

1. Метод выделения главного критерия.

Если среди частных критериев можно выделить один "главный", пусть для определенности это будет, а остальные не столь значимы , то вместо исходной задачи ( 11.1 .0 ) можно рассмотреть следующую задачу:

(11.2.0 )

где - некоторые пороговые значения соответствующих критериев.

( 11.2 .0 ) - задача математического программирования, которая может быть решена одним из существующих методов. Полученное при этом решение будет близко к ожидаемому в том случае, если по существу дела критерий важнее всех остальных и пороговые значения соответствуют реальности. Можно, например, найти как решение соответствующей однокритериальной задачи:

но в этом случае ограничения на будут слабыми и решение задачи ( 11.2 .0 ) будет близко к решению задачи:

то есть критерии слабо влияют на результат.

Довольно распространенным является следующий подход . Выбирается некоторый относительный порог

/ часто он бывает одинаков для различных критериев, так как является безразмерной величиной / отклонения критерия от своего минимума:

где

Как и в предыдущем случае , нахождение , либо их оценок является отдельной задачей.

Вернемся к примеру из раздела 11.1:

Применим метод выделения главного критерия , используя пороговые значения.

Пусть главным критерием будет , а величину порога будем задавать различной:.

.

Решаем геометрически однокритериальную задачу:

Получаем .

Теперь решим задачу при :

Получаем .

И, наконец, положим

Получаем .

Проанализируем полученные результаты и попробуем сделать выводы. Чем большее пороговое значение назначается, тем большее отклонение от своего минимума по неглавному критерию допускается, в результате имеем однокритериальную задачу со слабыми ограничениями на не основные критерии, решение такой задачи будет близко к точке минимума главного критерия на .

В нашем примере, при получили решение, которое совпало с решением однокритериальной задачи / ограничение нане сыграло роли /.

Уменьшением пороговых значений мы ужесточаем требования по близости решения к точкам минимума не основных критериев , что может привести, как в нашем случае при , к приближению полученного решения к точке минимума других критериев , либо может получиться решение, не являющееся эффективным, либо можно получить несовместные условия, не позволяющие получить решения.

Метод выделения главного критерия, как и все последующие методы этой главы, состоит в замене постановки исходной задачи ( 11.1 .0 ) некоторой другой, например ( 11.2 .0 ) , и в решении этой задачи. При этом возможны два подхода:

1. замена постановки производится затем, чтобы работать с этой новой постановкой , не возвращаясь к старой;

2. замена постановки производится только для облегчения процедуры получения решения, которое анализируется с позиций исходной постановки.

В первую очередь полученное решение исследуется на эффективность. Наиболее распространенным условием проверки на эффективность служит следующая теорема:

Теорема. Решение является эффективной точкой тогда и только тогда, когда оно минимизируетна множестве.

Вернемся к нашему примеру и проверим, например, решение, соответствующее .

Для этого необходимо решить задачу:

Такую задачу можно решить чисто геометрически и получим , что - решение этой задачи, следовательно, методом выделения главного критерия примы получили эффективную точку.

Пусть каким-то образом мы получили решение / заведомо мы знаем, что это неэффективное решение, так как оно не принадлежит области Парето /.

Итак, снова решаем задачу однокритериальной оптимизации:

Нетрудно видеть, что здесь допустимой областью будет отрезок , на этом отрезке производная, следовательновозрастает на отрезкеи принимает наименьшее значение на левом конце при, отсюда следует, чтоне является эффективной точкой.

В заключение этого раздела необходимо сделать замечание.

Замечание.

Метод выделения главного критерия позволяет в лучшем случае получить одно из нескольких эффективных решений.

Это замечание остается справедливым и для последующих алгоритмов этой главы. Однако для многих реальных задач этого явно недостаточно, поскольку окончательное решение желательно принимать , зная все или почти все эффективные решения.