114

11. Задачи векторной оптимизации.

    1. Основные понятия и определения.

Напомним, что классической задачей оптимизации или задачей математического программирования является следующая:

найти минимум функции нескольких переменных при ограничениях, или обычно такая задача записывается в векторной форме :

(11.1.0 )

- векторная функция с компонентами

- обычно называется целевой функцией,

- векторная функция ограничений.

Множество называетсядопустимым , то есть допустимое множество – это части пространства , где выполнены ограничения :.

Множество называетсяоптимальным , если оно допустимо и кроме того, на этом множестве принимает минимальное значение.

Такую задачу еще можно назвать задачей скалярной оптимизации, так как - скалярная функция переменной. Поскольку в дальнейшем нам придётся на некоторых этапах обращаться к решению задачи ( 11.1 .0 ), кратко напомним основные моменты : задача ( 11.1 .0 ) может не иметь решения, может иметь одно решение, может иметь более одного решения.

Работы по скалярной оптимизации имеют два основных направления:

• выявление условий единственности решения задачи ( 11.1 .0 ) , либо условий отсутствия решений;

• разработка численных методов решения задачи ( 11.1 .0 ).

Эти два направления тесно связаны, так как разработка численных методов обычно предполагает выполненными определенные условия ,следующие из 1-го направления.

С другой стороны, существуют численные методы, которые в ходе своей реализации выявляют отсутствие решения или его не единственность.

Напомним, что основными численными методами решения задачи ( 11.1 .0 ) являются:

• методы штрафных функций ;

• прямые методы, использующие только значения функций;

• градиентные методы ;

• метод случайного поиска.

И, наконец, в заключение напоминания о задаче скалярной оптимизации, заметим, что в настоящее время существуют самые разнообразные пакеты прикладных программ, решающих задачу ( 11.1 .0 ) . Это пакеты на самых распространенных языках / FORTRAN, BASIC, PASCAL, C/ и для различных вычислительных машин /ЕС, СМ, ПЭВМ/.

Задача, решению которой посвящена данная работа, состоит в нахождении минимума векторной функции

при некоторых ограничениях и может быть записана так :

(11.1.0 )

- компоненты векторной функции , часто их называют частными критериями, поэтому и задачу ( 1.2 ) называют многокритериальной.

В задаче ( 11.1 .0 ) функцию мы называли целевой, поэтому задачу ( 11.1 .0 ) еще называют и задачей многоцелевой оптимизации. Заметим, что в общем случае, для реализации одной цели можно использовать много критериев. Поэтому задачу ( 11.1 .0 ) можно называть задачей многоцелевой оптимизации, предполагая, что одной цели соответствует один критерий.

Итак, мы будем заниматься задачей ( 11.1 .0 ), которая в разных источниках может называться как :

• задача векторной оптимизации;

• многокритериальная задача оптимизации;

• задача многоцелевой оптимизации.

Дело в том, что реальные задачи , а особенно задачи , связанные с созданием АСУ, САПР, задачи системного анализа, теории больших систем и так далее, в основном многокритериальные, поэтому сама жизнь требует умения их решать, что подчеркивает актуальность проблемы.

В настоящее время существуют отдельные исследования как в теоретическом аспекте, так и в сфере создания алгоритмов.

Целью данной работы является попытка обобщения этих исследований, ориентированная в основном на практическое применение, то есть использование конкретных алгоритмов решения с минимальным их теоретическим обоснованием.

С математической точки зрения, задача ( 11.1 .0 ) может иметь решение только в том случае, если оно совпадает со всеми решениями скалярных задач:

Однако, этот вариант, как правило не представляет интереса для практических задач, поскольку в реальных задачах уменьшение одного критерия приводит часто к увеличению другого и возникает проблема сравнимости критериев.

Действительно, какое решение / или/ лучше, например, для двухкритериальной задачи :

1. , ;

2. , .

По-видимому, в данном случае, решения несравнимы.

В дальнейшем будем использовать следующие понятия и определения.

Назовем область -допустимой областью, а -допустимой точкой. - область, где выполнены все ограничения. Критерииназываютупорядоченными по важности, если каждый

предыдущий критерий важнее всех последующих , то есть - самый важный, следующий за ними так далее.

Определение 1.

Из двух точек точканазываетсядоминирующей по отношению к (), если для всехвыполняетсяи, кроме того , по крайней мере для одного:.

Определение 2.

Точка называетсяулучшаемой, если существует хотя бы одна точка , такая, что,

и хотя бы для одного :, в противном случае точкане улучшаемая или эффективная.

Определение 3.

Множество , состоящее из эффективных точек называетсямножеством решений, оптимальных по Парето.

( В. Парето / 1848-1923 / - итальянский экономист, социолог, математик. Впервые ввел понятие " эффективная точка множества ". )

Множество является решением задачи ( 11.1 .0 ), с формальной точки зрения этим можно завершить рассмотрение задачи ( 11.1 .0 ) . Множествостроится затем, чтобы из него, привлекая неформальные критерии можно было бы выбрать некоторое решение. Однако обычно выбор делается в пространстве критериев, а затем в силу взаимно-однозначного соответствия выбирается элемент из. В задаче ( 11.1 .0 ) задает отображение областив некоторую область.называетсяобластью критериев.

Определение 1.

Доминирование остается в силе и для точек из .- элемент. Областьназываетсяобластью согласия, если из любых двух точек этой области одна будет доминирующей по отношению к другой. Если совпадает с, тогда существует единственная точка, являющаяся доминирующей по отношению ко всем другим точкам из, то есть- оптимальное решение задачи ( 11.1 .0 ) .

Определение 2.

Точка называется неулучшаемой, если не существует ни одной точки из , компоненты которой были бы не более компонент неулучшаемой точки / хотя бы по одной компоненте необходимо выполнение строгого неравенства /. Область, вложенная либо равнаяназываетсяобластью неулучшаемых точек.

Давайте рассмотрим следующую задачу :

(11.1.0 )

Графически она представлена следующем рисунке

Рисунок 11‑1

На этом рисунке видно, что для , а также дляоба критерия возрастают, следовательно точки из полуинтервалаиулучшаемы : дляточкадает меньшее значение критериев, аналогично ведет себядля.

Мы видим, что внутри отрезка до точки пересечения графиков обеих функций, т.е. на отрезкеубывает, авозрастает, на отрезкенаоборот:возрастает, аубывает, следовательно, согласно введенным выше определениям - отрезокдля данной задачи является множеством решений, оптимальных по Парето.

На следующем рисунке в пространстве , для этой же задачи представлены области согласия и компромиссов, являющиеся плоскими кривыми, полученными в результате отображения области/ отрезок/ в области.

Такое представление является наглядным пособием и удобным для того, кому предстоит сделать выбор элемента из . С увеличением числа частных критериев оптимальности наглядность теряется.

x	f1(x)	f2(x)
3	1	6
4	3	3
5	9	2

Р

исунок11‑2