Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
Дифференциальные уравнения
Файл:

Лекции (2)

.pdf
Скачиваний:
94
Добавлен:
28.06.2014
Размер:
1.32 Mб
Скачать
☆

ЗАДАЧА О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ.

x, y, z 0

Необходимо соединить точки А и В кривой, лежащей на поверхности и имеющей наименьшую длину.

x x t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y t

 

 

 

 

 

0 t

L

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

x t

 

y t

 

z t dt min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

0

 

x t , y t , z t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x L xB

 

 

 

 

 

 

x 0 xA ,

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0 y

 

 

,

 

y L y

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

 

 

 

 

 

 

 

0 z

 

 

 

x L z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

A

,

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x, y, z

L

 

x t

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

y t z t

 

x t , y t , z t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x, y, z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

x

 

y

 

 

z

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x, y, z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

x

 

y

 

 

z

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

x, y, z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

x

 

y

 

 

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

1.

Если выбрать в качестве параметра натуральный, то x

y

z

x

x, y, z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x, y, z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

x, y, z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70 | С т р а н и ц а

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА СФЕРЕ.

x

2

y

2

 

z

2

R

2

x, y, z x

2

 

y

2

z

2

R

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2x 0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x x y y z z 2

x

 

y

 

 

z

 

0

y 2y 0

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2z 0

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xx

 

2x x 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

 

y

 

 

z

 

 

 

x

y

 

 

z

2R

 

0 1 2R

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

x 0

 

 

 

 

 

x t

a cos

t

 

b sin

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

R

 

 

 

 

1

 

 

R

 

 

x t

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y

 

 

 

1

 

y 0

 

y t a

 

cos

t

 

 

b

sin

t

 

y t

 

 

a

 

 

cos

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

2

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z t

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

1

 

z 0

 

 

 

 

 

 

z t

a

 

 

 

t

 

b sin

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

R

 

 

 

 

3

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r t

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

2

 

 

2

cos

 

t

 

 

 

 

 

 

 

sin

2t

 

2

sin

 

 

 

t

R

 

 

r t , r

r

 

 

a

 

2

 

2 a, b

 

 

b

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. t 0 a

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Дифференцирование по t a, b 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3.b R2

0

t

 

b

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

R

 

b

 

sin

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

2R

2

 

t

 

 

t

 

t

R

r

t a cos

R

b sin

R

 

 

 

Геодезические линии – части дуг окружностей.

71 | С т р а н и ц а

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА.

I.Краевые задачи.

1.Постановки краевых задач.

2.Тождество Лагранжа. Формула Грина.

3.Теорема о тривиальности решения однородной краевой задачи для уравнения L[u] = 0. Единственность решения неоднородной краевой задачи.

4.Неоднородная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Существование и единственность функции Грина.

5.Неоднородная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Представление решения с использованием функции Грина. Физический смысл функции Грина.

6.Первая краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Принцип максимума. Теоремы сравнения.

7.Первая краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Априорная оценка решения.

8.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений. Теорема Стеклова (без доказательства).

II.Вариационное исчисление.

9.Функционалы. Сильная и слабая дифференцируемость функционалов.

10.Необходимое условие локального экстремума функционала.

11.Дифференцируемость простейшего функционала вариационного

исчисления

J y

b F x,

a

y x ,

y x dx

.

12.Основная лемма вариационного исчисления.

13.Лемма Дюбуа-Реймона.

14.Уравнение Эйлера. Задачи со свободными и закреплёнными концами. Естественные граничные условия.

15.Некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

16.Задача о брахистохроне.

17.Задача с подвижными концами. Условие трансверсальности.

18.Задача Больца.

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. Функционалы вида J y

F x, y, y

 

dx .

Необходимое условие экстремума.

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система уравнений Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Функционалы вида

 

J y

F x, y, y , y ,..., y

 

dx .Необходимое условие

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

экстремума. Уравнение Эйлера и естественные граничные условия.

21.Минимизация выпуклых функционалов.

22.Вторая вариация функционала. Необходимое условие экстремума в терминах второй вариации.

72 | С т р а н и ц а

23.Условие Лежандра.

24.Классические достаточные условия экстремума для простейшей задачи вариационного исчисления. Усиленные условия Лежандра. Усиленные условия Якоби. Формулировка основной теоремы (без доказательства).

25.Существование положительных решений уравнения Якоби и модифицированного уравнения Якоби.

26.Доказательство теоремы о достаточных условиях экстремума простейшей задачи вариационного исчисления.

27.Абстрактная изопериметрическая задача. Необходимое условие экстремума.

28.Классическая изопериметрическая задача. Необходимое условие экстремума. Задача Дидоны.

29. Вариационные задачи на условный экстремум для функционала вида

 

b

 

 

J y

F x, y, y dx

 

a

 

с голономными связями.

30.Задача о геодезических линиях. Геодезические линии на сфере.

31.Понятие о вариационных задачах на условный экстремум для функционала

вида

 

b

 

 

J y

F x, y, y dx

 

a

 

с неголономными связями.

73 | С т р а н и ц а

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности