Лекции (2)

Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

F x, y, y dx extr

нег олономные условия связи

x, y, y 0,

нег олономные условия связи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

x C4 2eC3 S a dS C5 2 на a,b

z x

на a,b

x U x z x

C C

C0 0

Возьмём 0

Лемма 13.3.

На a,b существует решение уравнения Риккати:

1 P

если выполнены условия теоремы 13.1. и

достаточно мало.

13.8

Рассмотрим

13.2. Убедимся,

что

P	dU

	dx
	dx	, где U 0	– решение уравнения (13.7) из леммы
U		, где U 0	– решение уравнения (13.7) из леммы
U

удовлетворяет уравнению Якоби.

dU 1 dU

dx U

P 2

60 | С т р а н и ц а

Лекция № 13.

Доказательство теоремы 13.1.

h J y

h C1 a, b ,

a,b

t J y0 th , 1 J y0 h , 0 J y0

1 0 0

h J y

J y

, h

2 J y

, h r h

P h 2 Qh2 dx

2 J y0 , h

2 h h h2 dx 0 C1 a, b

h C1 a, b .

P h 2 2 h h Q h2 dx,

2 J y0 , h

Q 0 Q

, 0

1 P

2h2

2 J y0 , h P h 2 dx

1 P h 2

2 h h

С0 h 2 dx, C0 0

1 P

полный квадрат

r h

x, y h, y

h F x, y , y h 2 dx

b 2 F

x, y h, y h

F x, y , y hh dx

y y

0 0

2 F x, y h, y h F x, y , y h2dx

x, y

x h x , y

x h x a, b M

, M

y0 x M

0,1

h C1 a,b

1 h x 1, h x 1

x M , M

M 1 F

равномерно непрерывна на П "пи",

г реч. ,

т.е.

y y

0 : F

x, y y, z z F

x, y, z ,

x, y y, z z , x, y, z П

y y

y , z

h 2

h2 dx,

h max 1 h ,

3 h

2 h h

2 h ,

h max F

x, y

h, y

h F

x, y

, y

a,b

y y

h C1 a ,b

h max F

x, y

h, y

h F

x, y

, y

a,b

y y

h C1 a ,b 0

h max F

x, y

h, y

h F

x, y

, y

a,b

h C1 a ,b 0

61 | С т р а н и ц а

2 h h h

r h

h x h a h S dS h S 1dS неравенство Коши

Буняковског о

x b a

r h

dx b a

h 1 b a

dx 0

a ,b

обозначим h

J y

h J y

dx h

dx h 0

1: h

a,b

a ,b

J y	h J y	,	h	C	a,b	y	0	локальный
0	0			C	a,b		0
				1

минимум.

Пример 13.1.

						1		b						dx				b				ydx
J y								y			y			dx				2 x				ydx
										2			2								2
						2		0										0
									y b b			2
y 0 0,									y b b
y		x			x		2	экстремаль
y	0	x			x			экстремаль
	0
b y								0	локальный минимум
								0
J y				h					J y			b											b	2					hdx		1		b	h								dx
			0							0					0										x						1								h
			0							0					0
													y h yh dx															2													2
																												2									2				2
												0											0								2		0

																																			1	2	J y			,h
																																					J y			,h
																																			2				0
J y					, h 0																														2
J y					, h 0
			0
h x sin									x
h x sin									b
									b			1								x							x						b
J y				h J y								1			b		2			x							x					2	b					2
J y				h J y														cos	2			sin				2				dx									1 0
																			2							2
			0							0		2				b	2			b							b				2 2							2
												2			0	b				b							b				2 2				b
y	0	не локальный											min				и не локальный												max .
	0
b точка локальног о min

62 | С т р а н и ц а

				Лекция № 14.
			ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
			АБСТРАКТНАЯ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА.
J y , y			– функционалы, заданные на нормированном пространстве Y.
J y, h , y, h
			J y extr
				y C
				y C
				0
M y Y			\| y C
			0
J y , y			сильно дифференцируемы, y, h непрерывна по y.
Введём следующий функционал (формула Лагранжа):
L y L y, J y y , R множитель Лаг ранжа

L		y, h 0 h Y необходимое условие экстремума.

J y, h y, h 0 h Y
	y C
	y C
		0
Пусть y0			– точка локального экстремума.

(14.1)

Лемма 14.1.

Пусть	l1, l2	– линейные функционалы на Y,
Тогда	C : l2	h Cl1 h h Y


I. l1 h 0 l2 h 0 имеет место (14.2);
II.	l1 h 0 h0 Y : l1 h0 0

l	h 0 h : l h 0	l	h 0 l h 0 .
2	1	2	1
			14.2

h Y

l h

h l

l h 0 условие леммы l

h 0

l h

h Cl h 0

h l

h Cl

h Y

С не зависит от L.

Теорема 14.1.

Пусть

y0 M является точкой локального экстремума в задаче (14.1), но y0 не

является стационарной точкой функционала y0 , h 0 .

Тогда

y0 является стационарной точкой функционала Лагранжа при некотором

выборе множителя , т. е. J y0 , h y0 , h 0 .

y0 M – точка локального экстремума.

63 | С т р а н и ц а

1) Докажем, что Фиксируем h, h0 Y :

y	, h 0 для некоторого h Y J y		, h 0 для того же h.
0		0
y	, h	0
0	0

y y		0	th Sh , t, S R
		0			0
y M y C
					0
y	0	th Sh C				0	0
	0				0	0
V t, S 0							14.3
V t, S y				0	th Sh			C
				0			0	0
!S t :V t, S t 0 t ,

Теорема о неявной функции.

1)t 0, S 0 V 0,0 0

2)V C U 0,0

точки

0,0 ,

V 0

V t, S lim

V t t, S V t, S

lim y0 t t h Sh0 y0

th Sh0 y

th Sh , h

t 0

V t, S y

th Sh , h

V 0,0 y

, h

S 0 0

0,0

S 0

0,0

S t

S t S 0

lim

S 0 0

t 0

S t

t при t 0

t J

th S t

t ,

h ,

t 0

точка локальног о экстремума функции 0 0

0 0 lim t 0 lim

J y0 th S t h0 J y0

lim

J y0 ,th S t h0

th S t h0

t 0

o th S t h0

th S t h0

J y

, h

0 J y

, h J y

, h 0

lim J

, h

lim

th S t h0

t 0

2) l1 h y0 , h , l2 h J y0 , h

По лемме 14.1:

C0 : l2 h J y0 , h C0l1 h

J y0 , h C0 y0 , h 0 h Y C0 .

64 | С т р а н и ц а

Лекция № 15.

КЛАССИЧЕСКАЯ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА.

J y extr

y C

...,

y C

J y F x, y, y dx

G x, y, y dx

y J y

k 1

F x, y, y

y dx

k k

k 1

Пусть

– точка экстремума, тогда

либо

, h 0

для некоторог о k Искомое y искать среди решений уравнения Эйлера

функционала

k y

либо

, h 0

для некоторых ,

,...,

k k

k k y

k 1

Пример 14.1. (Задача Дидоны)

	b
S y y x dx max
	a
		b	1 y x dx l,		l b a	**
y			1 y x dx l,		l b a	**
				2
		a
L	y	b	y	1 y x	dx
				2

		a
		a

Если y y0 – стационарная точка функционала Эйлера для этого функционала.

, то выполняется уравнение

65 | С т р а н и ц а

1)		d				y		0				y			C y C y x C x C
1)		dx			1 y x			0			1	y x			C y C y x C x C
		dx			1 y x						1	y x				2		0	0	1
							2							2		2		0	0	1
							2							2
y x 0, т.к.							y a 0,		y b 0 быть не может,										т.к. l b a
			d				y							d			y			y
2)			d				y			1 0				d			y		1	y
2)						1 y x				1 0				dx		1 y x			1	y x
			dx			1 y x								dx		1 y x			1	y x
								2									2				2
																			x C
																			x C
				y									x C							2
				y				2			2		x C				2		2
			2		2		x C		y						2	1 y x		y			2
						2	x C		y						2	1 y x		y			2
																				2
	1 y x																		1	x C
																			1
																				2
y					2		2				*				2		2		2
y						x C		C			*	y C				y C
									1								1
Искомая кривая – дуга окружности с центром в точке C,C1																					,

C a b 2

	x C
	y	x C
	y	2
	2	2
		x C
	– радиус.

* ** С1

66 | С т р а н и ц а

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ПРИ НАЛИЧИИ ГОЛОНОМНЫХ И НЕГОЛОНОМНЫХ УСЛОВИЙ СВЯЗИ.

	x ,	y			x , ...,
y x y	x ,	y		2	x , ...,
1				2
			a,b
F x, y, y C			a,b
		1

y	n

1	a,
C

	b

J y F x, y, y dx extr
	a
	0, 1 i	M n
x, y	0, 1 i	M n
i
b

	15.1
голономные условия связи	15.2

Формальная схема вывода:

L		b	F x, y, y	M		x		dx
L	y		F x, y, y			x	x, y x	dx
					i	i
		a		i 1

	d					M
						M
		F		F				0, 1 j n
	dx		y	y		i	i y
	dx		j		j	i 1		j
			j		j			j
				0, 1		j m
i	x, y			0, 1		j m
i

15.315.4

Обоснование.

не

зависимы

по

y1, y2 ,..., yn

, т. е. один из Якобианов

Пусть

...

x, y

1y j

...

D ,

,...,

x, y

2 y j

отличен от нуля.

D y

, y

,..., y

...

x, y

x, y ...

x, y

M y j

Теорема 15.1.

Пусть

–

решение задачи (15.1), (15.2). Тогда при соответствующем выборе

множителей Лагранжа

	,	,...,
1	2	n

вектор-функция


y	0
	0

удовлетворяет условиям

системы уравнений (15.3) и условиям связи (15.4). Предполагается, что функцииi x, y дважды непрерывно дифференцируемы и независимы.

Фиксируем некоторый								x0 a,b
x0	, y0 x0

1 x, y1 , y2 ,..., yn 0
		x, y , y			,..., y	0
	2	x, y , y			,..., y	0
	2		1	2	n		по теореме о неявных функциях

...

			x, y1				0
m			x, y1	, y2 ,..., yn			0

				m	n m

i x, 1 x, ym 1, ym 2 ,..., yn , 2 x, ym 1, ym 2 ,..., yn ,..., m x, ym 1, ym

	m
			0, m 1 j n
y j		i yk k y j
	k 1

y		1	x, y	m 1	, y	m 2	,..., y	n
1		1		m 1		m 2		n
y2	2 x, ym 1 , ym 2 ,..., yn

...	m x, ym 1, ym 2 ,..., yn

ym

2 ,..., yn , ym 1, ym 2 ,..., yn 015.5

J y F x, y, y dx

67 | С т р а н и ц а

x, y

, y

,..., y

, y

,..., y

,...,

, y

,..., y

,...,

, y

,..., y

m 1

m 2

F x,

m 1

m 2

m 1

m 2

m 1

k x

k y

l m 1

y x y

x, y

F x, y

m 1

, y

m 2

,..., y

, y

,..., y

m 1

m 2

k y

k 1

k y

k 1

Fy k

15.6

		n
					y
k xy	j		k y y	j	l
	j		l	j
		l m 1


d

dx	k y	j
dx		j

15.6

k y

k 1

0, m 1

j n

k y

k 1

0, 1 k m

i y

i 1

D ,

,...,

0 система

разрешима

,...,

D y

, y

,..., y

0 15.5

m 1 j n

i y

k y

i y

k 1

i 1

* , **

0, 1 j n

Fy Fy

i i y

i 1

68 | С т р а н и ц а

Лекция № 16.

ПОНЯТИЕ О НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЯХ.

Необходимые условия экстремума:

x, y, y

x, y, y dx

i 1

Система уравнений Эйлера:

0, 1 i n

i i y

i 1

x, y, y 0

Если

– точка экстремума, то 1, 2 ,..., m :

выполнены уравнения Эйлера.

69 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
28.06.201437 Кб17Контрольная работа (варианты).docx
#
28.06.20142.08 Mб146Лекции (1).doc
#
28.06.20141.32 Mб94Лекции (2).pdf
#
28.06.201436.35 Кб17Экзаменационная программа (2010).doc
#
28.06.201473.31 Кб38Экзаменационная программа.pdf