Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Лекции (2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Определение 1.16.

Пусть

y0 M . Назовём элемент

вариацией) аргумента, если 0 :

Теорема 1.3.

(Необходимое условие экстремума Пусть функционал J определён в

h Y допустимым приращением

y0 th M t , .

при наличии ограничения) некоторой окрестности точки y0

(допустимой

и имеет в ней

локальный экстремум при условии		y M
вариация функционала	J , то J y0	, h 0
аргумента y.

. Если в точке

существует первая

для всех допустимых приращений h

Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 1.2 с тем единственным отличием, что вариация h не произвольная, а допустимая.

30 | С т р а н и ц а

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПРОСТЕЙШЕГО ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Рассмотрим простейший функционал вариационного исчисления

		J y	b	F x, y x , y x dx ,
		J y		F x, y x , y x dx ,

заданный на	Y C		a		F x, y, z
заданный на	Y C	a,b . Подынтегральную функцию			F x, y, z
	1

2.1

часто называют

интегрантом. Предположим,

F ,	F C a, b R
y	z

что

R .

F C a,b R R

и существуют частные производные

Теорема 2.1.

Функционал (2.1) сильно дифференцируем, причём

dJ y, h	b	F x, y x , y x h x F		x, y x , y x h x dx

		y	y

2.2

Фиксируем функцию

a,b .

Обратим внимание

y C

l h dJ y, h является линейным непрерывным.

Заметим, что

J y h J y F x, y x h x , y x h x F x, y x , y x dx

F x, y x th x , y x th x h x dt dx

F x, y x th x , y

l h h ,

г де

x,t h x

x, y h x dt dx

1	x,t F x, y x th x , y x th x F x, y x , y x ,
	y	y
2	x,t F x, y x th x , y x th x F x, y x , y x .
	z	z

на

то, что функционал

th x h x dt dx

Заметим, покажем,

что

l(h)

представляет
o	h	1	a,b	.

		С

собой линейный непрерывный функционал и

Поскольку

Функции Fy и Fz параллелепипеде

		C a,b , то	M 0 : y x th x M ,
y , h				y x th x M t 0,1 .

непрерывны, а поэтому и равномерно непрерывны на замкнутом

a,b M , M M , M .

				1	x,t

						2 b a
Поэтому 0	0 : h					2 b a		x a,b t 0,1 .
Поэтому 0	0 : h	1	a,b					x a,b t 0,1 .
		C	a,b	2	x,t

							2 b a
							2 b a

Таким образом, для h			имеем	h	b 1		x,t		x, y dt	dx . Это и
Таким образом, для h	1	a,b	имеем		b 1		x,t	2	x, y dt	dx . Это и
	C	a,b		h C1 a,b		1		2
				h C1 a,b	a 0

означает, что функционал J сильно дифференцируем и справедлива формула

(2.2).

31 | С т р а н и ц а

Замечание.

Поскольку функционал

дифференцируем, причём

J сильно

J y, h	b	y
		y
		F x,
	a

дифференцируем, то

y x , y x h x F	x, y x , y x
y

он

h x

ислабо

dx .

32 | С т р а н и ц а

Лекция № 6.

ОСНОВНАЯ ЛЕММА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ЛЕММА ДЮБУА-РЕЙМОНА.

Определение 3.1.

a,b , называется финитной на этом отрезке,

Функция

, определённая на отрезке

если 0,b a : x 0 x a, a и x b ,b .

Определение 3.2.

Обозначим через C0 a,b множество всех заданных на a,b финитных бесконечно

дифференцируемых функций. Ясно, что C0 a,b – линейное пространство.

Пример 3.1.

Положим

t 1,1 ,

1 t 2

t 1,1

, и положительна при

Эта функция

бесконечно

дифференцируема

на

t 1,1

. Взяв

a,b и x

x x

, t

при достаточно малом 0 мы получим

x 0,

x x

функцию

a,b такую, что

x x

x 0,

Теорема 3.1.

(Основная лемма вариационного исчисления)

Пусть функция

f C a,b удовлетворяет тождеству

Тогда

f x 0

f x x dx 0 C0 a, b

на a,b .

3.1

В силу непрерывности функции достаточно показать,										что f x 0	x a,b .
Предположим противное: x0 a,b : f x0 0 . Пусть для определённости											f x0 0 .
Тогда существует						-окрестность точки x0			, в которой	f x 0 . Возьмём в
тождестве (3.1) функцию x0 , и получим
	b			x				1
	b	0	, x dx	0		0	, x dx	1
		0				0
0		f x x			x			t dt 0 .
	a			x				1
				0

Полученное противоречие доказывает теорему.

33 | С т р а н и ц а

Лемма 3.1.	g C a,b удовлетворяет интегральному тождеству
Пусть функция	g C a,b удовлетворяет интегральному тождеству
	b	g x h x dx 0	0	a,b
			0
			h C

	a
Тогда g const .

3.2

Фиксируем функцию

C0 a,b и положим

		C				a,b :
	0
				0
			x
h x					S

			a

b
0
a
	S
0

x dx 1.
	b	d


	a

Возьмём произвольную функцию


dS . Заметим, что h C a,b . Из
	0

интегрального тождества (3.2) следует, что

g x

0 h C a,b

g x C x dx 0

h C a,b ,

g x 0

x dx .

В силу основной леммы вариационного исчисления

g C0

Теорема 3.2.

(Лемма Дюбуа-Реймона)

Пусть функции

f , g C a,b

удовлетворяют интегральному тождеству

g x h x f x h x dx 0 h C

a,b

g C a,b

Тогда

первообразную F x

f S dS для

Вычислим

функции

f и в силу

интегрирования по частям получим

a,b .

g x F x h x dx 0 h C0

x .

Отсюда в силу леммы 3.1 имеем g x F x C и g

x f

где

3.3

формулы

34 | С т р а н и ц а

ПРОСТЕЙШАЯЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ЗАДАЧА С ЗАКРЕПЛЁННЫМИ КОНЦАМИ). УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА.

Найти точку экстремума функционала

	b
	J y F x, y x , y x dx
на пространстве Y C	a
на пространстве Y C	a,b при дополнительных условиях
1
	y a ya	y b yb

J y F x, y x , y x dx extr

y a y

y b y

Предположим, что

a,b – точка экстремума для задачи (4.3).

В силу необходимых условий экстремума

J y0 , h 0

для любых допустимых значений h

a,b h C

a,b

F x, y x , y x h x F x, y x , y x h x

dx 0 h C

g x

f x

h b 0

h y y

C1 a,b , h a

F x, y

x , y x F x, y

x , y x

Уравнение Эйлера для функционала (4.1)

F x, y x , y x F x, y x , y x

y a y

y b y

4.14.2

4.3

4.44.5

Определение 4.1.

Решение уравнения Эйлера (4.4) принято называть экстремальным функционалом (4.1). Решения (4.4), (4.5) называются экстремалями задачи (4.3).

Пример 4.1.

Задача поиска экстремума функционала

J y 2 y 2 y2 dx extr

0
y 0 0			1
y 0 0	y		1
		2

35 | С т р а н и ц а

F y			y
	2			2
F	2 y
y
F	2 y
y
2 y 2 y 0 y y 0 y x C sin x C					2	cos x
y 0 C				1	2
y 0 C		2	0
		2

y	C 1
	2		1
	2
y x sin x экстремаль задачи

36 | С т р а н и ц а

Лекция № 7.

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА.

		b
J y F x, y x , y x dx extr
y a		a		y b y
y a		y	a	y b y
			a	b
	d	F x, y x , y x F x, y x , y x 0
		F x, y x , y x F x, y x , y x 0
	dx	y		y
	dx
Случай 1.
F F x, y
	d	F x, y x , y x F x, y x , y x 0 F x, y x 0 нелинейное уравнение

	dx	y		y	y
	dx

Пример 5.1.

J y y2dx extr

F y2

2 y 0 y x 0

Случай 2.

F F x, y, y A x, y B x, y y

B y

F B

B y A

B y

x, y x

Если A

B 0 0 y x удовлетворяет

U x, y : A U ,

B U

F x, y, y dx

U x, y x dx U b, y b U a, y a

A By

B	x, y x 0 нелинейное уравнение
x

37 | С т р а н и ц а

Случай 3.
F F y
	d	F	0	F y	C y C y x C x C
		F	0	F y	C y C y x C x C		2
	dx	y		y	1	1	2
	dx
				строго монотонна по y

Случай 4.

FF x, y

dxd Fy x, y 0 Fy x, y C

В результате свели уравнение второго порядка к уравнению первого порядка.

Случай 5.

F F y, y

y x , y x F y x , y x 0

F C

a, b

Пусть y ,

y F 0

| y

y y

y y F y F y F y 0

F y F

y y F y 0 F y

y y

F y F 0

F y, y F

y, y y C

В результате свели уравнение второго порядка к уравнению первого порядка.

38 | С т р а н и ц а

Пример 5.2.

(Задача о брахистохроне)

Найти кривую, соединяющую две точки.

mgy m

2gy

1 y

2gy

dx T y min

2gy

в силу преобразований для случая 5

y, y

F y, y

Fy y, y

1 y

2gy

1 y

2gy

1 y

2gy

1 y

2gy

1 y

C ,

0 y

C y

y 1 y

2gC

Выбираем положительное значение корня, т. к. y x возрастает (см. рисунок).

C y

1 cos t

y t C sin

x t

y t

C cos

cos

x t

C sin

sin

1 cos t x t

t sin t C

t sin t

y t

C sin

cos

x t

Ответ:

C1 y

y t

1 cos t

уравнение циклоиды

С1

x t

t sin t

39 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
28.06.201437 Кб17Контрольная работа (варианты).docx
#
28.06.20142.08 Mб146Лекции (1).doc
#
28.06.20141.32 Mб94Лекции (2).pdf
#
28.06.201436.35 Кб17Экзаменационная программа (2010).doc
#
28.06.201473.31 Кб38Экзаменационная программа.pdf