Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Лекции (2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Замечание.

Для всякой функции

C 0, l

ряд (5.4) сходится в среднем

			2	l		N			2
				l					x dx 0
f
f	c	k			f x	c		x
	k	k				k	k		N
	k 1			0		k 1

Свойство 5.5.
Пусть		q 0 ,			тогда в случае
имеем		n 0			n 1.
Умножим равенство							L n
l	n		l		n	n	0	n
		dx
	p			q		dx p 0
	2				2
0			0

краевых условий типа I, II, III, IV из теоремы

n n

на n

и проинтегрируем результат по x:

0 p l l

2.1

	2	dx 0
	n	dx 0
	n

20 | С т р а н и ц а

МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА. ФОРМУЛА КОШИ.

Определение 6.1.

Пусть А – квадратная матрица. Введём матричную экспоненту

			t	k
e	tA		t		A	k
	tA					k
		k 0	k!
		k 0

Определение 6.2.

Сходимость ряда понимается как сходимость последовательности частичных

сумм

в пространстве матриц с нормой

A sup

k 0

x 0

Из неравенства

Sn Sm

A k

следует

фундаментальность (а

k m k!

потому и сходимость) последовательности частичных сумм.

Замечание.

Обратим внимание на то, что сходимость в пространстве матриц в силу его конечномерности эквивалентна поэлементной сходимости.

Пример 6.1.

Пусть	1		0		0
Пусть	A			,	B
		0	2			0
		0	2			0

1

0

et		0			1		t
. Тогда etA				,	etB		.
	0	e	2t			0
	0	e				0	1

Многие свойства матричной экспоненты аналогичны свойствам скалярной экспоненты. Например,

0 A

Однако, необходима осторожность. Например,

t A B

Пример 6.2.

1 1

t A B

tA tB

A B

и e

0 2

Покажем, что

e t t A

etA

e tA E

Действительно,

lim

k 1

t 0

k 1

Таким образом, матрица Y t etA является решением задачи Коши

0 E

Следовательно она является фундаментальной матрицей для системы

y' Ay .

Отсюда, в частности, следует, что матрица etA

невырожденная.

21 | С т р а н и ц а

Теорема 6.1.

Для решения задачи Коши

справедлива формула Коши

								t
y' t				Ay t			f	t

	y t	0	y		0
		0			0
			t t	A		t		t S A		S dS
						e
									f
y t e			0		y0				f
			0
						t
						0

6.16.2

6.3

Ясно, что вектор-функция, определяемая формулой (6.3), удовлетворяет начальному условию (6.2). Покажем, что она удовлетворяет уравнению (6.1)

t t

t S A

y t

t t

t S A

f S dS

A e

		t t	A	t	t S A

f S dS	Ae			Ae		f	S dS f t
f S dS	Ae	0	y0	Ae		f	S dS f t
		0
				t
				0
			t
f t Ay t f			t

22 | С т р а н и ц а

РАЗРЕШИМОСТЬ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим краевую задачу

				a t b

y' t Ay t f t ,
		,
Ly a l	a		Ry b l	b

y t y1				t ,..., ym t				– искомая вектор-функция,
							T
							T
A m m ,					L na m ,			R nb m – заданные матрицы,
	C	n	,		C	n	– заданные вектор-столбцы,
la	C	n	,	lb	C	n	– заданные вектор-столбцы,
		a				b
	C a, b				– заданная вектор-функция.
f	C a, b				– заданная вектор-функция.

Теорема 7.1.

Краевая задача (7.1), (7.2) однозначно разрешима при любых только тогда, когда:

1) na nb m


f ,	l	a	,	l	b
		a			b

7.17.2

тогда и

2)		L		0
2)	det			0
			b a A
	R e

t a A

t S A

Общее решение системы (7.1)

имеет вид

f S dS .

y t

Lc l

Подставляя эту функцию в краевые условия, имеем

b a A

b S A

R e

S dS

Относительно вектора

получилась

система

линейных

алгебраических

уравнений

7.3

b a A

R e

b S A

f S

Матрица системы имеет

na nb

строк и

столбцов. Для того, чтобы решение

было единственно, необходимо,

чтобы

na nb

m .

В силу теоремы Кронекера-

Капелли условие совместности имеет вид

rank

b a A

rank

b a A

b S A

S dS

R e

Если na nb m , то, взяв

, за счёт выбора

всегда можно сделать

ранг расширенной матрицы больше на единицу.

Таким образом, условие 1) необходимо для однозначной разрешимости краевой задачи. Следовательно, мы имеем дело с системой линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Для такой системы однозначная

23 | С т р а н и ц а

разрешимость имеет место

2).

Пример 7.1. Рассмотрим задачу

t py

t py t f

0 l

1 l

В рассматриваемом случае

cos pt

sin pt

etA

cos pt

sin pt

тогда и только тогда, когда выполнено условие

0	p		L 1	0 ,	R 0	1 .
		,	L 1	0 ,	R 0	1 .
	0
p	0

Эту формулу полезно получить, исходя или (другой способ), решая задачу Коши однозначной разрешимости имеет вид

из

	определения матричной экспоненты
	t AY	. В силу теоремы 7.1 условие
	0 E

	L			1	0
det		A	det			cos p 0 p	2	k,	k Z .
R e			sin p		cos p		2

Пример 7.2.

						p
Пусть	a 0,	b 1,		A			0
Пусть	a 0,	b 1,		A			0
							0
							0
	e pt		1		0

Тогда e A 0			1		0		,
		0	0	e	pt
		0	0	e
Уравнение		p 2ch p 0

0	0			1	0	1
				1	0	1			p		1 .
0	0	,	L				, R 1		p		1 .
					1	0
0				1	1	0
0	p

R e A e pt					e pt ,			L				1	0	1
R e A e pt				p	e pt ,		det	L		det		1	1	0	p 2ch p
									A
								R e				e pt	p	e pt

не имеет вещественных корней.

24 | С т р а н и ц а

Лекция № 5. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.

ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ. ЗАДАЧА ДИДОНЫ.

В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската брахистохроне (от греч. brachistos – кратчайший и chronos – время):

«Точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой следует соединить кривой, обладающей тем свойством, что материальная точка скатится из точки А в точку В за минимальное время».

m
		2
	2			mgy			2gy
	2

	x				1 y
	x					2
t			x
t
					x
					x	y
					1	y
		x	B			2
T					2gy		dx
		x	A		2gy
		x

					Искомая кривая даёт минимум величине
удовлетворяющих условиям								y xA 0,	y xB H .

T y

среди всех функций

y x

Экспериментальными задачами человек интересуется с античных времён. В Древней Греции уже давно (во всяком случае, до VI века до н. э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (решение изопериметрической экстремальной задачи); шар имеет максимальный объём среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопифанной экстремальной задачи).

История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н. э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнём, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген.

Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющего заданную длину, при котором площадь участка максимальна. Если знать экстремальные свойства круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину.

25 | С т р а н и ц а

ФУНКЦИОНАЛЫ, СИЛЬНЫЙ И СЛАБЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА.

Определение 1.1.

Пусть Y – вещественное нормированное пространство. Функционалом называется

отображение	J	, ставящееся в соответствие каждому элементу	y Y	вещественное
число J y .
Функционал	J	может быть задан не на всём пространстве Y,		а только на
некотором его подмножестве M.

В вариационном исчислении наиболее часто используются нормированные

пространства

Y C a, b

с нормой

max y x

Y C a, b

с нормой

C a,b

x a,b

a,b

max y x max y x .

x a,b

Пример 1.1.

J y

f x, y x dx,

y C a,b

1.1

a,b

1.2

J y

f x, y x , y x dx, y C

Для того, чтобы эти функционалы были определены корректно, достаточно

потребовать, чтобы для функционала (1.1) функция

f x, y x

была определена и

непрерывна

на a, b R ,

а для

функционала (1.2)

функция

f x, y x , y x была

определена и непрерывна на

a, b R R .

Определение 1.2.

Пусть

y0 Y . Множество U y0 y Y

y y0

называется -окрестностью (или

просто окрестностью) точки

y0 .

Пример 1.2.

C a, b

Если

y C a, b ,

то

-окрестностью

точки

является

множество

U y0

y С a, b |

y y0

С a,b

max y x y0

x .

x a,b

Если

y C a, b ,

то

точки

a, b

является

множество

-окрестностью

U y0

a,b

| max y x y0 x

y С

max y x y0 x .

x a,b

Определение 1.3.

Функционал l называется линейным, если

l 1 y1 2 y2 1l y1 2l y2 y1, y2 Y, 1, 2 R .

Определение 1.4.

Линейный функционал l называется ограниченным, если существует постоянная

С 0 : l y C y y Y .

26 | С т р а н и ц а

Пример 1.3.

Пусть

a C a, b , тогда функционал

ограниченным функционалом на C a,b .

b l y a x y x dx

является линейным

Пусть	a, b C a,b , тогда функционал
ограниченным функционалом на C		a
	1

l ,

y b

b a x y x b x y x dx

a .

является линейным

Определение

Функционал

Замечание. Определение Функционал

1.5.
J называется непрерывным в точке			y0	, если
0 : J y J y0 y Y :	y y0	.

непрерывности функционала можно сформулировать чуть иначе.

J называется непрерывным в точке	y0	, если
0 : J y0 h J y0 h Y : h .

В вариационном исчислении приращение h независимой переменной y часто называют вариацией переменной y и обозначают y .

Определение 1.6. Если функционал

непрерывным.

непрерывен в каждой точке

y	Y
0

, то он называется

Предложение 1.1.

Всякий линейный ограниченный функционал является непрерывным.

Возьмём

. Тогда h y0

h l y0

l h C h

Определение 1.7.

Функционал

J ,

заданный

окрестности

точки

Y ,

называется сильно

дифференцируемым (дифференцируемым по Фреше) в точке

y0 , если существует

линейный

ограниченный

функционал

l : J y0 h J y0 l h h h Y ,

где

h o h

т. е.

0 .

этом

случае

функционал l

называется

сильной производной функционала

в точке y0

и обозначается через

J y0 .

Величина

называется

сильным

дифференциалом

или

dJ y0 , h J

дифференциалом Фреше.

Пример 1.4.

Пусть p, q, f C a,b . Рассмотрим квадратичный функционал

27 | С т р а н и ц а

	1	b							b
J y	1	p x y x		q x y			2	x dx f
			2				2
	2	a							a
		a							a
			J y h J y		b
Для него
Для него						p x y x h
					a

1b p x h x 2 q x h2 x dx l y h

x x

y x dxq x y

, определённый на Y

bx h x dx f x h x dx

`1	a,
C

Таким

образом,

квадратичный

функционал сильно

дифференцируем,

причём

dJ y0 , h

p x y x h x q x y x h x dx

f x h x dx .

Определение 1.8.

Если

для

функционала

точке

для

всех

h Y

существует

предел

J y , h lim

J y0 th J y0

то

он называется

слабым дифференциалом или

t 0

дифференциалом Гато. В вариационном исчислении слабый дифференциал часто называют первой вариацией функционала J .

Замечание 1.1.

Обратим внимание на то, что переменной t.

J y	, h
0

где

t J y	th
0

– функция

Слабый дифференциал (в отличие от сильного) может и не быть линейным по h.

Если же он	линеен по h и J y0 , h l h , где l			– линейный ограниченный
функционал,	то функционал	J	называют	слабо	дифференцируемым
(дифференцируемым по Гато) в точке			y0 , а линейный функционал l называют
слабой производной (или производной Гато) и обозначают
					J y0 .

Теорема 1.1.
Если функционал	J	дифференцируем в точке y0 Y по Фреше,

дифференцируем в этой точке и по Гато, причём его слабая производная

совпадает с сильной производной		.
	J y0

то он

J	y
	0

Пусть Тогда J

J	y
	0
y	, h
0

h J y
	0
	J y
lim	0
lim
t 0

l h h
th J y
0
0
t

h Y , где
		th
lim l h
		t
t 0		t
t 0

	h
		l
		l

o h	Y	.

h .

Определение 1.9.

Говорят, что функционал J имеет в точке y0 локальный минимум (максимум), если существует окрестность U y0 : J y0 J y J y0 J y y U .

28 | С т р а н и ц а

Определение 1.10.
Локальный	минимум	(максимум)	называется	строгим,	если
J y0 J y J y0 J y y U,		y y0 .

Определение 1.11.

Точки, в которых J имеет локальный минимум или максимум называются точками локального экстремума.


Определение 1.12.
Говорят, что функционал J			имеет в точке	y0 глобальный минимум (максимум),
если существует окрестность			J y0 J y J y0 J y y Y .
Определение 1.13.
Глобальный	минимум		(максимум)	называется	строгим,	если
J y0 J y J y0 J y y Y ,			y y0 .
Определение 1.14.
Точки, в которых J		имеет	глобальный	минимум или	максимум называются

точками глобального экстремума.

Сформулируем основные условия экстремума.

Теорема 1.2.

(Необходимое условие экстремума)

Пусть функционал

определён в некоторой окрестности точки

y	0

и имеет в ней

локальный экстремум. Если в точке J , то она равна нулю, т. е. J y0 , h 0

y0 существует первая вариация функционала

h Y .

Рассмотрим функцию t J y0 th . Ясно, имеет локальный экстремум. Следовательно

что в точке

0 J y	, h 0
0

t 0

эта функция

Следствие 1.1.

Если функционал J слабо дифференцируем в точке

экстремум, то		0 .
	J y0

y	0

и имеет в ней локальный

Рассмотрим задачу о поиске экстремума функционала при дополнительном ограничении y M (то есть задачу о поиске условного экстремума). Здесь M Y и

ставится задача о минимизации min J y .

y M

Определение 1.15.

Говорят, что функционал J имеет в точке y0 M локальный минимум (максимум) при условии y M , если U y0 : J y0 J y J y0 J y y M U .

29 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
28.06.201437 Кб17Контрольная работа (варианты).docx
#
28.06.20142.08 Mб146Лекции (1).doc
#
28.06.20141.32 Mб94Лекции (2).pdf
#
28.06.201436.35 Кб17Экзаменационная программа (2010).doc
#
28.06.201473.31 Кб38Экзаменационная программа.pdf