Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Лекции (2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Пример 5.3.

(Задача о минимальной поверхности)

	b
S 2 y						2
S 2 y			1 y				dx min
	a						y		2 y
							y		2 y
2 y 1 y					2 y		2	C		C
2 y 1 y					2 y			C		C
				2			1 y		1 y
							1 y		1 y
							2		2
1 y	C				y
2				2		2
y	C		1		1
y	C	2	y	2	1
		2		2
	1

		1	cht
y t		C	cht
		C
		1

x t
1	sht
C	sht	sht x t		1	x t	1
C				1		1	t C		t C x C
1				C		C	t C		t C x C
x t				C		C		2	1	3
								2	1	3
				1		1

Ответ:

y x	1	ch C x C		цепная
y x		ch C x C		цепная
	C	1	2
	C
	1

линия

40 | С т р а н и ц а

Лекция № 8.

ЗАДАЧА СО СВОБОДНЫМИ КОНЦАМИ.

b	y C	a,b
J y F x, y x , y x dx extr ,	y C	a,b
	1
a

Если существует точка экстремума								y0
J y , h 0 h C a,b
				1
		0
b	F	x, y	x , y	x h x F x, y		x , y	x h x
	F	x, y	x , y	x h x F x, y		x , y	x h x
	y	0	0	y	0	0
a

C	a,b
1
	1	a,b h C	a,b
dx 0 h C		a,b h C	a,b
		0

Выполняется условие Эйлера

x, y x , y

x F

x, y

x , y

x 0

6.1

F x, y

x , y x

x, y

hdx F x, y , y h

a,b

F x, y , y

, y

h a 0 h C

a,b

h b F x, y

x b

x a

h x

x a

h a 0, h b 1

b a

6.2

x, y0

, y0

h x

b x

h a 1,

h b 0

b a

x, y

6.3

, y

x a

(6.2), (6.3) – естественные граничные условия.

Если у задачи со свободными концами есть решение, то это решение должно удовлетворять краевой задаче (6.1) – (6.3).

Пример 6.1.

Задача со свободными концами для квадратичного функционала

	1	b				b
J y	1	p x y		q x y	2	dx f x ydx extr
			2		2
	2	a				a
		a				a
p, q, f	C a,b
p x p			0
	0

41 | С т р а н и ц а

F x, y, y

p x y

q x y

f x y

p x y

q x y

f x

p x y q x y

f x

краевая задача

y a

p a y a 0

y b

42 | С т р а н и ц а

ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ. УСЛОВИЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ.

Сделаем подвижным один из концов.

1	a,b ,	b не фиксировано, b a
y C	a,b ,	b не фиксировано, b a
	b
J y,b F x, y, y dx extr ;			y a ya ,	y b b	1
	a

Пусть y0		и b0
J y,b	extr;
0	a,b
y C	a,b
1
	0

– точки экстремума.
y a y	,	y b	b	2
a		0	0

Точки экстремумов задачи (1) и (2) Из того, что y0 – точка экстремума,

совпадают.

следует уравнение Эйлера

	d	F		x, y		x , y	x F x, y		x , y	x
		F		x, y		x , y	x F x, y		x , y	x
dx		y			0	0	y	0	0
dx			a,b
y	C		a,b
		1
0				0

y	x y	b	y	b	x b	,	x b
0	0	0	0	0	0		0

Рассмотрим семейство функций

y x,b y	x	b y	b	x a
y x,b y	x	0		x a
		0
0		b a
		b a

y x,b0 y0 x	b y0 b
y b,b y0 b	b y0 b		b a		b
y b,b y0 b	b a		b a		b
	b a
b b F x, y x,b , y x,b dx
		x
a
b b0 точка экстремума
b F b, y b,b , y		b,b b		F x, y x,b , y		x,b y	x,b F	x, y x,b , y	x,b y	x,b dx
	x			y	x	b	y	x	xb

b0 0

43 | С т р а н и ц а

F x, y

x, y

x, b F

x, y

, y y

x, b dx

, y

x b

, y

b b

F x, y

, y

F x, y

, y

x, y

F x, y

, y

x, b

x b

, y y x, b dx

b b

,x b

b y

y x, b

x a

x b a

b a

x, y

x, b

, y

b b ,x a

x a

x, b

x b,b b

F x, y

, y F

x, y

, y

x y x

x b

y0 ,b0 – решение задачи.

F x, y, y F x, y, y 0

y b b

y a ya

x, y, y y

F x, y, y F

x b

(7.3) – условие трансверсальности.

Пример 7.1.

y,b

x, y

1 y 2

y 0

1 y 2

1 y

1 y 0

1 y 2

Ответ:

1 b y b 0 .

7.17.27.3

44 | С т р а н и ц а

ЗАДАЧА С ДВУМЯ ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ.

1	a,b ,	a и b не фиксированы, b a
y C	a,b ,	a и b не фиксированы, b a
	b
J y, a,b F x, y, y dx extr ;				y a a , y b b
	a
		d		F x, y, y F x, y, y 0
			dx	y	y
			dx	a	y b b

		y a
					x, y, y y
		F x, y, y F			x, y, y y
				y	x b
		F x, y, y F			x, y, y y
				y	x a

7.17.27.37.4

45 | С т р а н и ц а

Лекция № 9. ФУНКЦИОНАЛ БОЛЬЦА.

J y F x, y, y dx g y a , y b

g g U ,V – терминальная функция (терминант).
g C		R
	1		2
F C a,b R				2
				2
F , F		C a,b R			2
					2
y	y
		b				y C	a,b
J y F x, y, y dx g y a , y b extr ,						y C	a,b
						1
		a

y0 – точка экстремума.

J y J

, h

J y

t 0

, h g

a , y

b h

8.1 J y

, h

h C

8.1

F h F h dx g

hdx F

J y

, h 0

h C

a,b

8.1

th J

, h

g y

th a , y

b th b

t 0

a , y

b h b

a,b J

, h 0 h C

a,b

F x, y

, y F x, y

, y 0

a , y

b h a

g y

a , y

b h b h C

a,b

h b F

h a 0 h C

a,b

т.к. h произвольна, то

a, y a

, y

a g

a , y

b 0

F b, y

b , y

b g

, y b 0

x, y

x , y x F x, y x , y x 0

Пример 8.1.

J y

p x y 2 g x

y2 dx b

f x ydx

a y a 2

ga y a

b y b 2

gb y b

p x

q x y f x

p a

a a y a ga

p b

y b g

46 | С т р а н и ц а

ФУНКЦИОНАЛЫ ВИДА

J y F x,

F x, y

x , y

x ,..., y

x , y x , y x ,..., y

y a ya ,

y b yb

y , y

a, b

,..., y

F C a, b R

, F

C a, b

i 1,2,..., m

– точка экстремума.

y0 y01, y02 ,..., y0m

a, b

Рассмотрим

J y01, y02

,..., y0i 1

, yi , y0i 1,..., y0m Ji yi ,

yi – точка экстремума.

Получим систему уравнений Эйлера:

y, y

	dx .

extr	9.0

x F

x 0,

i 1,2,..., m

F x, y

x , y

x, y

x , y

y a

y b y

9.19.2

Решение (9.1), (9.2) – экстремаль задачи (9.0). Решение (9.1) – экстремали функционала.

ЗАДАЧА СО СВОБОДНЫМИ КОНЦАМИ.

J y

x, y

x , y

,..., y

x , y x , y x ,..., y

x dx extr

x 0,

i 1,2,..., m

F x, y

x , y

x F x, y

x , y

x a

x b

ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ.

9.0

9.19.29.3

F x, y x , y

x ,..., y

x , y x , y

x ,..., y

x dx extr

y b

9.0

x, y

x , y x F x, y

x , y

x 0,

i 1,2,..., m

9.1

F x, y, y

x, y, y

9.2

x b

47 | С т р а н и ц а

Пример 9.1.

z 2 yz dx extr

y 0 0,

z 0

0, y

2 y 2z 0

y z

1,2

z y

2z 2 y 0

3,4

y x C ex

e x C

cos x C

sin x

Экстремаль функционала

z x y C ex

cos x C

sin x

Из краевых условий получаем

y x sin x

Экстремаль задачи

z x sin x

48 | С т р а н и ц а

ФУНКЦИОНАЛЫ ВИДА

J y

b F x,

y ,

y ,...,

y	m	dx

		b
J y		F x, y x , y x , y x ,..., y m x dx,								m 1
		a
y C m a, b
y a y			a		y b y			b
y a y					y b y
			a					b
y a y					y b y
			a					b

...					...
	m	a y		m		m	b y		m
	m			m		m			m
y				a	y				b

y	0

J
J
J

– точка экстремума.

, h 0 h C

a,b

, h

J y

t 0

F x, y

x th x , y

x th x , y x th x ,..., y m x th m x dx

, h

F x, y

, y ,..., y m h F

x, y

, y , y ,..., y m h ... F

x, y

, y ,..., y m h m dx 0

, y

y m

F г ладкая

x, y

a,b

... 1

, y

, y ,..., y

hdx 0

h C

Уравнение Эйлера:

x, y

, y

, y ,..., y

...

y m

49 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
28.06.201437 Кб17Контрольная работа (варианты).docx
#
28.06.20142.08 Mб146Лекции (1).doc
#
28.06.20141.32 Mб94Лекции (2).pdf
#
28.06.201436.35 Кб17Экзаменационная программа (2010).doc
#
28.06.201473.31 Кб38Экзаменационная программа.pdf