Лекции (2)

Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

t t 0 t , .

Ясно, что t0

t0 t , , 0,T , t t0 const

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

L[U ] 0

умножим на U и проинтегрируем на

0;l

l				l		d	dU		l		dx 0 формула интег рирования по частям
UL[U ]dx				0 U		d	dU			2
UL[U ]dx				0 U		p		dx	qU
0				0		dx	dx		0
0				0					0
l	dU		2	l	dx U l p l U ' l				U 0 p 0 U ' 0 0
	dU			2
p			dx qU
0		dx		0				2		2

								U l		U 0	0
							1		0
		0		0

	l								2		p 0
	l		dU						2
			dU							dx 0		dU
		p								dx 0		dU	2
					dx								0
	0				dx								0
	0											dx
												dx
	l										**
	l
					2
qU						dx		0
	0
В случае										условий I,II,III U x 0.
В случае условий IV :
1.				2				2		0
				2				2
				0			1
		0		C 0						C 0 U x 0
										C 0 U x 0

		1	C 0
		1								0
2.				2				2		0
				2				2
				0				1
l
q x dx 0 в силу условия													* .
0
										l			l
В силу ** q x U x 2 dx q x
										0			0

	dU
	dx
	dx

C 2dx

0, x 0;l U x C

C 2 q x dx0 C 0 U x 0 x 0;l

Следствие 2.4.

Решение краевой задачи для неоднородного уравнения

L[U ] f

с краевыми

условиями типа I, II, III или IV единственно (предполагается, что условие теоремы 2.1 выполнено).

Докажем от противного.

Пусть U1, U2 – различные решения уравнения

L[U ] f

с соответствующими

краевыми условиями. Рассмотрим U U1 U2 .

L[U ] L[U1 U2 ] 0 U удовлетворяет краевым условиям I, II, III или IV типов. По теореме 2.1 получаем U 0 U1 U2 .

10 | С т р а н и ц а

НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ФУНКЦИЯ ГРИНА.

L[U ] f x , x 0; l

U ' 0 U 0 0
1	1
U ' l U l 0
2	2

Определение 3.1.

Функцией Грина краевой задачи (3.1), (3.2), (3.3) называется функция

обладающая следующими свойствами:

1. Функция G определена на квадрате 0;l 0;l следующим образом

G x, ,

x, : 0 x l

G x,

x, : 0 x l

G x, ,

G1 C 1 ,

G2 C 2

x, ;

p x

x, C

x, ;

p x

Связь с краевой задачей.

Функция G удовлетворяет уравнению

3.13.23.3

x, ,

		G		q x G x, 0	2	,	x	кроме диаг онали
	p x		x,	q x G x, 0	x, 0;l 0;l 0;l	,	x	кроме диаг онали
x		x

и условиям

0, G

0, 0 0;l

l, 0 0;l

Выполнены условия сопряжения.

x, G1

x 0;l , т. е. если взять некоторые

, то в точке состыковки функции должны быть равны;

x 0;l

p x

x, p x

G	1

G	2

и подставить

11 | С т р а н и ц а

Лекция № 3. НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ.

ФУНКЦИЯ ГРИНА.

Теорема 3.1.

Пусть однородная краевая задача (3.1) – (3.3) имеет только нулевое решение. Тогда функция Грина существует и единственна.

Рассмотрим две задачи Коши:

L[ y] x 0, 0 x l		L[z] x	0, 0 x l

y 0 1		z l 2
y' 0		z' l		2
	1

Их решения существуют,
	y' 0 y 0 0
1	1
	z' l	z l 0
2	2		y x 0
В	тоже	время	y x 0
Действительно,			если y x

единственны и удовлетворяют краевым условиям

и	z x 0 . Кроме того они линейно независимы.
Cz x , то функция y удовлетворяет краевому условию

(3.3), а функция z – краевому условию (3.2). Обе ненулевые и являются решениями однородной задачи. Это противоречит тому, что по условию однородная задача имеет только нулевое решение.

При фиксированном

0,l

функция Грина удовлетворяет однородному

уравнению

G x, C1

(3.1)	и
y x	на

краевому условию1 . Аналогично G x,

(3.2).	Поэтому
C2	z x на

в силу леммы 2.1 имеем

Потребуем выполнения при				x	условий сопряжения
C		z C y	0
2		1
C		p z' C	p y' 1
	2	1

Это система линейных алгебраических уравнений относительно

определителем
	y	z	W C
	y	z
	p y'	p z'
	p y'	p z'	0
			0

C
2

Последнее верно в силу следствия 2.2 из теоремы Лагранжа. линейно независимы, то C0 0 . Заметим, что постоянная

Поскольку y и z

C0	определяется

однозначно.	C 1z			C 1 y .
Очевидно, что решением системы являются C	C 1z	и	C	C 1 y .
1	0		2	0

Таким образом, функция Грина существует, единственна и определяется формулой

	1	z y x , 0 x l
G x,	1
G x,	C		x l
	C	y z x , 0	x l
	0

Замечание.

Обратим внимание на то, что функция Грина симметрична: G x, G , x .

12 | С т р а н и ц а

Пример 3.1.

Найдём функцию Грина для задачи

y x f x , 0 x 1 y 0 0, y 1 0

y x 0, 0 x 1
			1
	y	0 0				y x x
	y	0 0				y x x
	1					1
y		0 1
	1
y x 0, 0 x 1
			2
		0 0				y2 x 1 x
y2		0 0				y2 x 1 x
y		0 1
	2
C			x	1 x	1
C			1	1	1
			1	1
				1 x,		0 x 1

G x,						0 x 1
				1 x ,		0 x 1

Теорема 3.2.

Если функция Грина задачи (3.1) – (3.3) существует, то для всякой задача имеет решение, которое может быть записано в виде

f C 0, l

эта

l u x G x, f d

Запишем функцию u x , определяемую формулой (3.4), в виде

U x				x	G2 x, f d	l	G1 x,	f d .


				0		x
	du	G			x, x f x x G2	x, f		d G x, x f x l G1			x, f d
		G			x, x f x x G2	x, f		d G x, x f x l G1			x, f d
	dx			2	x			1		x
	dx				x					x
					0					x
							x	l
G2			x, x G1 x, x f x G2					x, f d G1		x, f	d
							0 x	x	x
					0

(3.4)

x G

x, f d

x1 x,

f d

L u x

p x G2

x, f d p x

x, f d

q x G x,

x 0

p x

x, x

f x

p x

q x G x,

f x

1	0
Функция u x	удовлетворяет уравнению (3.1). Осталось проверить краевые
условия.

	13 \| С т р а н и ц а

		l	G	0, f d	l	G 0,
1	1	1	G		1
u 0 u 0			x
		0	x		0
		0			0
		l	G		l
2u l 2u l 1			G	l, f d 1	G l,
2u l 2u l 1			x	l, f d 1	G l,
		0	x		0
		0			0

f d

l f d

l			G		0,
			G
		1					G 0,
		1	x					1
0			x
0

							0
		G		l,				G l,	f
	2			l,				G l,	f
	2		x				2
			x

						0

f d 0

d 0


Следствие 3.1.	L u
Для уравнения	L u

задачи существует,

f с краевыми условиями типа I, II, III, IV решение краевой единственно и представляется в виде (3.4).

14 | С т р а н и ц а

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ФУНКЦИИ ГРИНА.

Рассмотрим источник внешних воздействий,

Построим					-образную		последовательность
последовательность функций со свойствами:
fn x 0				при x n ,		n
fn x 0				при x n ,		n
l			x dx 1
fn			x dx 1
0
	n	0
	n		n

Соответствующие решения имеют вид

сосредоточенный в

fn x x ,


точке		.
то	есть

G x, S f

S dS G x,

G x,

Таким образом,

– это решение задачи, отвечающее внешнему источнику,

сосредоточенному в точке . Поэтому функцию Грина часто называют функцией источника.

Обратим внимание на то, что функция Грина симметрична по своим аргументам: G x, G , x

Таким образом, влияние на точку x точечного источника, помещённого в точку , равно влиянию на точку такого же источника, помещённого в точку x.

15 | С т р а н и ц а

ПРИНЦИП МАКСИМУМА. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

Всюду в этом параграфе L u	d	p	du	qu,	p, q C 0, l ,	p x p0	0,	q x 0

	dx		dx

Теорема 4.1.
(Принцип максимума)	L u 0
Пусть функция u является решением дифференциального уравнения	L u 0	. Если

минимальное значение функции u отрицательно, то оно принимается на границе отрезка 0, l . Если максимальное значение функции u положительно, то оно

принимается на границе отрезка

0, l .

Пусть umin

min u x 0 , тогда

0, l : umin

u x0 .

0,l

Предположим, что 0 x0 l .

Сделаем замену переменной t t x

Пусть функция x(t) – функция, обратная к t(x). Заметим, что

p x t

Пусть t u x t , 0 t T , T t l

d 2

Тогда

q t 0, 0 t T , г де q t p x t q x t .

dt 2

Ясно, что t0 min min t umin

min u x

г де t0

t x0 .

0,l

Положим

inf t 0, t0 | t 0 t t, t0

sup t t0 ,T | t 0 t t0 ,T

Замечание.

Из доказательства видно, что положительный максимум и отрицательный минимум не могут достигаться во внутренней точке, если q t 0 и q t 0

Следствие 4.1.	L u 0 справедлива оценка			max u x max u 0 , u l .
Для решения уравнения	L u 0 справедлива оценка	u	C 0,l	max u x max u 0 , u l .
			C 0,l	0,l
				0,l
Теорема 4.2.
Пусть функция u удовлетворяет неравенствам L u 0,			u 0 0, u l 0 , тогда u x 0

на 0, l .

16 | С т р а н и ц а

Допустим противное:

x	0, l : u	min
0		min

u x
0

Сделаем туже замену

переменных, что и в теореме 3. Повторяя те же рассуждения, убедимся в том,

что	u x u x0 const 0	, что противоречит тому, что по условию
u 0 0, u l 0 .

Следствие 4.2.

Пусть u и v – решения краевых задач

L u f

, u l u

, l

u 0 u

f x g x ,

Тогда u x

x .

Теорема 4.3.

L u f

Для решения краевой задачи

u l u

u 0 u

u x u x ct

x T t x

справедлива оценка

max u0 , ul

где t x

и – как следствие – оценка

C 0,l

max u0

C 0,l

Заметим, что p

c T 2t L u

u 0 max

u x

u l max

Точно так же

L u f

L u u x u x .

, u
l
L u

17 | С т р а н и ц а

Лекция № 4. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ.

Пусть L u

–

введённый выше дифференциальный оператор

0, l ,

q C 0, l , p x p0

0 .

Пусть

C 0, l ,

–

коэффициентами

p C

заданная функция.

Рассмотрим следующую

задачу

на

собственные

значения

(задачу Штурма-Лиувилля):

L u u

5.1

u 0 u 0 0

5.2

Как и ранее, 1

0, 2 2

12u l 21u l 0

5.3

0 .

Если при некотором значении параметра

эта задача

имеет

нетривиальное

решение u x ,

то

называется собственным

значением,

u x

– собственной

функцией, соответствующей собственному значению .

Пример 5.1.

Найдём собственные значения и собственные функции простейшей задачи Штурма-Лиувилля

	u u, 0 x 1		5.4
	u 0 0, u 1 0		5.5
	u 0 0, u 1 0
Уравнение (5.4) является линейным однородным. При		0	задача имеет только
нулевое решение. При 0	характеристическое уравнение

имеет два корня

k1,2

k	2	0
	2

, поэтому общее решение уравнения имеет вид

u x C e	x	C	e	x
u x C e		C	e
1		2

Подставляя эту формулу в граничные условия, получим

C		C	2	0
	1		2

				C	e 0
C e				C	e 0
	1			2

Существование нетривиального решения эквивалентно условию


e e	0 e 2	1 2 2 ni, n Z 2n2		, n 1
			n

Существующие собственные функции имеют вид

n x C1 e nix e nix C sin nx

Перечислим ряд свойств собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

Свойство 5.1.

Собственные числа задачи Штурма-Лиувилля образуют строго возрастающую

последовательность		...	..., причём	.
1	2	n	n	n

18 | С т р а н и ц а

Свойство 5.2.
Каждому собственному значению	n	соответствует ровно одна (с точностью до
постоянного множителя) собственная функция n .

Уравнение	L u	~	~
		u может быть записано в виде L u 0	, где оператор L
отличается	от	оператора L заменой коэффициента q	на коэффициент
~			удовлетворяющие
q q . Как следует из леммы 2.1 всякие две функции,
~		и краевому условию (5.2), линейно зависимы.
уравнению L u 0

В пространстве С 0, l введём скалярное произведение и норму

	l
f , g		f x g x x dx
	0
				1/ 2
	l
	l
	f
f	f	2	x x dx
		2
0
Свойство 5.3.											0,l ортогональную с весом
Собственные функции						образуют на отрезке
Собственные функции					n n 1	образуют на отрезке
систему, то есть n , m 0, при n m .
							l	L n	m	L m n dx 0 .
Используя формулу Грина, имеем
Используя формулу Грина, имеем

						0
Пользуясь тем, что L n n n ,						L m m m	, имеем
	l	n , m

n m	n m dx 0		0,			при n m .
	0
Замечание.
				можно считать ортонормированной, то есть
Систему функций n n 1				можно считать ортонормированной, то есть
удовлетворяющей дополнительному условию							n	1 n 1 .

Свойство 5.4.
(Теорема Стеклова)
Всякая	функция	f C1 0,l : p		df	C1 0,l и удовлетворяющая краевым условиям
Всякая	функция	f C1 0,l : p			C1 0,l и удовлетворяющая краевым условиям
				dx					0,l
(5.2) и (5.3), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на отрезке									0,l
ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

				f x ck k x ,					(5.4)
						k 1
	l
где ck f x k x x dx, если			n			1 .
	0

19 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
28.06.201437 Кб17Контрольная работа (варианты).docx
#
28.06.20142.08 Mб146Лекции (1).doc
#
28.06.20141.32 Mб94Лекции (2).pdf
#
28.06.201436.35 Кб17Экзаменационная программа (2010).doc
#
28.06.201473.31 Кб38Экзаменационная программа.pdf