2
.pdf
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Число поєднань (сполучень) без повторень (n рiзних елементiв, узятих по m) обчислюється за формулою:
Cm = n!
n m!(n − m)!
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Число поєднань (сполучень) без повторень (n рiзних елементiв, узятих по m) обчислюється за формулою:
Cm = n!
n m!(n − m)!
Числа Cm
n є коефiцiєнтами у формулi бiнома Ньютона
(p + q)n = pn + C1pn−1q + C2pn−2q2 + ... + qn |
|
n |
n |
i тому часто називаються бiномiальними коефiцiєнтами, якi можна знайти за допомогою трикутника Паскаля.
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження iмовiрностей
Число сполучень c повтореннями (n елементiв, узятих по m, де
елементи в наборi можуть повторюватися) обчислюється за формулою
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження iмовiрностей
Число сполучень c повтореннями (n елементiв, узятих по m, де
елементи в наборi можуть повторюватися) обчислюється за формулою
Cm = |
(n + m − 1)! |
̃n |
m!(n − 1)! |
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Розмiщення |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Класичне визначення ймовiрностi. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Перестановки |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поєднання |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема визначення формули |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обрання методу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
розв'язання задачі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(обрання формули) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТАК |
|
Чи повторюються |
НІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
елементи у виборці? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чи змінюється склад ? |
|
|
Чи змінюється склад ? |
|
|
|
|||||||
|
ТАК |
|
|
|
|
|
|
НІ |
НІ |
|
|
|
|
|
|
ТАК |
|
|
|
|
Чи є суттєвим порядок ? |
|
Чи є суттєвим порядок ? |
|
|
||||||||||
|
ТАК |
|
|
|
|
НІ |
|
|
|
|
|
НІ |
|
|
|
ТАК |
|
|
|
|
|
|
Комбінації |
Перестановки з |
Перестановки |
|
Комбінації |
Розміщення |
|||||||
Розміщення з |
(поєднання) з |
|
|||||||||||||||
повтореннями |
без повторень |
|
(поєднання) |
без повторень |
|||||||||||||
повтореннями |
повтореннями |
|
|
|
без повторень |
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
m |
|
m |
|
(n +m −1)! |
Pn (m1,m2,...,mk )= |
P = n! |
C |
m |
= |
n! |
Am |
= |
n! |
|
|
= n |
|
|
= |
|
= |
n! |
|
m!(n −m)! |
n |
|
(n −m)! |
|||||
An |
|
Cn |
m!(n −1)! |
m1!m2 !...mk ! |
n |
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
|||||||||||
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Приклад. Скiлькома способами можна вибрати двi деталi з ящика, що мiстить 10 деталей?
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Приклад. Скiлькома способами можна вибрати двi деталi з ящика, що мiстить 10 деталей?
Шукане число способiв
C2 = 10! = 9 · 10 = 45 10 2!8! 2
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Наведемо, нарештi, приклади застосування формул комбiнаторики до знаходження ймовiрностi подi¨ı.
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Наведемо, нарештi, приклади застосування формул комбiнаторики до знаходження ймовiрностi подi¨ı.
Набираючи номер телефону, абонент забув двi останнi цифри i, пам’ятаючи лише, що цi цифри рiзнi, набрав ¨ıх навмання. Яка ймовiрнiсть того, що номер набраний правильно?
Двi останнi цифри можна набрати A2 способами, а сприяти
10
подi¨ı M (цифри набранi правильно) буде тiльки один випадок. Тому
P(M) = |
1 |
= |
1 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|||
Anm |
10 · 9 |
90 |
||||
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|
Випадкова величина |
Вибiрки |
|
Розмiщення |
||
Класичне визначення ймовiрностi. |
||
Перестановки |
||
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження |
||
Поєднання |
||
|
||
|
|
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження iмовiрностей
Партiя з 10 деталей мiстить одну нестандартну. Яка ймовiрнiсть, що при випадковiй вибiрцi 5 деталей з цiє¨ı партi¨ı
всi вони будуть стандартними (подiя A)?
Ющенко Ольга Володимирiвна |
Iмовiрнiснi основи обробки даних |
|
|