2.2.Правильные многогранники в математике

Многогранник называется правильным, если: он выпуклый, все его грани – равные правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одинаковое число граней, все его двухгранные углы равны.

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробиться в самые глубины различных наук. (Л.Кэрролл). Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков.

Сколько правильных многогранников существует?

Пусть при одной вершине сходится n – ребер, тогда плоских углов при вершине будет тоже n. И все они равны между собой. Пусть x – один из плоских углов, тогда сумма плоских углов при вершине – nx. По свойству плоских углов nx< 360^,x< . Угол правильного n – угольника равен α =

Начиная с n =7, угол станет меньше 60 , а такого правильного n-угольника не существует.

1. Грани правильного многогранника – правильные треугольники, тогда

1) × 3=180 , 4 грани – тетраэдр.

2) 60 × = , 8 граней – октаэдр.

3) 60 × 5= - икосаэдр.

60 ×6 = 360 - это противоречит теореме о сумме плоских углов многогранного угла, значит больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники не существует.

2. Грани правильного многогранника – квадраты, тогда

1). 90 ×3 = - гексаэдр (куб) 2). 90 × 4 = - это значит, что больше правильных многогранников, грани которых – квадраты не существует.

3. Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники, тогда

1). 108 ×3 = – додекаэдр.

2). 108 × 4 - это значит, что больше правильных многогранников, грани которых – правильные пятиугольники не существует.

4. Начиная с правильного шестиугольника

Следовательно, n× (n>3), поэтому правильных многогранников, грани которых – правильные многоугольники с числом сторон больше 5, не существует.

Итак, мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, содержится в «Началах» Евклида.

Формула Эйлера

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице. Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2: Г + В = Р + 2. Эта формула была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Правильный многогранник	Число
	Граней и вершин (Г + В)	Ребер (Р)
Тетраэдр	4 + 4	6
Куб	6 + 8	12
Октаэдр	8 + 6	12
Додекаэдр	12 + 20	30
Икосаэдр	20 + 12	30