Введение

Когда наука достигает какой-либо вершины, с нее открывается обширная перспектива дальнейшего пути к новым вершинам, открываются новые дороги, по которым наука пойдет дальше.

Вавилов Сергей Иванович

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета, но к сожалению в школьной программе мы не углубляемся в изучение правильных многогранников, поэтому сведений об этих геометрических телах для меня недостаточно. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

На уроке в 10 классе мы изучали «Правильные многогранники» через проектную работу, где каждая группа готовила презентацию о многогранниках.

Весь класс с удовольствием изучал эту тему, решали задачи, делали чертежи, поделки, готовили презентации. На уроке – проекте мы рассмотрели каждую работу. И после этого урока я задалась вопросом «Действительно ли правильные многогранники вокруг нас? Видим ли мы их так же, как видят их великие творческие люди и ученые?»

Цель: Формирование представлений о правильных многогранниках, широте применения в разных предметных областях.

Задачи:

1. Показать роль математических знаний в развитии общества, науки и искусства.

2. Показать значение многогранников в истории.

3. Показать значение многогранников в математике.

4. Показать значение многогранников в различных науках (таких как химия, биология)

5. Показать значение многогранников в искусстве.

6. Рассмотреть связь многогранников с устройством мира по Кеплеру.

7. Ознакомиться с гипотезой о строении Земли.

2.1. Многогранники и история

Геометрические знания примерно в объёме современного курса средней школы были изложены ещё 2200 лет назад в «Началах» Евклида. Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников – Фалеса и Пифагора, Демокрита и Гиппократа, Архита и Теэтета, Евдокса и др.

В XVII в. Декарт благодаря методу координат начал изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. В XVII-XVIII вв. зарождается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью методов математического анализа. В XVIII-XIX вв. появляется начертательная геометрия (основоположник – французский математик Г. Монж) и проективная геометрия (заложили основу – французские математики Д. Дезарг, Б. Паскаль и Ж.В. Понселе).

В середине XIX в. Никалай Иванович Лобачевский создал новую неевклидовую геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Ученые и философы Древней Греции – Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс – ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки, математики астрономии. Зачатки греческой геометрической науки связаны с именем Фалеса Милетского, основателя ионийской школы. Ученые ионийской школы впервые подвергли логической обработке и систематизировали математические сведения, позаимствованные у древневосточных народов.

Пифагор

Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоремы о квадрате гипотенузы, еще построение пяти правильных многогранников (тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра), создание учения о подобии фигур. Пифагор – был среди первых ученых, рассматривавших геометрию и как практическую и прикладную дисциплину, а как абстрактную логическую науку.

Пифагорейский союз

Пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией, религиозным братством. Эмблемой для учеников Пифагора служил так называемый звездчатый пятиугольник – фигура, которую образуют диагонали правильного пятиугольника. В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин.

Правильные многогранники

В дословном переводе с греческого «тетраэдр» означает «четырехгранник», октаэдр» - «восьмигранник», «гексаэдр» - «шестигранник», «додекаэдр» - «двенадцатигранник», «икосаэдр» - «двадцатигранник». Этим красивым телам посвящена 13-я книга «Начал» Евклида. Их так же изучал Театет, Гипсикл, Папп. Правильные многогранники еще называют телами Платона, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Стихиями натурфилософы называли вещества, из которых путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагревания образуются все тела.

Стихии и многогранники

Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших тетраэдров, так как тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «острыми» многогранными углами при вершинах, а значит, обладает наибольшей проникающей способностью. Обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе.

Итак, тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх; икосаэдр – воду, так как он самый «обтекаемый»; куб – землю, как самый «устойчивый»; октаэдр – воздух, как самый «воздушный»; додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным.

Взаимоотношения между стихиями по Платону. Уравнение: 1 вода = 2 воздух + 1 огонь.

Надо понимать так: в элементе воды – икосаэдре – 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые, в свою очередь состоят из 6 прямоугольных треугольников. По Платону, атомы – плоские тела – прямоугольные треугольники двух видов: равнобедренные и с катетом, равным половине гипотенузы. Значит, сложный атом икосаэдр состоит из 6 × 20 = 120 простых атомов – треугольников. В элементе воздуха – 8 граней, значит общее число треугольников 48 × 2 = 96. Итак, равенство верно: 20 граней и 120 треугольников (8 × 2 + 4) граней и (48 × 2 + 24) треугольников.